1、1正弦定理、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容2Ra2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C变形(1)a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(2)sin A，sin B，sin C；(3)abcsin_Asin_Bsin_C；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A；cos B；cos C2.SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.3在AB
2、C中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aab解的个数一解两解一解一解【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比()(2)在ABC中，若sin Asin B，则AB.()(3)在ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素()(4)当b2c2a20时，三角形ABC为锐角三角形；当b2c2a20时，三角形为直角三角形；当b2c2a20时，三角形为钝角三角形()(5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积()1在ABC中，a3，b3，A，则C为()A. B.C. D.答案C解
3、析由正弦定理得，sin B，ab,0B，B.C(AB).2(2015合肥模拟)在ABC中，A60，AB2，且ABC的面积为，则BC的长为()A. B.C2 D2答案B解析因为SABACsin A2AC，所以AC1，所以BC2AB2AC22ABACcos 603，所以BC.3(2015北京)在ABC中，a4，b5，c6，则_.答案1解析由余弦定理：cos A，sin A，cos C，sin C，1.4(教材改编)ABC中，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为_三角形答案直角解析由已知得sin Bcos Ccos Bsin Csin2A，sin(BC)sin2A，sin Asi
4、n2A，又sin A0，sin A1，A，ABC为直角三角形5(2015杭州二中高中第二次月考)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos Cbsin Cac0，则角B_.答案解析由正弦定理知，sin Bcos Csin Bsin Csin Asin C0.sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C，代入上式得sin Bsin Ccos Bsin Csin C0.sin C0，sin Bcos B10，2sin1，即sin.B(0，)，B.题型一利用正弦定理、余弦定理解三角形例1(1)在ABC中，已知a2，b，A45，则满足条件的三角形有()A1个 B2
5、个C0个 D无法确定(2)在ABC中，已知sin Asin B1，c2b2bc，则三内角A，B，C的度数依次是_(3)(2015广东)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，sin B，C，则b_.答案(1)B(2)45，30，105(3)1解析(1)bsin A，bsin Aab.满足条件的三角形有2个(2)由题意知ab，a2b2c22bccos A，即2b2b2c22bccos A，又c2b2bc，cos A，A45，sin B，B30，C105.(3)因为sin B且B(0，)，所以B或B.又C，BC，所以B，ABC.又a，由正弦定理得，即，解得b1.思维升华(1)判断三角
6、形解的个数的两种方法代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数(2)已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形可用正弦定理，也可用余弦定理用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数(1)已知在ABC中，ax，b2，B45，若三角形有两解，则x的取值范围是()Ax2 Bx2C2x2 D2x2(2)在ABC中，A60，AC2，BC，则AB_.答案(1)C(2)1解析(1)若三角形有两解，则必有ab，x2，又由sin Asin B1，可得x2，x的取值范围是2x2.(2)A60，A
7、C2，BC，设ABx，由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcos A，化简得x22x10，x1，即AB1.题型二和三角形面积有关的问题例2(2015浙江)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A，b2a2c2.(1)求tan C的值；(2)若ABC的面积为3，求b的值解(1)由b2a2c2及正弦定理得sin2Bsin2C.所以cos 2Bsin2C.又由A，即BC，得cos 2Bcos2cossin 2C2sin Ccos C，由解得tan C2.(2)由tan C2，C(0，)得sin C，cos C，因为sin Bsin(AC)sin，所以sin B，由正弦定理得c
