1、第3节匀变速直线运动的位移与时间的关系1 新情境激趣引航 如图所示，火车从车站出发，离开站台时的速度为 10 m/s，若火车的加速度为 2 m/s2.同学们想一想，用什么方法可以确定再经过 5 s 火车离站台的距离？2 新知识预习探索 学习目标 1.知道匀速直线运动的位移与 vt 图象中矩形面积的对应关系 2.了解匀变速直线运动的位移公式的推导方法，感受利用极限思想解决物理问题的科学思维方法 3.理解匀变速直线运动的位移与时间的关系式会应用此关系式对匀变速直线运动问题进行分析和计算 4.知道什么是 xt 图象，能应用 xt 图象分析物体的运动 新知预习 一、匀速直线运动的位移 1做匀速直线运动
2、的物体在时间 t 内的位移 xvt.2做匀速直线运动的物体，其 vt 图象是一条平行于时间轴的直线，其位移在数值上等于 vt 图象与对应的时间轴所围的矩形的面积如图所示：二、匀变速直线运动的位移 1位移在 vt 图象中的表示：做匀变速直线运动的物体的位移对应着 vt 图象中的图线和时间轴包围的面积如图所示，在0t 时间内的位移大小等于梯形的面积 2位移公式 xv0t12at2.(1)公式中 x、v0、a 均是矢量，应用公式解题前应先根据正方向明确它们的正、负值(2)当 v00 时，x12at2，表示初速度为零的匀加速直线运动的位移与时间的关系(3)当 a0 时，xv0t，表示匀速直线运动的位移
3、与时间的关系 问题探索 想一想 问题 1 如图所示，vt 图象中图线与时间轴所围的矩形的面积有时在时间轴上方，有时在时间轴下方这时物体的位移有何不同？提示 根据 vt 图象的物理意义，图线在时间轴上方，表明物体向正方向运动，图线与时间轴所围的矩形的面积代表物体的位移为正值，位移沿正方向；同理图线与时间轴所围的矩形的面积在时间轴的下方表明物体的位移是负值，位移沿负方向 问题 2 匀速直线运动的位移公式为 xvt，由此式可以得出它的位移 x 与时间 t 呈线性关系，作出的 xt 图象为倾斜直线；匀变速直线运动的位移公式为 xv0t12at2，那么它的 xt 图象应为什么形状？提示 匀变速直线运动的
4、位移 x 是时间 t 的二次函数，由数学知识可知匀变速直线运动的 xt 图象应为抛物线 3 新课堂互动探究 知识点一 对位移公式 xv0t12at2的理解 重点聚焦 1公式的适用条件 位移公式 xv0t12at2只适用于匀变速直线运动 2公式的矢量性 公式中 x、v0、a 都是矢量，应用时必须选取统一的正方向 若选 v0方向为正方向，则：(1)物体加速，a 取正值(2)物体减速，a 取负值(3)若位移为正值，位移的方向与正方向相同(4)若位移为负值，位移的方向与正方向相反 3两种特殊形式(1)当 a0 时，xv0t(匀速直线运动)(2)当 v00 时，x12at2(由静止开始的匀加速直线运动)
5、特别提醒(1)公式 xv0t12at2是匀变速直线运动的位移公式，而不是路程公式，利用该公式计算出的物理量是位移而不是路程(2)位移与时间的平方不是正比关系，时间越长，位移不一定越大 典例精析 以 18 m/s 的速度行驶的汽车，紧急刹车后做匀减速直线运动，其加速度的大小为 6 m/s2，求汽车在 6 s 内通过的距离【解析】汽车刹车后到停止的运动时间为 t，加速度为 a6 m/s2，由速度公式 vv0at 得：tvv0a0186 s3 s，则汽车在这 3 s 内通过的位移为：xv0t12at2183 m12(6)32 m27 m.3 s 之后汽车静止不动，故汽车在 6 s 内通过的距离为 2
