1、专题19：综合型问题1. （2015年江苏连云港3分）如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为，顶点C在x轴的负半轴上，函数的图象经过顶点B，则k的值为【 】A. B. C. D. 【答案】 C【考点】菱形的性质；勾股定理；曲线上点的坐标与方程的关系.【分析】根据点A的坐标以及勾股定理、菱形的性质求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出k的值：如答图，过点作于点，A的坐标为，.在中，根据勾股定理，得.菱形OABC的顶点A的坐标为，顶点C在x轴的负半轴上，点B的坐标为.函数的图象经过顶点B，.故选C2. （2015年江苏徐州3分）若函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为【 】A. B.
2、 C. D. 【答案】C.【考点】直线的平移；不等式的图象解法；数形结合思想的应用.【分析】如答图，将函数的图像向右平移3 个单位得到函数的图象，由图象可知，当时，函数的图象在轴上方，即.关于的不等式的解集为.故选C.3. （2015年江苏南通3分）如图，AB为O的直径，C为O上一点，弦AD平分BAC，交BC于点E，AB=6，AD=5，则AE的长为【 】A. 2.5 B. 2.8 C. 3 D. 3.2【答案】B.【考点】圆周角定理；勾股定理；相似三角形的判定和性质.【分析】如答图，连接BD、CD，AB为O的直径，ADB=90.弦AD平分BAC，CD=BD=.CBD=DAB.在ABD和BED中
3、，BAD=EBD，ADB=BDE，ABDBED. ，即.故选B.4. （2015年江苏镇江3分）如图，坐标原点O为矩形ABCD的对称中心，顶点A的坐标为（1，t），ABx轴，矩形与矩形ABCD是位似图形，点O为位似中心，点A，B分别是点A，B的对应点，已知关于x，y的二元一次方程（m，n是实数）无解，在以m，n为坐标（记为（m，n）的所有的点中，若有且只有一个点落在矩形的边上，则的值等于【 】A. B. C. D. 【答案】D【考点】位似变换；二元一次方程组的解；坐标与图形性质；反比例函数的性质；曲线上点的坐标与方程的关系【分析】坐标原点O为矩形ABCD的对称中心，顶点A的坐标为（1，t），点
4、C的坐标为.矩形与矩形ABCD是位似图形，点A的坐标为，点C的坐标为.关于x，y的二元一次方程（m，n是实数）无解，由得mn=3，且，即（m2）.以m，n为坐标（记为（m，n）的所有的点中，有且只有一个点落在矩形的边上，反比例函数的图象只经过点A或C.而根据反比例函数的对称性，反比例函数的图象同时经过点A或C，只有在，时反比例函数的图象只经过点C.故选D1. （2015年江苏苏州3分）如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF=4设AB=x，AD=y，则的值为 【答案】16.【考点】代数式的几何意义；矩形的性质；直角三角形斜边上中
5、线的性质；勾股定理. 【分析】四边形ABCD为矩形，AB=x，AD=y，DC=x，BC=y.在中，点F是斜边BE的中点，DF=4，BF= DF=4.在中，即.2. （2015年江苏泰州3分）点、在反比例函数的图像上，若，则的范围是 【答案】.【考点】曲线上点的坐标与方程的关系；不等式的性质；分类思想的应用. 【分析】点、在反比例函数的图像上，.，.，或.解得，无解；解得.的范围是.3. （2015年江苏扬州3分）如图，已知ABC的三边长为，且，若平行于三角形一边的直线将ABC的周长分成相等的两部分，设图中的小三角形、的面积分别为，则的大小关系是 （用“”号连接）.【答案】.【考点】阅读理解型问
6、题；代数几何综合问题；图形的分割；平行的性质；相似三角形的判定和性质；不等式的性质. 【分析】设ABC的周长为，面积为，如答图，设，则.平行于三角形一边的直线将ABC的周长分成相等的两部分，即.，.且.同理可得，.，.4. （2015年江苏常州2分）如图，在O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，BAD=60，点C为弧BD的中点，则AC的长是 【答案】.【考点】全等三角形的判定和性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；方程思想的应用【分析】如答图，过点C分别作CEAB于点E，CFAD于点F，则E=CFD=CFA=90，点C为弧BD的中点，.