8、b，又因为A，bcsin A3，所以bc6，故b3.思维升华(1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化四边形ABCD的内角A与C互补，AB1，BC3，CDDA2.(1)求C和BD；(2)求四边形ABCD的面积解(1)由题设A与C互补及余弦定理得BD2BC2CD22BCCDcos C1312cos C，BD2AB2DA22ABDAcos A54cos C由得cos C，BD，因为C为三角形内角，故C60.(2)四边形ABCD的面积SABDAsin ABCCDsin Csin
9、 602.题型三正弦、余弦定理的简单应用命题点1判断三角形的形状例3(1)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos A，则ABC为()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D等边三角形(2)在ABC中，cos2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为()A等边三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形答案(1)A(2)B解析(1)已知cos A，由正弦定理，得cos A，即sin Csin Bcos A，所以sin(AB)sin Bcos A，即sin Bcos Acos Bsin Asin Bcos A0，所以cos Bsin A0，于是有
10、cos B0，B为钝角，所以ABC是钝角三角形(2)cos2，cos2，(1cos B)cac，acos Bc，2a2a2c2b2，a2b2c2，ABC为直角三角形命题点2求解几何计算问题例4(2015课标全国)如图，在ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍(1)求；(2)若AD1，DC，求BD和AC的长解(1)SABDABADsinBAD，SADCACADsinCAD.因为SABD2SADC，BADCAD，所以AB2AC.由正弦定理可得.(2)因为SABDSADCBDDC，所以BD.在ABD和ADC中，由余弦定理，知AB2AD2BD22ADBDcosADB，A
11、C2AD2DC22ADDCcosADC.故AB22AC23AD2BD22DC26，由(1)知AB2AC，所以AC1.思维升华(1)判断三角形形状的方法化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论(2)求解几何计算问题要注意根据已知的边角画出图形并在图中标示；选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理(1)(2015马鞍山模拟)在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，若cacos B(2ab)cos A，则ABC的形状为()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰或
12、直角三角形(2)如图，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sinBAC，AB3，AD3，则BD的长为_答案(1)D(2)解析(1)cacos B(2ab)cos A，C(AB)，由正弦定理得sin Csin Acos B2sin Acos Asin Bcos A，sin Acos Bcos Asin Bsin Acos B2sin Acos Asin Bcos Acos A(sin Bsin A)0，cos A0或sin Bsin A，A或BA或BA(舍去)，ABC为等腰或直角三角形(2)sinBACsin(BAD)cosBAD，cosBAD.BD2AB2AD22ABADcosBAD(3
13、)232233，即BD23，BD.二审结论会转换典例(12分)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acb，sin Bsin C.(1)求cos A的值；(2)求cos的值 (1)根据余弦定理 (2)规范解答解(1)ABC中，由，及sin Bsin C，可得bc，2分又由acb，有a2c，4分所以cos A.7分(2)在ABC中，由cos A，可得sin A.8分于是，cos 2A2cos2A1，9分sin 2A2sin Acos A.10分所以，coscos 2Acos sin 2Asin .12分温馨提醒(1)本题将正弦定理、余弦定理和和差公式综合进行考查，具有一定的综合
14、性，要求考生对公式要熟练记忆；通过审题理清解题方向；(2)本题还考查考生的基本运算求解能力，要求计算准确无误，尽量简化计算过程，减少错误方法与技巧1应熟练掌握和运用内角和定理：ABC，中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数2解题中要灵活使用正弦定理、余弦定理进行边、角的互化，一般要只含角或只含边失误与防范1在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论2在解三角形或判断三角形形状时，要注意三角函数值的符号和角的范围，防止出现增解、漏解A组专项基础训练(时间：35分钟)1在ABC中，若a4，b3，cos
15、 A，则B等于()A. B.C. D.答案A解析因为cos A，所以sin A，由正弦定理，得，所以sin B，又因为ba，所以B，B，故选A.2设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若bc2a,3sin A5sin B，则角C等于()A. B. C. D.答案A解析因为3sin A5sin B，所以由正弦定理可得3a5b.因为bc2a，所以c2aaa.令a5，b3，c7，则由余弦定理c2a2b22abcos C，得49259235cos C，解得cos C，所以C.3若ABC的三个内角满足sin Asin Bsin C51113，则ABC()A一定是锐角三角形B一定是直角三角形
