1、4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程1会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征(重点)2能根据所给条件求圆的标准方程(重点、难点)3掌握点与圆的位置关系(易错点)基础初探教材整理1圆的标准方程阅读教材P118P119第1行的内容，完成下列问题1以C(a，b)为圆心，r(r0)为半径的圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2.2以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2y2r2.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)圆心位置和圆的半径确定，圆就惟一确定()(2)方程(xa)2(yb)2m2一定表示圆()(3)圆(x2)2(y3)29的圆心坐标是(2,3)，半径是9.()【解析】(1)正确
2、确定圆的几何要素就是圆心和半径(2)错误当m0时，不表示圆(3)错误圆(x2)2(y3)29的圆心为(2，3)，半径为3.【答案】(1)(2)(3)教材整理2点与圆的位置关系阅读教材P119“例1”及“探究”部分，完成下列问题设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d与r的大小关系drdrdr已知圆的方程是(x2)2(y3)24，则点P(3,2)()A是圆心B在圆上C在圆内D在圆外【解析】圆心M(2,3)，半径r2，|PM|r，点P在圆内【答案】C 小组合作型直接法求圆的标准方程(1)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为
3、()Ax2(y2)21Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21Dx2(y3)21(2)已知一圆的圆心为点(2，3)，一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是()A(x2)2(y3)213B(x2)2(y3)213C(x2)2(y3)252D(x2)2(y3)252【精彩点拨】(1)设出圆心坐标，利用两点间的距离公式求圆心坐标，再写出圆的标准方程(2)根据中点坐标公式求出直径两端点坐标，进而求出圆的半径，再写出圆的标准方程【自主解答】(1)设圆心坐标为(0，b)，则由题意知1，解得b2.故圆的方程为x2(y2)21.(2)设此直径两端点分别为(a,0)，(0，b)，由于圆心坐标为(
4、2，3)，所以a4，b6，所以圆的半径r，从而所求圆的方程是(x2)2(y3)213.【答案】(1)A(2)A确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.再练一题1以点A(5,4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是() A(x5)2(y4)225B(x5)2(y4)216C(x5)2(y4)216D(x5)2(y4)225【解析】因该圆与x轴相切，则圆的半径r等于圆心纵坐标的绝对值，所以圆的方程为(x5)2(y4)216.【答案】C待定系数法求圆的标准方程求圆心在直线x2y30上，且过点A
5、(2，3)，B(2，5)的圆的标准方程【精彩点拨】解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径，再写方程，也可以设出方程用待定系数法求解，也可以利用几何性质求出圆心和半径【自主解答】法一：设点C为圆心，点C在直线：x2y30上，可设点C的坐标为(2a3，a)又该圆经过A，B两点，|CA|CB|.，解得a2.圆心坐标为C(1，2)，半径r.故所求圆的标准方程为(x1)2(y2)210.法二：设所求圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，由条件知解得故所求圆的标准方程为(x1)2(y2)210.法三：线段AB的中点为(0，4)，kAB，所以弦AB的垂直平分线的斜率k2，所以线段AB的垂直平分线的方程为
6、：y42x，即y2x4.故圆心是直线y2x4与直线x2y30的交点，由得即圆心为(1，2)，圆的半径为r，所以所求圆的标准方程为(x1)2(y2)210.1待定系数法求圆的标准方程的一般步骤设方程(xa)2(yb)2r2)列方程组(由已知条件，建立关于a、b、r的方程组)解方程组(解方程组，求出a、b、r)得方程(将a、b、r代入所设方程，得所求圆的标准方程)2注意利用圆的有关几何性质，可使问题计算简单再练一题2求圆心在x轴上，且过点A(5,2)和B(3，2)的圆的标准方程【解】法一设圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)则解得所以所求圆的方程为(x4)2y25.法二因为圆过A(5,2)，
7、B(3，2)两点，所以圆心一定在线段AB的中垂线上AB中垂线的方程为y(x4)，令y0，得x4.即圆心坐标为C(4,0)，所以r|CA|.所以所求圆的方程为(x4)2y25.探究共研型与圆有关的最值问题探究1若P(x，y)为圆C(x1)2y2上任意一点，请求出P(x，y)到原点的距离的最大值和最小值【提示】原点到圆心C(1,0)的距离d1，圆的半径为，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1，最小距离为1.探究2若P(x，y)是圆C(x3)2y24上任意一点，请求出P(x，y)到直线xy10的距离的最大值和最小值【提示】P(x，y)是圆C上的任意一点，而圆C的半径为2，圆心C(3,0)，圆心C到直线
8、xy10的距离d2，所以点P到直线xy10的距离的最大值为22，最小值为22.已知x，y满足x2(y4)24，求的最大值与最小值【精彩点拨】x，y满足x2(y4)24，即点P(x，y)是圆上的点而表示点(x，y)与点(1，1)的距离故此题可以转化为求圆x2(y4)24上的点与点(1，1)的距离的最值问题【自主解答】因为点P(x，y)是圆x2(y4)24上的任意一点，圆心C(0，4)，半径r2，因此表示点A(1，1)与该圆上点的距离因为|AC|2(1)2(14)24，所以点A(1，1)在圆外如图所示而|AC|，所以的最大值为|AC|r2，最小值为|AC|r2.1本题将最值转化为线段长度问题，从而
9、使问题得以顺利解决充分体现了数形结合思想在解题中的强大作用2涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解一般地： k的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；形如taxby的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；形如m(xa)2(yb)2的最值问题，可转化为两点间的距离的平方的最值问题等再练一题3已知圆C：(x3)2(y4)21，点A(0，1)，B(0,1)，设P是圆C上的动点，令d|PA|2|PB|2，求d的最大值及最小值. 图411【解】设P(x，y)，则d|PA|2|PB|22(x2y2)2.|CO|2324225，(51)2x2y2(51)2. 即16x2y236.d的最小值
10、为216234，最大值为236274.1点P(m,5)与圆x2y224的位置关系是()A在圆外B在圆内C在圆上D不确定【解析】m22524，点P在圆外【答案】A2以点为圆心，半径为的圆的方程为()A.2(y1)2B.2(y1)2C.2(y1)2D.2(y1)2【解析】由圆的几何要素知A正确【答案】A3经过圆C：(x1)2(y2)24的圆心且斜率为1的直线方程为_. 【解析】圆C的圆心为(1,2)，又所求直线的斜率为1，故由点斜式得y2x1，即xy30.【答案】xy304若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线yx对称，则圆C的标准方程为_【解析】由题意知圆C的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C的标准方程为x2(y1)21.【答案】x2(y1)215已知圆C的半径为，圆心在直线xy20上，且过点(2,1)，求圆C的标准方程【解】圆心在直线xy20上，r，设圆心为(t，t2)(t为参数)圆C的标准方程为(xt)2(yt2)217.圆C过点(2,1)，(2t)2(1t2)217.解得t2或t1.圆心C的坐标是(2,0)或(1，3)所求圆C的标准方程是(x2)2y217或(x1)2(y3)217.