6、7 m.【答案】27 m【方法归纳】由于汽车在 3 s 时停止运动，所以直接代入公式 xv0t12at2求出的结果 x186 m12(6)62 m0 显然不是汽车运动的实际距离，原因是汽车停止运动后不能自动往回倒退，而直接代入时间求得的结果却是认为汽车一直做匀减速直线运动所以处理此类问题时，一定要先计算汽车刹车到停止所用的时间，然后与已知时间进行比较，若已知时间大于刹车时间，则计算时不能用已知时间；若已知时间小球刹车时间，则应直接应用已知时间求解 跟踪练习 1质点做直线运动的位移 x 与时间 t 的关系为 x5tt2(各物理量均采用国际单位制单位)，则该质点()A第 1 s 内的位移是 5 m
7、 B前 2 s 内的平均速度是 6 m/s C任意相邻 1 s 内的位移差都是 1 m D任意 1 s 内的速度增量都是 2 m/s【解析】第 1 s 内的位移只需将 t1 s 代入即可求出 x6 m，A 错误；前 2 s 内的平均速度为 v x22 s52222 m/s7 m/s，B 错；由题给解析式可以求得加速度为 a2 m/s2，xaT22 m，C 错；由加速度的定义可知 D 选项正确【答案】D 知识点二 匀变速直线运动的几个有用推论 重点聚焦 1平均速度：做匀变速直线运动的物体在一段时间 t 内的平均速度等于这段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初末速度矢量和的一半 推导：设物体
8、的初速度为 v0，做匀变速直线运动的加速度为 a，t 秒末的速度为 v.由 xv0t12at2得，平均速度 vxtv012at 由速度公式 vv0at，当 tt2时 vt2v0at2 由得 vvt2 又 vvt2at2 由解得 vt2v0v2 所以 vvt2v0v2.2逐差相等：在任意两个连续相等的时间间隔 T 内，位移之差是一个常量，即 xxxaT2 推导：时间 T 内的位移 x1v0T12aT2 在时间 2T 内的位移 x2v0(2T)12a(2T)2 则 xx1，xx2x1 由得 xxxaT2.此推论常有两方面的应用：一是用以判断物体是否做匀变速直线运动，二是用以求加速度 特别提醒(1)
9、以上推论只适用于匀变速直线运动，其他性质的运动不能套用此推论来处理问题(2)推论 xxaT2 常在实验中根据打出的纸带求物体的加速度 典例精析 一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是 24 m 和 64 m，每一个时间间隔为 4 s，求物体的初速度和末速度及加速度【解析】解法一：基本公式法 如图所示：由位移公式得，x1vAT12aT2 x2vA2T12a(2T)2(vAT12aT2)vCvAa2T，将 x124 m，x264 m，T4 s 代入以上三式，解得 a2.5 m/s2，vA1 m/s，vC21 m/s.解法二：用平均速度公式法 连续两段时间T内的平均速度
10、分别为：v1x1T244 m/s6 m/s，v2x2T644 m/s16 m/s.且 v1vAvB2，v2vBvC2，由于 B 是 A、C 的中间时刻，则 vBvAvC2 v1 v226162m/s11 m/s.解得vA1 m/s，vC21 m/s.其加速度为：avCvA2T 21124 m/s22.5 m/s2.解法三：用逐差法由 xaT2可得 a xT2 642442m/s22.5 m/s2 又 x1vAT12aT2 vCvAa2T 由解得：vA1 m/s，vC21 m/s.【答案】1 m/s 21 m/s 2.5 m/s2【方法归纳】匀变速直线运动问题的解题方法很多，但应力争找到一种最简
11、单的方法，以达到练习基本公式和推论的目的 跟踪练习 2一辆正在匀加速行驶的汽车在 5 s 内先后经过路旁两个相距 50 m 的电线杆它经过第 2 根的速度为 15 m/s，求它经过第 1根电线杆的速度及行驶的加速度【解析】由题意可知，x50 m，t5 s，v215 m/s，可以求得：vxt10 m/s，又 vv1v22，故 v12 vv25 m/s，由 v2v1at 可得：av2v1t2 m/s2.【答案】5 m/s 2 m/s2 知识点三 初速度为零的匀加速直线运动的几个比例 重点聚焦 11T 末、2T 末、3T 末、nT 末瞬时速度之比为 v1：v2：v3：vn1：2：3：n 21T 内、