7、BAC=DAC，BC=CD.CEAB，CFAD，CE=CF.A、B、C、D四点共圆，D=CBE.在CBE和CDF中，CBECDF（AAS）.BE=DF.在AEC和AFC中，AECAFC（AAS）.AE=AF.设BE=DF=x，AB=3，AD=5，AE=AF=x+3，5=x+3+x，解得：x=1，即AE=4.BAD=60，EAC=30. .5. （2015年江苏南通3分）关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根都在1和0之间（不包括1和0），则a的取值范围是 905064【答案】.【考点】一元二次方程与二次函数的关系；一元二次方程根的判别式；二次函数的性质；分类思想和数形结合思想的应用.【分析】
8、关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且.设实数根都在1和0之间，当a0时，如答图1，由图可知， 当时，；但，矛盾，此种情况不存在.当a0时，如答图2，由图可知， 当时，即.综上所述，a的取值范围是.6. （2015年江苏宿迁3分）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，4），直线与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为 【答案】.【考点】单动点问题；直线上点的坐标与方程的关系；垂线段最短的性质；勾股定理；相似三角形的判定和性质【分析】根据垂线段最短得出PMAB时线段PM最短，分别求出PB、OB、OA、AB的长度，利用PBMABO，即可求出答案如答图，
9、过点P作PMAB，则：PMB=90，当PMAB时，PM最短，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3）.在RtAOB中，AO=4，BO=3，根据勾股定理，得AB=5.BMP=AOB=90，ABO=PBM， PBMABO. ，即：，解得.7. （2015年江苏宿迁3分）当x=m或x=n（mn）时，代数式的值相等，则x=m+n时，代数式的值为 【答案】3【考点】二次函数的性质；求代数式的值；整体思想的应用.【分析】设，当x=m或x=n（mn）时，代数式的值相等，抛物线的对称轴.当时，.8. （2015年江苏镇江2分）如图，AB是O的直径，OA=1，AC是O的弦
10、，过点C的切线交AB的延长线于点D，若，则ACD= 【答案】112.5【考点】切线的性质；勾股定理；等腰直角三角形的判定和性质.【分析】如答图，连接OCDC是O的切线，OCDC.，OA=OB=OC=1，. OC=CD. DOC=45.OA=OC，OAC=OCA. OCA=DOC=22.5.ACD=OCA+OCD=22.5+90=112.59. （2015年江苏镇江2分）写一个你喜欢的实数m的值 ，使得事件“对于二次函数，当x3时，y随x的增大而减小”成为随机事件【答案】3（答案不唯一）【考点】开放型；随机事件；二次函数的性质【分析】二次函数的对称轴为，当x3时，y随x的增大而减小，解得.m2的
11、任意实数即可，如m=3（答案不唯一）1. （2015年江苏连云港10分）已知如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是直线AB上一动点，P的半径为1（1）判断原点O与P的位置关系，并说明理由；（2）当P过点B时，求P被y轴所截得的劣弧的长；（3）当P与x轴相切时，求出切点的坐标【答案】解：（1）原点O在P外理由如下：直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点.在RtOAB中，OBA=30，如答图1，过点O作OHAB于点H，在RtOBH中，1，原点O在P外.（2）如答图2，当P过点B时，点P在y轴右侧时，PB=PC，PCB=OBA=30.P被y轴所截的劣弧所对的圆心角为
