1、第2讲椭圆、双曲线、抛物线JIE TI CE LUE MING FANG XIANG解题策略明方向考情分析1圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题2直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高真题分布(理科)年份卷别题号考查角度分值2020卷4、15抛物线的定义及其应用；双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用10卷8双曲线的焦距、渐近线以及基本不等式的应用5卷5、11直线与抛物线，抛物线的性质及其应用；双曲线的定义及其应用102019卷10、16椭圆的定义及标准方程，双曲线的几何性质10卷8、11
2、抛物线和椭圆的标准方程，圆、双曲线的标准方程和几何性质10卷10、15双曲线的标准方程、几何性质102018卷8、11直线与抛物线的位置关系、平面向量的数量积，双曲线的几何性质10卷5、12双曲线的几何性质，直线的方程与椭圆的几何性质10卷11、16双曲线的几何性质，直线与抛物线的位置关系10(文科)年份卷别题号考查角度分值2020卷11双曲线定义以及焦点三角形问题5卷9双曲线的焦距、渐近线以及基本不等式的应用5卷7、14直线与抛物线以及抛物线的对称问题；双曲线的简单性质及其应用102019卷10、12双曲线的渐近线与离心率的关系，椭圆的定义与标准方程10卷9、12抛物线和椭圆的焦点，圆、双曲
3、线的标准方程和几何性质10卷10、19双曲线的标准方程及几何性质；椭圆的方程和性质172018卷4椭圆的几何性质5卷6、11双曲线的几何性质，椭圆的定义及几何性质10卷10双曲线的几何性质及点到直线的距离5KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN考点分类析重点考点一圆锥曲线的定义及标准方程1圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)；(3)抛物线：|PF|PM|，点F不在直线l上，PMl于M.2圆锥曲线的标准方程(1)椭圆的标准方程为1，其中ab0；(2)双曲线的标准方程为1，其中a0，b0
4、；(3)抛物线的标准方程为x22py，y22px，其中p0典例1(1)(2020漳州三模)若方程1表示椭圆，则实数a的取值范围是(B)A(20,4)B(20，8)(8,4)C(，20)(4，)D(，20)(8，)(2)(2019海口调研)已知点M为双曲线C：x21的左支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则|MF1|F1F2|MF2|(B)A1B4C6D8(3)(2020茂名二模)古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，C的面积为2，过点F1的直线交C于点A，B，且ABF2的周长为8，则C的
5、标准方程为(C)Ay21B1C1D1(4)(2020北京昌平区期末)抛物线y22px上一点M到焦点F(1,0)的距离等于4，则p_2_；点M的坐标为_(3，2)_.【解析】(1)方程1表示椭圆，解得20a6)，则其焦距为_6_.(2)(2019安徽A10联盟最后一卷)已知F为抛物线C：y24x的焦点，点A在抛物线上，若点P是抛物线准线上的动点，O为坐标原点，且|AF|5，则|PA|PO|的最小值为_2_.【解析】(1)1(m6)，c2m3(m6)9，c3,2c6(2)|AF|5，点A到准线的距离为5，即点A的横坐标为4，又点A在抛物线上，点A的坐标为(4，4)，坐标原点关于准线的对称点的坐标为
6、B(2,0)则|PA|PO|PA|PB|AB|2.考点二圆锥曲线的几何性质1椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：a2b2c2，离心率为e；(2)在双曲线中：c2a2b2，离心率为e.2双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx.注意离心率e与渐近线的斜率的关系典例2(1)(2020梅州二模)已知双曲线C：1(a0，b0)的渐近线方程为yx，且其一个焦点为(5,0)，则双曲线C的方程为(B)A1B1C1D1(2)(2020江苏省泰州中学、宜兴中学、江都中学联考)设A，F分别为椭圆C：1(ab0)的右顶点和右焦点，B1，B2为椭圆C短轴的两个端点，若点F恰为AB1B2的重心，则椭圆C的
7、离心率的值为_.【解析】(1)由双曲线的方程及渐近线的方程可得：，即3a4b，又由题意可得c5，且c2a2b2，所以解得a216，b29，所以双曲线的方程为：1，故选B(2)如图：由题可知，B1(0，b)，B2(0，b)，A(a,0)，F(c,0)，则a3c，即e.圆锥曲线的几何性质的应用确定椭圆和双曲线的离心率的值或范围，其关键就是建立一个关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)，再根据a，b，c的关系消掉b得到关于a，c的关系式建立关于a，b，c的方程(组)或不等式(组)时，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质2(2020运城三模)已知双曲线C：1(a0，b0)的两条渐近线与曲线x|y|c(c