12、2T 内、3T 内、nT 内的位移之比为 x1：x2：x3：xn12：22：32：n2 3第一个 T 内，第二个 T 内，第三个 T 内，第 n 个 T 内位移之比为 x：x：x：xn1：3：5：(2n1)4通过前 x、前 2x、前 3x时的速度之比为 v1：v2：v3：vn1：2：3：n 5通过前 x、前 2x、前 3x的位移所用时间之比为 t1：t2：t3：tn1：2：3：n 6通过连续相等的位移所用时间之比为 t：t：t：tn1：(21)：(3 2)：(n n1)特别提醒(1)以上比例成立的前提是物体做初速度为零的匀加速直线运动(2)对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度
13、为零的匀加速直线运动，应用比例关系，可使问题简化 典例精析 一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下(斜面足够长)，已知小球在第 4 s 末的速度为 4 m/s.求：(1)第 6 s 末的速度；(2)前 6 s 内的位移；(3)第 6 s 内的位移【解析】由 v1at1得，av1t14 m/s4 s 1 m/s2 所以第 1 s 内的位移 x112a12m0.5 m.(1)由于第 4 s 末与第 6 s 末的速度之比 v1：v24：62：3 故第 6 s 末的速度 v232v16 m/s(2)第 1 s 内与前 6 s 内的位移之比 x1：x612：62 故前 6 s 内小球的位移 x636x118
14、m(3)第 1 s 内与第 6 s 内的位移之比 x：x1：(261)故第 6 s 内的位移 x11x5.5 m.【答案】(1)6 m/s(2)18 m(3)5.5 m【方法归纳】(1)运用初速度为零的匀变速直线运动的比例关系解题非常快捷、方便(2)对于末速度为零的匀减速直线运动可用逆向思维法和比例法解题 跟踪练习 3质点从静止开始做匀加速直线运动，在第 1 个 2 s、第 2个 2 s 和第 5 s 内的位移之比为()A2：6：5 B2：8：7 C4：12：9 D2：2：1【解析】由位移公式 x12at2得第 1 个 2 s 内的位移 x112at2112a222a，第 2 个 2 s 内的
15、位移 x212a(t22t21)12a(4222)6a，第 5 s 内的位移 x312a(5242)92a，故 x1：x2：x32a：6a：92a4：12：9，因此选 C.【答案】C 4 新思维随堂自测 1.一物体做匀变速直线运动，下列说法中正确的是()A物体的末速度一定与时间成正比 B物体的位移一定与时间的平方成正比 C物体的速度在一定时间内发生的变化与这段时间成正比 D若为匀加速直线运动，速度和位移都随时间增加；若为匀减速直线运动，速度和位移都随时间减小【解析】由速度公式 vv0at 知，只有 v00 时，末速度才与时间成正比，故 A 错误；由 vvv0at 可知，速度变化与这段时间成正比
16、，故 C 正确；根据 xv0t12at2 可知，只有 v00 时，xt2，则 B 错；在匀减速直线运动中，速度随时间减小，位移随时间增加，D 错误【答案】C 2一辆汽车以 2 m/s2的加速度做匀减速直线运动，经过 2 s(汽车未停下)，汽车行驶了 36 m汽车开始减速时的速度是()A9 m/s B18 m/s C20 m/s D12 m/s 【解析】由位移公式xv0t12at2得汽车的初速度v02xat22t236(2)2222 m/s20 m/s，C正确【答案】C 3从静止开始做匀加速直线运动的物体，前 20 s 内的位移是10 m，则该物体运动 1 min 时的位移为()A36 m B6
