1、基础诊断考点突破课堂总结第4讲三角函数的图象与性质最新考纲 1.能画出 ysin x，ycos x，ytan x 的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间0，2上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴的交点等)，理解正切函数在区间2，2 内的单调性基础诊断考点突破课堂总结1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图知 识 梳 理(1)正弦函数 ysin x，x0，2 的图象中，五个关键点是：(0，0)，2，1，(，0)，_，(2，0)(2)余弦函数 ycos x，x0，2 的图象中，五个关键点是：(0，1)，2，0，_，32，0，(2，1)32，1(，1)基础诊断考点突破
2、课堂总结2正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ)函数 ysin x ycos x ytan x 图象 定义域 R R _ _ 值域 _ _ R xxR，且xk 2，kZ1，1 1，1 基础诊断考点突破课堂总结周期性 2 _ _ 奇偶性 _ _ 奇函数 递增 区间 _ _ _ 递减 区间 _ _ 无 对称 中心 _ _ _ 对称轴 方程 _ _ 无 k 2，0k2，02 奇函数 偶函数 2k，2k 2k，2k(k，0)xkxk 2基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩 PPT 展示(1)由 sin(30120)sin 30知，120是正弦函数 ysi
3、n x(xR)的一个周期()(2)ysin x 在 x0，2 上是增函数()(3)ycos x 在第一、二象限上是减函数()(4)ytan x 在整个定义域上是增函数()基础诊断考点突破课堂总结2(2014陕西卷)函数 f(x)cos2x6 的最小正周期是()A.2BC2D4解析 由题意得：T22，故选 B.答案 B基础诊断考点突破课堂总结答案 D3函数 f(x)2cos2x2 图象的一条对称轴方程可以为()Ax4Bx3Cx34Dx解析 由题意得 f(x)2cos2x2 2sin2x1cos 2x，函数 f(x)图象的对称轴方程为 xk2，kZ，故选 D.基础诊断考点突破课堂总结4(2015临
4、沂测试)函数 f(x)sin(2x4)在区间0，2 上的最小值为()A1 B 22C.22D0 解析 由已知 x0，2，得 2x4 4，34，所以sin2x4 22，1，故函数 f(x)sin2x4 在区间0，2 上的最小值为 22.答案 B基础诊断考点突破课堂总结5(人教 A 必修 4P47B2 改编)函数 ytan2x34 的单调递减区间为_解析 因为 ytan x 的单调递增区间为 2 k，2 k(kZ)，所以由2 k2x34 2 k(kZ)，得8 k2 x58 k2(kZ)，所以 ytan2x34 的单调递减区间为 8 k2，58 k2(kZ)答案 8 k2，58 k2(kZ)基础诊断
5、考点突破课堂总结考点一 三角函数的定义域、值域【例 1】(1)函数 y1tan x1的定义域为_(2)函数 y2sin x6 3(0 x9)的最大值与最小值之和为()A2 3B0 C1 D1 3基础诊断考点突破课堂总结解析(1)要使函数有意义，必须有tan x10，x2 k，kZ，即x4 k，kZ，x2 k，kZ.故函数的定义域为x|x4 k且 x2 k，kZ(2)0 x9，3 6 x3 76，sin6 x3 32，1.y 3，2，ymaxymin2 3.答案(1)x|x4 k 且 x2 k，kZ(2)A基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助
6、三角函数线或三角函数图象来求解(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：形如yasin xbcos xc的三角函数化为yAsin(x)k的形式，再求最值(值域)；形如yasin2xbsin xc的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域(最值)；形如yasin xcos xb(sin xcos x)c的三角函数，可先设tsin xcos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)基础诊断考点突破课堂总结 解析(1)法一 要使函数有意义，必须使sin xcos x0.利用图象，在同一坐标系中画出0，2上ysin x和ycos x的图象，如图所示【训练 1】(1)函数 y s
7、in xcos x的定义域为_(2)函数 ysin xcos xsin xcos x 的值域为_在0，2内，满足 sin xcos x 的 x 为4，54，再结合正弦、余弦函数的周期是 2，所以原函数的定义域为 基础诊断考点突破课堂总结法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)定义域为x2k4 x2k54，kZ.法三 sin xcos x 2sinx4 0，将 x4 视为一个整体，由正弦函数 ysin x 的图象和性质可知 2kx4 2k，kZ，解得 2k4 x2k54，kZ.所以定义域为x2k4 x2k54，kZ.基础诊断考点突破课堂总结(2)设 tsin xcos x