16、C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形答案C解析由正弦定理2R(R为ABC外接圆半径)及已知条件sin Asin Bsin C51113，可设a5x，b11x，c13x(x0)则cos C0，C为钝角ABC为钝角三角形4在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2(ab)26，C，则ABC的面积是()A3 B.C. D3答案C解析c2(ab)26，c2a2b22ab6.C，c2a2b22abcos a2b2ab.由得ab60，即ab6.SABCabsin C6.5已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则B等于()A. B. C. D.答案C解析根
17、据正弦定理2R，得，即a2c2b2ac，得cos B，故B，故选C.6在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2c2b2)tan Bac，则角B的值为_答案或解析由余弦定理，得cos B，结合已知等式得cos Btan B，sin B，B或.7(2015天津)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知ABC的面积为3，bc2，cos A，则a的值为_答案8解析cos A，0A，sin A，SABCbcsin Abc3，bc24，又bc2，b22bcc24，b2c252，由余弦定理得，a2b2c22bccos A5222464，a8.8已知a，b，c分别为ABC三个内
18、角A，B，C的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC面积的最大值为_答案解析由正弦定理，可得(2b)(ab)(cb)c.a2，a2b2c2bc，即b2c2a2bc.由余弦定理，得cos A.sin A.由b2c2bc4，得b2c24bc.b2c22bc，即4bc2bc，bc4.SABCbcsin A，即(SABC)max.9在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知ab，c，cos2Acos2Bsin Acos Asin Bcos B.(1)求角C的大小；(2)若sin A，求ABC的面积解(1)由题意得sin 2Asin 2B，即sin 2A
19、cos 2Asin 2Bcos 2B，sinsin.由ab，得AB，又AB(0，)，所以2A2B，即AB，所以C.(2)由c，sin A，得a，由ac，得AC，从而cos A，故sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，所以，ABC的面积为Sacsin B.10.如图，在ABC中，B，AB8，点D在BC边上，且CD2，cosADC.(1)求sinBAD；(2)求BD、AC的长解(1)在ADC中，因为cosADC，所以sinADC.所以sinBADsin(ADCB)sinADCcos BcosADCsin B.(2)ADBADC，sinADBsinADC.在ABD中，由正
20、弦定理得BD3.在ABC中，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcos B82(23)228549.所以AC7.B组专项能力提升(时间：20分钟)11在ABC中，AC，BC2，B60，则BC边上的高等于()A. B. C. D.答案B解析设ABc，则由AC2AB2BC22ABBCcos B知7c242c，即c22c30，c3(负值舍去)BC边上的高为ABsin B3.12在ABC中，若b5，B，tan A2，则a_.答案2解析由tan A2得sin A2cos A.又sin2Acos2A1得sin A.b5，B，根据正弦定理，有，a2.13(2015重庆)在ABC中，B120，AB，A的角
21、平分线AD，则AC_.答案解析由正弦定理得，即，解得sinADB，所以ADB45，从而BAD15DAC，所以C1801203030，AC.14在ABC中，B60，AC，则AB2BC的最大值为_答案2解析由正弦定理知，AB2sin C，BC2sin A.又AC120，AB2BC2sin C4sin(120C)2(sin C2sin 120cos C2cos 120sin C)2(sin Ccos Csin C)2(2sin Ccos C)2sin(C)，其中tan ，是第一象限角，由于0C120，且是第一象限角，因此AB2BC有最大值2.15在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2(bc)2(2)bc，sin Asin Bcos2，BC边上的中线AM的长为.(1)求角A和角B的大小；(2)求ABC的面积解(1)由a2(bc)2(2)bc，得a2b2c2bc，cos A，又0A，A.由sin Asin Bcos2 ，得sin B，即sin B1cos C，则cos C0，即C为钝角，B为锐角，且BC，则sin(C)1cos C，化简得cos(C)1，解得C，B.(2)由(1)知，ab，由余弦定理得AM2b2()22bcos Cb2()2，解得b2，故SABCabsin C22.