12、：1803030=120.弧长为：.同理：当P过点B时，点P在y轴左侧时，弧长同样为：.当P过点B时，P被y轴所截得的劣弧的长为：.（3）如答图3，当P与x轴相切时，且位于x轴下方时，设切点为D，PDx轴，PDy轴. APD=ABO=30.在RtDAP中，此时点D的坐标为：（，0）.当P与x轴相切时，且位于x轴上方时，根据对称性可以求得此时切点的坐标为：（，0）.综上所述，当P与x轴相切时，切点的坐标为：（，0）或（，0）【考点】圆和一次函数的的综合题；单动点问题；直线上点的坐标与方程的关系；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；点与圆的位置关系的判定；扇形弧长的计算；直线与圆相切的性质；分类
13、思想的应用【分析】（1）作辅助线“过点O作OHAB于点H”，由直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，可求得点A、B的坐标，从而根据锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值求得OBA=30，进而应用三角函数可求得OH的长，继而根据点与圆的位置关系的判定求得结论.（2）分点P在y轴右侧和点P在y轴左侧两种情况讨论：求得P被y轴所截的劣弧所对的圆心角，则可求得弧长.（3）分P位于x轴下方和P位于x轴上方两种情况讨论即可.2. （2015年江苏苏州8分）如图，已知函数（x0）的图像经过点A、B，点B的坐标为（2，2）过点A作ACx轴，垂足为C，过点B作BDy轴，垂足为D，AC与BD交于点F一次函数y=ax+
14、b的图像经过点A、D，与x轴的负半轴交于点E（1）若AC=OD，求a、b的值；（2）若BCAE，求BC的长【答案】解：（1）点B（2，2）在函数（x0）的图象上，.BDy轴，点D的坐标为（0，2），ACx轴，即点A的横坐标为3.点A在函数（x0）的图象上，点A的坐标为.一次函数y=ax+b的图像经过点A、D，解得.（2）设点A的坐标为，则点C的坐标为.BDCE，且BCDE，四边形BCED是平行四边形. CE=BD=2.BDCE，ADF=AEC.在中，；在中，解得.点C的坐标为.【考点】反比例函数和一次函数综合题；曲线上点的坐标与方程的关系；平行四边形的判定和性质；锐角三角函数定义；勾股定理；方
15、程思想的应用.【分析】（1）根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，由函数（x0）的图像经过点A、B，求出点A、D的坐标，进而由一次函数y=ax+b的图像经过点A、D，求出a、b的值.（2）设点A的坐标为，则点C的坐标为，根据ADF=AEC和、，从而，解之即可求解.3. （2015年江苏苏州10分）如图，已知AD是ABC的角平分线，O经过A、B、D三点，过点B作BEAD，交O于点E，连接ED（1）求证：EDAC；（2）若BD=2CD，设EBD的面积为，ADC的面积为，且，求ABC的面积【答案】解：（1）证明：AD是ABC的角平分线，BAD=DAC.E=BAD，E=DAC.BEAD，E=EDA.