8、)围成一个面积为的菱形，则双曲线C的方程为(D)A1B1Cx21Dy21【解析】由题意可得菱形的一个内角为60，一条对角线的长为c，另一条对角线的长为c，所以cc，c2，而a2b2c24，解得：a23，b21，双曲线C的方程为y21，故选D3(2020青海省玉树州高三联考)已知O为坐标原点，F为椭圆C：1(ab0)的右焦点，过点F的直线在第一象限与椭圆C交于点P，且POF为正三角形，则椭圆C的离心率为_1_.【解析】因为F为椭圆C：1(ab0)的右焦点，所以F(c,0)，又过点F的直线在第一象限与椭圆C交于点P，且POF为正三角形，边长为c，所以P，代入1可得：1，又a2b2c2，所以4a48
9、a2c2c40，所以e48e240，解得e242，因为0e0直线与曲线相交；(2)相切：0直线与曲线相切；(3)相离：0)的焦点弦为AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有|AB|x1x2p，x1x2，y1y2p2考向1直线与圆锥曲线的位置关系典例3(2020马鞍山二模)已知F为抛物线E：y22px(p0)的焦点，以F为圆心作半径为R的圆F，圆F与x轴的负半轴交于点A，与抛物线E分别交于点B，C.(1)若ABC为直角三角形，求半径R的值；(2)判断直线AB与抛物线E的位置关系，并给出证明【解析】(1)由抛物线和圆的对称性可得B，C关于x轴对称，再由ABC为直角三角形可得BC为圆的直径，B
10、，C，F三点共线，xB，代入抛物线的方程可得yBp，所以圆的半径Rp.(2)直线AB与抛物线E相切由(1)知A，|AF|p，B，C，则直线AB：yx，联立，整理得x2px0，p2p20，直线AB与抛物线相切判断直线与圆锥曲线的位置关系的两种常用方法(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，从而判断直线与圆锥曲线的关系(2)几何法：画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数，从而判断直线与圆锥曲线的关系考向2与弦的中点有关的问题典例4(2019武汉调研)过点P(4,2)作一直线AB与双曲线C：y21相交于A、
11、B两点，若P为AB中点，则|AB|(D)A2B2C3D4【解析】易知直线AB不与y轴平行，设其方程为y2k(x4)，代入双曲线C：y21，整理得(12k2)x28k(2k1)x32k232k100，设此方程两实根为x1，x2，则x1x2，又P(4,2)为AB的中点，所以8，解得k1当k1时，直线与双曲线相交，即上述二次方程的0，所求直线AB的方程为y2x4化成一般式为xy20x1x28，x1x210，|AB|x1x2|4.故选D圆锥曲线以P(x0，y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率圆锥曲线方程直线斜率椭圆：1(ab0)k双曲线：1(a0，b0)k抛物线：y22px(p0)k其中k(x1x
12、2)，(x1，y1)，(x2，y2)为弦的端点坐标考向3直线与圆锥曲线的相交弦问题典例5(2020三明模拟)设椭圆M：1(ab0)的离心率与双曲线x2y21的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4(1)求椭圆M的方程；(2)若直线yxm交椭圆M于A，B两点，P(1，)为椭圆M上一点，求PAB面积的最大值【解析】(1)双曲线的离心率为，由题意可得椭圆的离心率e，由2a4，b2a2c2，得a2，c，b，故椭圆M的方程为1(2)联立方程，得4x22mxm240，由(2m)216(m24)0，得2m2.且，所以|AB|.又P到直线AB的距离为d，所以SPAB|AB|d.当且仅当m2(2，2)时取等号，所以
13、(SPAB)max.直线与圆锥曲线的相交弦的弦长解决直线与圆锥曲线的相交弦问题的通法是将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y或x后得到一元二次方程，当0时，直线与圆锥曲线有两个交点，设为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系求出x1x2，x1x2或y1y2，y1y2，则弦长|AB|y1y2|(k为直线的斜率且k0)，当A，B两点坐标易求时也可以直接用|AB|求解4(1)(2019昆明统测)已知椭圆E：1(ab0)，直线l过焦点且倾斜角为，以椭圆的长轴为直径的圆截l所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为(D)ABCD(2)(2020天津一模)抛物线C：y22px(p0)的焦点F，
