1、2013年东莞市虎门中学高三年级冲刺模拟考试（二）数学（理科） 命题人：李伟权2013.05一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1已知集合，下列说法正确的是（ ）A B C D2设的共轭复数是，若，则（）A B C D3已知均为单位向量，它们的夹角为，则（ ） A B C D44“”是“一元二次方程”有实数解的（ ）A充分不必要条件 B充分必要条件C必要不充分条件 D既不充分又不必要条件5若是方程的根，则属于区间（ ） A B C D图1 图26将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（
2、） A B C D7从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图（如图）由图中数据可知体重的平均值为（ ） A64.5 B59.5 C69.5 D508若函数图像上存在点，满足约束条件，则实数的最大值为（ ）A B C D二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（913题）9函数为奇函数，则实数 10幂函数的图象过点，则幂函数的解析式为 11在一次演讲比赛中，10位评委对一名选手打分的茎叶图如下所示，若去掉一个最高分和一个最低分，得到一组数据，在如图所示的程序框图中，是这8个数据中的平均数，则输出的的值为 12设
3、随机变量，且，则实数的值为 13不等式的解集为 （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14（坐标系与参数方程选做题）曲线（为参数且）与直线交点的极坐标为 15（几何证明选讲）如图，在中，斜边，直角边，如果以C为圆心的圆与AB相切于,则的半径长为_三、解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16（本小题满分12分）已知等差数列满足，在数列中， .（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.17某商场共五层，从五层下到四层有3个出口，从三层下到二层有4个出口，从二层下到一层有4个出口，从一层走出商场有6个出口。安全部门在每层安排了一名警员值班，负责该层
4、的安保工作。假设每名警员到该层各出口处的时间相等，某罪犯在五楼犯案后，欲逃出商场，各警员同时接到指令，选择一个出口进行围堵。逃犯在每层选择出口是等可能的。已知他被三楼警员抓获的概率为（）问四层下到三层有几个出口？（）天网恢恢，疏而不漏，犯罪嫌疑人最终落入法网。设抓到逃犯时，他已下了层楼，写出的分布列，并求18如图，四边形与均为菱形，,且（1）求证：；（2）求证：；（3）求二面角的余弦值19已知，设（1）求的最小正周期和单调增区间；（2）在中，分别为的对边，且，求边20已知函数（其中实数为常数）在处取得极值（1）求的单调区间（用表示）；（2） 若在上的最大值是1，求的值21已知，为椭圆的左、右顶
5、点，为其右焦点，是椭圆上异于，的动点，且面积的最大值为 （）求椭圆的方程及离心率；（）直线与椭圆在点处的切线交于点，当直线绕点转动时，试判断以 为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明2013年东莞市虎门中学高三年级冲刺模拟考试（二）数学（理科）参考答案 2013.05一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分题号12345678答案CDCACBAB二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题（913题）9； 10； 11 15 ； 12 4 ； 13 ； （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14 ； 15 三、解答题：本大题共6小题，满分8
6、0分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16解：（1）设等差数列的公差为d，由已知条件可得解得故数列的通项公式为 又由已知可得：在数列中， ，且数列是以1为首项，2为公比的等比数列数列的通项公式为 （2）设数列，即，所以，当时，所以综上所述，数列 17解：（1）设四层下到三层有个出口，恰好被三楼的警员抓获，说明五层及四层的警员均没有与他相遇。 ，解得3分 （2）可能取值为0,1,2,3,4,5 8分所以，分布列为012345p10分12分18.（1）证明：设AC与BD相交于点O，连结FO.因为四边形ABCD为菱形，所以，且O为AC中点.又FA=FC，所以. 2分因为，所以. 3分（2）证明：
7、因为四边形与均为菱形，所以因为所以又，所以平面又所以. 6分（3）解：因为四边形BDEF为菱形，且，所以为等边三角形因为为中点，所以由（）知 ，故 . 法一：由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系. 设AB=2因为四边形ABCD为菱形，则BD=2，所以OB=1，.则 8分 所以. 设平面BFC的法向量为则有 所以取，得. 12分易知平面的法向量为. 由二面角A-FC-B是锐角，得. 所以二面角A-FC-B的余弦值为.14分法二：取的中点，连接，四边形ABCD与BDEF均为菱形，,且 ，设为为、中点， （8分）， 是二面角的平面角 （10分），又（12分）二面角A-FC-B的余弦值为（14分）
8、19解：（1） 所以的最小正周期由得单调增区间为：（2）， 又 由余弦定理得：即 或20解：（1）在处取得极值，即， 当时，.的增区间是，减区间是 当时，或，或，的增区间有两个：与，减区间是 当时，或，或，的增区间有两个：与，减区间是（2）当时，或，在上递增，在上递减，当时，在上递增，在上递减，在上递增， 若，则与矛盾；若，则，此时当时，在上递增，在上递减，在上递增，而所以，解得与矛盾.综合，得或 21解：（）由题意可设椭圆的方程为，由题意知解得， 故椭圆的方程为，离心率为6分（）以为直径的圆与直线相切 证明如下：由题意可设直线的方程为.则点坐标为，中点的坐标为由得设点的坐标为，则所以， 10分因为点坐标为，当时，点的坐标为，点的坐标为.直线轴，此时以为直径的圆与直线相切当时，则直线的斜率.所以直线的方程为点到直线的距离又因为 ，所以故以为直径的圆与直线相切综上得，当直线绕点转动时，以为直径的圆与直线相切14分