8、，则 t2sin2xcos2x 2sin xcos x，sin xcos x1t22，且 2t 2.yt22t1212(t1)21.当 t1 时，ymax1；当 t 2时，ymin12 2.函数的值域为12 2，1.答案(1)x2k4 x2k54，kZ (2)12 2，1 基础诊断考点突破课堂总结考点二 三角函数的奇偶性、周期性、对称性【例 2】(1)已知 0，0，直线 x4 和 x54 是函数 f(x)sin(x)的图象的两条相邻的对称轴，则()A.4B.3C.2D.34基础诊断考点突破课堂总结(2)函数 y2cos2x4 1 是()A最小正周期为 的奇函数B最小正周期为 的偶函数C最小正周
9、期为2 的奇函数D最小正周期为2 的偶函数基础诊断考点突破课堂总结答案(1)A(2)A解析(1)2 254 4，即 1，f(x)sin(x)，f 4 sin4 1.0，4454，42，4.(2)y2cos2x4 1cos2x2 sin 2x 为奇函数，最小正周期 T22.基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)求f(x)Asin(x)(0)的对称轴，只需令x2 k(kZ)，求 x；求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令 xk(kZ)即可(2)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为 yAsin(x)或 yAcos(x)的形式，则最小正周期为 T2|；奇偶性的判断关键是解析式是否为 yAsin x
10、或 yAcos xb 的形式基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】(1)如果函数 y3cos(2x)的图象关于点43，0中心对称，那么|的最小值为()A.6B.4C.3D.2(2)(2014杭州模拟)若函数 f(x)sin x3(0，2)是偶函数，则()A.2B.23C.32D.53基础诊断考点突破课堂总结答案(1)A(2)C解析(1)由题意得 3cos243 3cos23 2 3cos23 0，23 k2，kZ，k6，kZ，取 k0，得|的最小值为6.(2)由已知 f(x)sin x3 是偶函数，可得3 k2，即 3k32(kZ)，又 0，2，所以 32.基础诊断考点突破课堂总结考点三 三角函
11、数的单调性【例 3】(1)已知 f(x)2sinx4，x0，则 f(x)的单调递增区间为_(2)已知 0，函数 f(x)sin x4 在2，上单调递减，则 的取值范围是()A.12，54B.12，34C.0，12D(0，2基础诊断考点突破课堂总结解析(1)由2 2kx4 2 2k，kZ，得34 2kx4 2k，kZ.又 x0，所以 f(x)的单调递增区间为0，4.(2)由2 x得2 4 x4 4，由题意知2 4，4 2，32，2 4 2，4 32，1254，故选 A.答案(1)0，4 (2)A基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成yAsin(x)形式
12、，再求yAsin(x)的单调区间，只需把x看作一个整体代入ysin x的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数(2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷基础诊断考点突破课堂总结【训练 3】(1)若函数 f(x)sin x(0)在区间0，3 上单调递增，在区间3，2 上单调递减，则 等于()A.23B.32C2D3(2)函数 f(x)sin2x3 的单调减区间为_解析(1)f(x)sin x(0)过原点，当 0 x2，即
13、0 x 2时，ysin x 是增函数；当2 x32，即 2x32时，ysin x 是减函数 基础诊断考点突破课堂总结由 f(x)sin x(0)在0，3 上单调递增，在3，2 上单调递减知，23，32.(2)由已知函数为 ysin2x3，欲求函数的单调减区间，只需求 ysin2x3 的单调增区间 由 2k2 2x3 2k2，kZ，得 k12xk512，kZ.故所给函数的单调减区间为k12，k512(kZ)答案(1)B(2)k 12，k 512(kZ)基础诊断考点突破课堂总结思想方法1讨论三角函数性质，应先把函数式化成 yAsin(x)(0)的形式2函数 yAsin(x)和 yAcos(x)的最小正周期为2|，ytan(x)的最小正周期为|.3对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令 tx，将其转化为研究 ysin t的性质基础诊断考点突破课堂总结易错防范1闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响2要注意求函数yAsin(x)的单调区间时A和的符号，尽量化成0时情况，避免出现增减区间的混淆.