1、1.3空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积1通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积与体积的求法(重点)2会求组合体的表面积与体积(难点、易错点)基础初探教材整理1柱体、锥体、台体的表面积阅读教材P23P25“例2”以上内容，完成下列问题1多面体的表面积多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积2旋转体的表面积名称图形公式圆柱底面积：S底2r2侧面积：S侧2rl表面积：S2rl2r2圆锥底面积：S底r2侧面积：S侧rl表面积：Srlr2圆台上底面面积：S上底r2下底面面积：S下底r2侧面积：S侧l(rr)表面积：S(r2r2rlrl)判
2、断(正确的打“”，错误的打“”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和()(2)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的()(3)圆台的高就是相应母线的长()(4)沿不同的棱将多面体展开，得到的展开图相同，表面积相等()【解析】(1)正确多面体的表面积等于侧面积与底面积之和(2)错误棱台的侧面展开图是由若干个梯形组成的，不一定是等腰梯形(3)错误圆台的高是指两个底面之间的距离(4)错误由于剪开的棱不同，同一个几何体的表面展开图可能不相同但是，不论怎么剪，同一个多面体表面展开图的面积是一样的【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理2柱体、锥体与台体的体积公式阅读教材P25“例2”以下P26“思
3、考”以上内容，完成下列问题(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则VSh.(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则VSh.(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S、S，高为h，则V(SS)h.圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其体积为()A15B30C12D36【解析】圆锥的高h4，故V32412.【答案】C小组合作型空间几何体的表面积和侧面积一个直角梯形的两底边长分别为2和5，高为4.将其绕较长底所在直线旋转一周，求所得旋转体的表面积【精彩点拨】旋转所得到的几何体为圆柱与圆锥的组合体【自主解答】旋转所得几何体如图由图可知，几何体的表面积为一圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面圆的面积之和，S
4、S圆柱底S圆柱侧S圆锥侧422424516162052.1求几何体的表面积时，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台体，再通过这些基本柱、锥、台体的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积2组合体的表面积是组成它的简单几何体的表面积之和减去公共部分面积再练一题1圆台的上、下底面半径和高的比为144，若母线长为10，则圆台的表面积为()A81B100C168D169C圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l5r10，所以r2，R8.故S侧(Rr)l(82)10100，S表S侧r2R2100464168.空间几何体的体积如图131所示，在长方体ABCDABCD中
5、，用截面截下一个棱锥CADD，求棱锥CADD的体积与剩余部分的体积之比图131【精彩点拨】先求出棱锥的体积，再求得剩余部分的体积，最后求得体积之比【自主解答】法一：设ABa，ADb，DDc，则长方体ABCDABCD的体积Vabc，又SADDbc，且三棱锥CADD的高为CDa.V三棱锥CADDSADDCDabc.则剩余部分的几何体体积V剩abcabcabc.故V棱锥CADDV剩abcabc15.法二：已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADDABCCB，设它的底面ADDA面积为S，高为h，则它的体积为VSh.而棱锥CADD的底面面积为S，高为h，因此棱锥CADD的体积VCADDShSh.剩余
6、部分的体积是ShShSh.所以棱锥CADD的体积与剩余部分的体积之比为ShSh15.1常见的求几何体体积的方法(1)公式法：直接代入公式求解(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可(3)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积2求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台体的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算再练一题2如图132所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥图132(1)求剩余部分的体积；(2)求三棱锥AA1BD的高. 【解】(1)V三棱锥A
7、1ABDSABDA1AABADA1Aa3.故剩余部分的体积VV正方体V三棱锥A1ABDa3a3a3.(2)由(1)知V三棱锥AA1BDV三棱锥A1ABDa3，设三棱锥AA1BD的高为h，则V三棱锥AA1BDSA1BDh(a)2ha2h，故a2ha3，解得ha.探究共研型与三视图有关的表面积和体积探究1一个几何体的三视图如图133所示，请说出该几何体的结构特征图133【提示】由所给三视图可知该几何体为一个三棱柱，且底面为直角三角形探究2试根据图133中数据求该几何体的表面积【提示】三棱柱底面三角形的直角边长分别为3和4，斜边长为5，三棱柱的高为5，如图所示，所以表面积为2(345)572.探究3
8、已知几何体的三视图，如何求几何体的表面积？【提示】首先根据三视图确定几何体的结构特征，再根据相应的表面积公式计算如图134，已知某几何体的三视图如图(单位：cm)(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积图134【精彩点拨】【自主解答】(1)这个几何体的直观图如图所示(2)这个几何体可看成是正方体AC1及三棱柱B1C1QA1D1P的组合体由PA1PD1，A1D1AD2，可得PA1PD1.故所求几何体的表面积S522222224(cm2)，所求几何体的体积V23()2210(cm3)1解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图
9、中求出计算体积所需要的数据2若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成，求几何体的体积时，根据需要先将几何体分割分别求解，最后求和再练一题3.如图135是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()图135A20B24C28D32C由三视图可知圆柱的底面直径为4，母线长(高)为4，所以圆柱的侧面积为22416，底面积为224；圆锥的底面直径为4，高为2，所以圆锥的母线长为4，所以圆锥的侧面积为248.所以该几何体的表面积为S164828.1若长方体的长、宽、高分别为3 cm、4 cm、5 cm，则长方体的体积为()A27 cm3B60 cm3C64 cm3D125 cm3B长
10、方体即为四棱柱，其体积为底面积高，即为34560 cm3.2将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A4B3C2D【解析】旋转所得几何体为圆柱，底面圆半径为1，高为1，侧面积S2rh2112.故选C.【答案】C3已知圆锥SO的高为4，体积为4，则底面半径r_. 【解析】由已知得4r24，解得r.【答案】4一个几何体的三视图如图136所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.图136【解析】此几何体是由一个长为3，宽为2，高为1的长方体与底面直径为2，高为3的圆锥组合而成的，故VV长方体V圆锥321123(6)m3.【答案】65如图137所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，求三棱锥D1EDF的体积图137【解】VD1EDFVFDD1ESD1DEAB111.