16、DAC=EDA.EDAC.（2）BEAD，EBD=ADC.E=DAC，EBDADC，且相似比.，即.，解得.，.【考点】圆与相似三角形的综合题；平行的判定和性质；圆周角定理；相似三角形的判定和性质；同高三角形面积的性质；解一元二次方程.【分析】（1）一方面，由AD是ABC的角平分线得到BAD=DAC，由圆周角定理得到E=BAD，从而E=DAC；另一方面，由BEAD得到E=EDA，因此DAC=EDA，根据内错角相等两直线平行的判定是出结论.（2）由EBDADC和相似比得到，代入求出，根据同高三角形面积的性质求出，从而得出结果.4. （2015年江苏泰州10分）如图，ABC 中，AB=AC，以AB
17、为直径的O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作DFAC于点F.（1）试说明DF是O的切线；（2）若 AC=3AE，求.【答案】解：（1）如答图，连接，AB=AC，OB=OD，.DFAC，DFOD.DF是O的切线.（2）如答图，连接，.DFAC，.AC=3AE，可设，则.AB为O的直径，ADBC.又DFAC，.【考点】等腰三角形的性质；平行的判定和性质；切线的判定；圆周角定理；射影定理；勾股定理；锐角三角函数定义.【分析】（1）作辅助线“连接”，构造等腰三角形和平行线，由等腰三角形等边对等角的性质，平行的判定和性质证明DFOD即可得出结论.（2）作辅助线“连接”，构造直角三角形，
18、设，在中应用射影定理求得（没学射影定理的用相似可得），应用勾股定理求得，从而根据正切函数定义求解即可.5. （2015年江苏无锡8分）（1）甲、乙、丙、丁四人做传球游戏：第一次由甲将球随机传给乙、丙、丁中的某一人，从第二次起，每一次都由持球者将球再随机传给其他三人中的某一人求第二次传球后球回到甲手里的概率（请用“画树状图”或“列表”等方式给出分析过程）（2）如果甲跟另外n（n2）个人做（1）中同样的游戏，那么，第三次传球后球回到甲手里的概率是 （请直接写出结果）【答案】解：（1）画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中符合要求的结果有3种，P（第2次传球后球回到甲手里）=（2）【考点】列表法或
19、树状图法；概率；探索规律题（数字的变化类）.【分析】（1）画树状图或列表，根据图表，可得总结果与传到甲手里的情况，根据传到甲手里的情况比上总结果，可得答案.（2）根据第一步传的总结果是，第二步传的总结果是，第三步传的总结果是，传给甲的结果是，根据概率的意义，第三次传球后球回到甲手里的概率是.6. （2015年江苏无锡10分）已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为O(0，0)、A（5，0）、B(m，2)、C(m5，2)（1）问：是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使OPA90？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由；（2）当AOC与OAB的平分线的交点Q在边BC上时，
20、求m的值【答案】解：（1）存在，OA=BC=5，BCOA.如答图1，以OA为直径作D，与直线BC分别交于点E、F，则OEA=OFA=90，过点D作DGEF于G，连接DE，则DE=OD=2.5，DG=2，EG=GF，.E（1，2），F（4，2）.由解得，当时，边BC上总存在这样的点P，使OPA=90.（2）如答图2，BC=OA=5，BCOA，四边形OABC是平行四边形. OCAB.AOC+OAB=180.OQ平分AOC，AQ平分OAB，AOQ=AOC，OAQ=OAB.AOQ+OAQ=90. AQO=90.以OA为直径作D，与直线BC分别交于点E、F，则OEA=OFA=90，点Q只能是点E或点F.
21、当Q在F点时，OF、AF分别是AOC与OAB的平分线，BCOA，CFO=FOA=FOC，BFA=FAO=FAB. CF=OC，BF=AB.而OC=AB，CF=BF，即F是BC的中点而F点为 （4，2），此时m的值为6.5.当Q在E点时，同理可求得此时m的值为3.5.综上所述，m的值为3.5或6.5【考点】圆的综合题；垂径定理；圆周角定理；平行四边形的判定和性质；坐标与图形性质；勾股定理；分类思想的应用.【分析】（1）由四边形四个点的坐标易得OA=BC=5，BCOA，以OA为直径作D，与直线BC分别交于点E、F，根据圆周角定理得OEA=OFA=90，如图1，作DGEF于G，连DE，则DE=OD=
