1、2.2.2双曲线的简单几何性质1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).(重点)2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.(重点)3.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.(难点)基础初探教材整理双曲线的简单几何性质阅读教材P49P51例3以上部分，完成下列问题.1.双曲线的简单几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xaya或ya对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点(a,0)，(a,0)(0，a)，(0，a)轴长实轴长2a，虚轴长2b离心率e且e1渐近线yxyx2.等轴双曲线(1)定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.其方
2、程的一般形式为x2y2(0).(2)性质：渐近线方程为：yx.离心率为：e.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)双曲线是中心对称图形.()(2)双曲线方程中a，b分别为实、虚轴长.()(3)方程1(a0，b0)的渐近线方程为yx.()(4)离心率e越大，双曲线1的渐近线的斜率绝对值越大.()【答案】(1)(2)(3)(4)小组合作型双曲线的几何性质(1)双曲线x2y21的顶点到其渐近线的距离等于()A.B.C.1D.(2)若实数k满足0k5，则曲线1与曲线1的()A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等(3)已知F1，F2分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若PF
3、1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为() 【导学号：97792024】A.1B.1C.2D.2【自主解答】(1)双曲线x2y21的顶点坐标为(1，0)，渐近线为yx，xy0，顶点到渐近线的距离为d.(2)因为0k0)的一条渐近线的方程为y2x，则b_.【解析】由双曲线x21，得a1，2，b2.【答案】2(2)求双曲线9y24x236的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.【解】将原方程转化为1，即1，a3，b2，c，因此顶点坐标为A1(3,0)，A2(3,0)，焦点坐标为F1(，0)，F2(，0)，实轴长是2a6，虚轴长是2b4，离心率e，渐近线方程yx.利用双曲线的
4、几何性质求其标准方程分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为yx；(3)与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点M(2，2).【精彩点拨】用待定系数法求双曲线的标准方程时，注意先定位再定量，充分利用题中所给出的双曲线的几何性质.【自主解答】(1)设双曲线的标准方程为1或1(a0，b0).由题意知2b12，且c2a2b2，b6，c10，a8.双曲线的标准方程为1或1.(2)当焦点在x轴上时，由且a3得b.所求双曲线的标准方程为1.当焦点在y轴上时，由且a3得b2.所求双曲线的标准方程为1.(3)设与双曲线y21有公共渐近线的双曲线方程
5、为y2k，将点(2，2)代入得k(2)22.双曲线的标准方程为1.1.一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a，b的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得.再结合c2a2b2及e列关于a，b的方程(组)，解方程(组)可得标准方程.2.如果已知双曲线的渐近线方程为yx，那么此双曲线方程可设为(0).再练一题2.求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程： 【导学号：97792025】(1)双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)；(2)双曲线过点(3,9)，离心率e.【解】(1)设双曲线方程为1(a0，b0).由已知得a，c2，再由a
6、2b2c2，得b21.故双曲线C的方程为y21.(2)由e2，得，设a29k(k0)，则c210k，b2c2a2k.于是，设所求双曲线方程为1， 或1，把(3,9)代入，得k161与k0矛盾；把(3,9)代入，得k9，故所求双曲线方程为1.探究共研型直线与双曲线的位置关系探究1怎样判断直线与双曲线的位置关系？【提示】判断直线与双曲线的位置关系，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x或y的一元二次方程，再根据一元二次方程去讨论直线和双曲线的位置关系.这时首先要看二次项的系数是否等于0.当二次项系数等于0时，就转化成x或y的一元一次方程，只有一个解.这时直线与双曲线相交只有一个交点.当二次项
7、系数不为零时，利用根的判别式，判断直线和双曲线的位置关系.探究2直线和双曲线只有一个公共点，直线和双曲线一定相切吗？【提示】直线和双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点.已知直线yax1与双曲线3x2y21.(1)如果直线与双曲线有两个公共点，求a的取值范围；(2)如果直线与双曲线只有一个公共点，求a的取值范围；(3)如果直线与双曲线没有公共点，求a的取值范围.【精彩点拨】将直线与双曲线方程联立用判别式判断方程组解的个数，并注意对二次项系数的讨论.【自主解答】把yax1代入3x2y21，整理得(3a2)x22ax20.(1)
8、直线与双曲线有两个公共点，判别式4a28(3a2)244a20，且3a20，得a，且a.故当a，且a时，直线与双曲线有两个公共点.(2)直线与双曲线只有一个公共点，或3a20，a或a.故当a或a时，直线与双曲线只有一个公共点.(3)直线与双曲线没有公共点，3a20，且244a20.a或a.故当a或a时，直线与双曲线没有公共点.1.研究直线与双曲线位置关系的一般解法仍然是联立二者方程，解方程组或者转化为一元二次方程，依据根的判别式和根与系数的关系求解.2.直线与双曲线有三种位置关系(1)无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线.(2)有一个公共点，分两种情况：直线是双曲线的切线，特别地，直线过双
9、曲线一个顶点，且垂直于实轴；直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点.(3)有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一点.再练一题3.(1)已知过点P(1,1)的直线l与双曲线x21只有一个公共点，则直线l的斜率k的取值为_.【解析】设直线l的斜率为k，则l：yk(x1)1，代入双曲线方程，得到(4k2)x2(2k2k2)xk22k50.若4k20，即k2，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；若4k20，则(2k2k2)24(4k2)(k22k5)0，解得k.综上可得，直线l的斜率k的取值为或2.【答案】或2(2)已知直线l：xy1与双曲线C：
10、y21(a0).若a，求l与C相交所得的弦长；若l与C有两个不同的交点，求双曲线C的离心率e的取值范围.【解】当a时，双曲线C的方程为4x2y21，联立消去y得3x22x20.设两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).则x1x2，x1x2，于是|AB|.将yx1代入双曲线y21中得(1a2)x22a2x2a20，解得0a且a1.又双曲线的离心率e，e且e，即离心率e的取值范围是(，).1.双曲线2x2y28的实轴长是()A.2B.2C.4D.4【解析】双曲线标准方程为1，故实轴长为4.【答案】C2.下列双曲线中离心率为的是()A.1B.1C.1D.1【解析】双曲线1中a2，b，c，e.【
11、答案】B3.已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为54，则双曲线的标准方程为_.【解析】由题意得双曲线的焦点在x轴上，且a3，焦距与虚轴长之比为54，即cb54，解得c5，b4，双曲线的标准方程为1.【答案】14.已知双曲线C1：1(a0，b0)与双曲线C2：1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a_，b_.【解析】由题意得解得a21，b24.又a0，b0，故a1，b2.【答案】125.求中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，经过点(3，2)，且一条渐近线的倾斜角为的双曲线的方程. 【导学号：97792026】【解】渐近线方程为yx，设双曲线方程为x23y2.将(3，2)代入求得3，所以双曲线方程为y21.