14、其准线过(2,2)，过焦点F倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，则p_4_；弦AB的长为_.【解析】(1)直线l的方程为yxc，以椭圆的长轴为直径的圆截l所得的弦为AB，AB2c，设OCAB，垂足为C，则OCc，在RtOAC中，OA2AC2OC2a22c2a2c2cae.故选D(2)由条件可得准线方程为2，则p4，则抛物线方程为y28x，所以F(2,0)，直线方程为y(x2)，代入抛物线方程可得3x220x120，则有xAxB，xAxB4，所以AB2.YI CUO QING LING MIAN SHI WU易错清零免失误1直线和圆锥曲线的位置关系中忽视数学运算的精确性，凭经验猜想得结果而出错典
15、例1过双曲线x21的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，且4，则这样的直线有_3_条【错解】4条过右焦点的直线，与双曲线右支交于A、B时，满足条件的有上、下各一条(关于x轴对称)；与双曲线的左、右分别两交于A、B两点，满足条件的有上、下各一条(关于x轴对称)，所以共4条【剖析】实际上，通过计算可知，过右焦点且与x轴垂直的弦AB(即通径)为4，恰好为所需长度，因此过右焦点的直线与右支相交于A、B两点时，仅有一条满足条件【正解】过右焦点且与x轴垂直的弦AB(即通径)为4，所以过右焦点的直线，与双曲线右支交于A、B时，满足条件的仅一条；与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点，满足条件的有上、下各一条(
16、关于x轴对称)，所以共3条2以偏概全，重视一般性而忽视特殊情况典例2过点(0,1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有(C)A1条B2条C3条D0条【错解】设直线的方程为ykx1，联立，得(kx1)24x，即：k2x2(2k4)x10，再由0，得k1，得答案A【剖析】本题的解法有两个问题，一是将斜率不存在的情况考虑漏掉了，另外又将斜率k0的情形丢掉了，故本题应有三解，即直线有三条【正解】C由上述分析，y轴本身即为一切线，满足题意；解方程k2x2(2k4)x10时，若k0，即直线y1也与抛物线y24x仅有一个公共点，又k1时也合题意，所以有三条直线合题意，选C典例3双曲线1(
17、a0，b0)的两个焦点分别为F1、F2，若P为其上一点，且|PF1|2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为_(1,3_.【错解】如图，设|PF2|m，F1PF2(0)，由条件得|PF1|2m，|F1F2|2m2(2m)24m2cos ，且|PF1|PF2|m2a.所以e.又1cos 1，所以e(1,3)【剖析】漏掉了P在x轴上的情况，即F1PF2时的情况【正解】设|PF2|m，F1PF2(0)，当点P在右顶点处时，.当点P不在顶点时，0. 由条件，得|PF1|2m，|F1F2|2m2(2m)24m2cos ，且|PF1|PF2|m2a.所以e.又1cos 1，所以e(1,33忽视“判别式”致
18、误典例4已知双曲线x21，过点A(1,1)能否作直线l，使l与双曲线交于P、Q两点，并且A为线段PQ的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由【错解1】设被A(1,1)所平分的弦所在直线方程为yk(x1)1，代入双曲线方程x21，整理得(2k2)x22k(k1)x32kk20，设直线与双曲线交点为P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1x2.点A(1,1)是弦中点，则11，解得k2故所求直线方程为2xy10【错解2】设符合题意的直线l存在，并设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则式得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)因为A(1,1)为线段PQ的中点
19、，所以将式、代入式，得x1x2(y1y2)若x1x2，则直线l的斜率k2所以符合题设条件的直线的方程为2xy10【剖析】没有判断直线2xy10与双曲线是否相交【正解1】设被A(1,1)所平分的弦所在直线方程为yk(x1)1代入双曲线方程x21，整理得，(2k2)x22k(k1)x32kk20由解得k，故不存在被点A(1,1)平分的弦【正解2】设符合题意的直线l存在，并设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则式得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)因为点A(1,1)为线段PQ的中点，所以将式、代入式得x1x2(y1y2)若x1x2，则直线l的斜率k2所以直线l的方程为2xy10，再由得2x24x30根据80，所以所求直线不存在