22、2.5，DG=2，根据垂径定理得EG=GF，利用勾股定理可计算出EG=1.5，于是得到E（1，2），F（4，2），即点P在E点和F点时，满足条件，此时，即1m9时，边BC上总存在这样的点P，使OPA=90；（2）如图2，先判断四边形OABC是平行四边形，再利用平行线的性质和角平分线定义可得到AQO=90，以OA为直径作D，与直线BC分别交于点E、F，则OEA=OFA=90，于是得到点Q只能是点E或点F，当Q在F点时，证明F是BC的中点而F点为 （4，2），得到m的值为6.5；当Q在E点时，同理可求得m的值为3.57. （2015年江苏徐州8分）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=5,分别以
23、OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数的图像经过点D且与边BA交于点E，连接DE.（1）连接OE，若EOA的面积为2，则k= ；（2）连接CA、DE与CA是否平行？请说明理由；（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）4.（2）平行，理由如下：如答图1，连接AC，设，在上，.BC=OA=3，AB=OC=5，BD=3，BE=5.，即.DEAC（3）存在.假设存在点D满足条件设，则CD=，BD=3，AE=，BE=5如答图2，过点E作EFOC，垂足为F， 易证
24、BCDEFB，即.在RtBCD中，CB= ，CD=，BD=BD=3，由勾股定理得，CBCD= BD，整理得.解得，（不合题意，舍去）.满足条件的点D存在，D的坐标为【考点】反比例函数综合题；单动和轴对称问题； 曲线上点的坐标与方程的关系；平行的判定；相似三角形的判定和性质；勾股定理；方程思想的应用.【分析】（1）设，则OA=3， AE=EOA的面积为2，.（2）设，由在上，得到，从而求得，即，进而证得DEAC（3）设，作辅助线“过点E作EFOC，垂足为F”，由BCDEFB得到而求得，从而在RtBCD中，应用勾股定理列方程求解即可.8. （2015年江苏盐城10分）如图，在平面直角坐标系xOy中
25、，已知正比例函数与一次函数的图像交于点A.（1）求点A的坐标；（2）设轴上一点P（，0），过点P作轴的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交和的图像于点B、C，连接OC，若BC=OA，求OBC的面积.【答案】解：（1）根据题意，得，解得，点A的坐标为（4，3）.（2）如答图，过A点作AD轴于点D，点A的坐标为（4，3），根据勾股定理，得OA=5.BC轴，P（，0），BC交和的图像于点B、C，.BC位于点A的右侧，.又BC=OA=7，解得，.【考点】一次函数综合题；直线上点的坐标与方程关系；勾股定理；方程思想的应用.【分析】（1）根据点在直线上点的坐标满足方程的关系；联立和即可求得点A的坐标.（2）
26、一方面，作辅助线“过A点作AD轴于点D”构造直角三角形，应用勾股定理求出OA=5，从而由BC=OA求出的BC长；另一方面，由B、C的纵坐标之差列关于的方程，解之即得BC边上的高OP的长， 进而根据三角形面积公式求得OBC的面积.9. （2015年江苏扬州10分）平面直角坐标系中，点的横坐标的绝对值表示为，纵坐标的绝对值表示为，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的勾股值，记为：，即.（其中的“+”是四则运算中的加法）（1）求点,的勾股值、；（2）点在反比例函数的图像上，且，求点的坐标；（3）求满足条件的所有点围成的图形的面积.【答案】解：（1）,，.（2）点在反比例函数的图像上，可设.，
27、.若，则，解得.或.若，则，解得.或.综上所述，点的坐标为或或或.（3）设，.若，则，即.若，则，即.若，则，即.若，则，即.满足条件的所有点围成的图形是正方形，如答图. 满足条件的所有点围成的图形的面积为18.【考点】新定义和阅读理解型问题；点的坐标；曲线上点的坐标与方程的关系；分类思想和数形结合思想的应用.【分析】（1）直接根据定义求解即可.（2）设，根据得到，分和求解即可.（3）设，根据得到，由负分类即可求解.10. （2015年江苏常州10分）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A、B，点B的横坐标是4点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方（1）若点P的坐标