17、0 m C90 m D360 m【解析】设物体的加速度为 a，则 x112at21，x212at22，且x110 m，t120 s，t260 s，故 x2t22t21x160220210 m90 m，C 选项正确【答案】C 4.一辆汽车从静止开始由甲地出发，沿平直公路开往乙地，汽车先做匀加速直线运动，接着做匀减速直线运动，开到乙地刚好停止，其速度图象如图所示，那么 0t 和 t3t 两段时间内()A加速度大小之比为 3：1 B位移大小之比为 1：2 C平均速度大小之比为 2：1 D平均速度大小之比为 1：2【解析】由 a v t得 0t 和 t3t 两段时间内的加速度大小之比为 2：1，A 错
18、误；利用图线与时间轴所围面积可判断位移之比为 1：2，B 正确由平均速度 vxt可得，平均速度之比为 1：1，C、D 错【答案】B 5.(多选)如图所示，完全相同的三个木块并排固定在水平地面上，一颗子弹以速度 v 水平射入，若子弹在木块中所受阻力恒定，且穿过第三个木块后速度恰好为零，则子弹依次射入每个木块时的速度之比和穿过每个木块所用时间之比分别为()Av1：v2：v33：2：1 Bv1：v2：v3 3：2：1 Ct1：t2：t31：2：3 Dt1：t2：t3(3 2)：(21)：1【解析】把子弹的运动看做逆向的初速度为零的匀加速直线运动子弹由右向左依次“穿出”3 个木块的速度之比为 1：2：
19、3.则子弹实际运动依次穿入每个木块时的速度之比 v1：v2：v33：2：1，故 B 正确子弹从右向左，通过每个木块的时间之比为 1：(21)：(3 2)，则子弹实际运动通过连续相等的位移的时间之比为 t1：t2：t3(3 2)：(21)：1，故 D 正确【答案】BD 5 新视点名师讲座 巧用逆向思维，妙解物理难题 学生在解物理题时，往往是进行顺向思维即由原因推导结果这种从正面思考问题的习惯思维方式有它的优势，但有些物理问题从正面思考显得极为烦琐，甚至无法求解逆向思维也是解决物理问题的重要思维方法之一，在平时的学习中要注意加强培养，使问题得到更为简便巧妙的解决 一、利用匀变速直线运动中匀减速运动
20、与匀加速运动规律的共性，将匀减速运动视为反方向的匀加速运动加以处理 一物体以某一初速度在粗糙平面上做匀减速直线运动，最后停下来若此物体在最初 5 s 内经过的位移与最后 5 s内经过的位移之比为 11：5，则此物体一共运动了多长时间？【分析】若依据匀变速运动规律列式，将会出现总时间 t比前后两个5 s的和10 s是大还是小的问题，讨论起来比较复杂若用逆向思维，求解将会简便得多，会起到事半功倍的效果【解析】将该运动看成是初速度为零的匀加速运动，设物体的加速度为 a，总时间为 t，则最后 5 s(t25 s)通过的位移为 x212at22 最初 5 s(t15 s)末速度 va(tt1)，通过的位
21、移为 x1vt112at21 由题意得 x1：x211：5 以上式子联立得 t8 s.二、利用运动的相对性，将静止的物体视为运动的物体来处理 当处理某些相对于静止物体而运动的运动学问题时，转移一下研究对象，利用运动的相对性，视“静止物体”相对于“运动物体”而运动来处理，往往会使问题得以简化 一列火车从静止开始做匀加速直线运动，一个人站在第 1 节车厢前端的站台上，观测到第 1 节车厢通过他历时 2 s，全部车厢通过他历时 6 s，则此列车的车厢数目是多少？【分析】(1)把火车从静止开始做匀加速直线运动通过站台前一个人的过程，换位思考，以火车为参考系，则这个人就从静止开始做匀加速直线运动了；(2)抓住每一节车厢的长度相等这个特点，选取“通过相等位移所用时间之比”这个推论解题【解析】初速度为零的匀变速直线运动，通过相等位移所用时间之比为 t1：t1：1(21)(3 2)(n n1)即 2：61：n 解得 n9(节).