28、是（1，4），直接写出k的值和PAB的面积；（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：PMN是等腰三角形；（3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较PAQ与PBQ的大小，并说明理由【答案】解：（1）（2）证明：如答图2，过点P作PHx轴于点H， 设直线PB的解析式为，把点P（1，4）、B（4，1）代入，得，解得：，直线PB的解析式为当y=0时，x=5，点N（5，0）同理可得M（3，0），. MH=NH. PH垂直平分MN.PM=PN. PMN是等腰三角形.（3）PAQ=PBQ理由如下：如答图3，过点Q作QTx轴于T，设AQ交x轴于D，
29、QB的延长线交x轴于E， 可设点，直线AQ的解析式为，则，解得：，直线AQ的解析式为当y=0时，解得：，D（，0）同理可得E（，0），.DT=ET.QT垂直平分DE，QD=QE. QDE=QEDMDA=QDE，MDA=QEDPM=PN，PMN=PNMPAQ=PMNMDA，PBQ=NBE=PNMQED，PAQ=PBQ【考点】反比例函数和一次函数综合题；单动点问题；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定和性质【分析】（1）如答图1，过点A作ARy轴于R，过点P作PSy轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，把x=4代入，得到点B的坐标
30、为（4，1），把点B（4，1）代入，得k=4解方程组，得到点A的坐标为（4，1），则点A与点B关于原点对称，OA=OB. 设直线AP的解析式为，把点A（4，1）、P（1，4）代入，求得直线AP的解析式为，则点C的坐标（0，3），OC=3，.（2）作辅助线“过点P作PHx轴于点H”，用待定系数法求出直线PB的解析式，从而得到点N的坐标，同理可得到点M的坐标，进而得到MH=NH，根据垂直平分线的性质可得PM=PN，即PMN是等腰三角形；（3）作辅助线“过点Q作QTx轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E”，设点Q为，运用待定系数法求出直线AQ的解析式，即可得到点D的坐标为（，0），同理可
31、得E（，0），从而得到DT=ET，根据垂直平分线的性质可得QD=QE，则有QDE=QED然后根据对顶角相等及三角形外角的性质，就可得到PAQ=PBQ11. （2015年江苏南通13分）已知抛物线（m是常数）的顶点为P，直线.（1）求证：点P在直线l上；（2）当m=3时，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，与直线l的另一个交点为Q，M是x轴下方抛物线上的一点，ACM=PAQ（如图），求点M的坐标；（3）若以抛物线和直线l的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的m的值【答案】解：（1）证明：，点P的坐标为（m，m1），当x=m时，y=x1=m1，点P在直线l
32、上.（2）当m=3时，抛物线解析式为，当y=0时，解得x1=1，x2=5，则A（5，0）.当x=0时，则C（0，5）.联立方程组，解得或，P（3，4），Q（2，3）.如答图，过点M作MEy轴于E，过点P作PFx轴于F，过点Q作QGx轴于G， OA=OC=5，OAC为等腰直角三角形.ACO=45. MCE=45ACM.QG=3，OG=2，AG=OAOG=3=QG.AQG为等腰直角三角形. QAG=45.ACM=PAQ，APF=MCE.RtCMERtPAF. .设，则.，整理得，解得x1=0（舍去），x2=4，点M的坐标为（4，3）.（3）m的值为0，【考点】二次函数综合题；曲线上点的坐标与方程的
33、关系；等腰直角三角形的判定和性质；相似三角形的判定和性质；勾股定理；分类思想和方程思想的应用.【分析】（1）利用配方法求得点P的坐标，然后根据一次函数图象上点的坐标特征判断点P在直线l上.（2）当m=3时，抛物线解析式为，根据抛物线与x轴的交点问题求出A（5，0），易得C（0，5），通过解方程组得P（3，4），Q（2，3），如图，作MEy轴于E，PFx轴于F，QGx轴于G，证明RtCMERtPAF，利用相似得，设，则，解之即可求得点M的坐标.（3）解方程组得或，P（m，m1），Q（m+1，m）.，.当PQ=OQ时，解得；当PQ=OP时，解得；当OP=OQ时，解得m=0.综上所述，m的值为0，1
34、2. （2015年江苏宿迁10分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为2a，2b，点A，D，G在y轴上，坐标原点O为AD的中点，抛物线过C，F两点，连接FD并延长交抛物线于点M（1）若a=1，求m和b的值；（2）求的值；（3）判断以FM为直径的圆与AB所在直线的位置关系，并说明理由【答案】解：（1）a=1，正方形ABCD的边长为2，坐标原点O为AD的中点，C（2，1）抛物线过C点，1=4m，解得.抛物线解析式为，将F（2b，2b+1）代入，得，解得（负值舍去），.（2）正方形ABCD的边长为2a，坐标原点O为AD的中点，C（2a，a）抛物线过C点，解得.抛物线解
35、析式为.将F（2b，2b+1）代入，得，解得（负值舍去）.（3）以FM为直径的圆与AB所在直线相切理由如下：D（0，a），可设直线FD的解析式为. 由（2）得，代入得k=1.直线FD的解析式为联立，解得或.M点坐标为以FM为直径的圆的圆心的坐标为（2a，3a）.如答图，过点作于点，到直线AB（）的距离.以FM为直径的圆的半径.以FM为直径的圆与AB所在直线相切【考点】二次函数综合题；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；正方形的性质；直线与圆满的位置关系的判定；勾股定理；数形结合思想和方程思想的应用【分析】（1）由a=1，根据正方形的性质及已知条件得出C（2，1）将C点坐标代入，求出，
36、则抛物线解析式为，再将F（2b，2b+1）代入，即可求出b的值.（2）由正方形ABCD的边长为2a，坐标原点O为AD的中点，得出C（2a，a）将C点坐标代入，求出，则抛物线解析式为，再将F（2b，2b+a）代入，整理，把a看作常数，利用求根公式得出（负值舍去），从而得到.（3）先利用待定系数法求出直线FD的解析式为，再求出M，又，利用中点坐标公式得到以FM为直径的圆的圆心O的坐标为（2a，3a），再求出O到直线AB（）的距离的值，以FM为直径的圆的半径r的值，由=r，根据直线与圆的位置关系可得以FM为直径的圆与AB所在直线相切13. （2015年江苏镇江6分）如图，点是一次函数与反比例函数的图
37、象的一个交点（1）求反比例函数表达式；（2）点P是x轴正半轴上的一个动点，设OP=a（a2），过点P作垂直于x轴的直线，分别交一次函数，反比例函数的图象于点A，B，过OP的中点Q作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点C，ABC与ABC关于直线AB对称当a=4时，求ABC的面积；当a的值为 时，AMC与AMC的面积相等【答案】解：（1）把代入，则，把代入，得k=6，反比例函数解析式是：.（2）如答图1，连接CC交AB于点D，则AB垂直平分CC当a=4时，A（4，5），B（4，1.5），则AB=3.5点Q为OP的中点，Q（2，0）.C（2，3），则D（4，3）.CD=2.3【考点】反比例函数和一次函
38、数综合题；单动点和轴对称问题；曲线上点的坐标与方程的关系；轴对称的性质；全等三角形的判定和性质；数形结合思想和方程思想的应用.【分析】（1）由一次函数解析式可得点M的坐标为（3，2），然后把点M的坐标代入反比例函数解析式，求得k的值，可得反比例函数表达式.（2）作辅助线“连接CC交AB于点D”，由轴对称的性质，可知AB垂直平分OC，当a=4时，利用函数解析式可分别求出点A、B、C、D的坐标，于是可得AB和CD的长度，即可求得ABC的面积.如答图2，分别过点C、C作的垂线垂足分别 为点E、F，AMC与AMC的面积相等，CE= CF.又AC= AC，AEC与AFC（HL）.E、A、F共线，C、A、
39、C共线.OP=a，点A在上，. .点C在上，整理，得，解得或（舍去）.14. （2015年江苏镇江10分）如图，二次函数的图象经过点（0，3），且当x=1时，y有最小值2（1）求a，b，c的值；（2）设二次函数（k为实数），它的图象的顶点为D当k=1时，求二次函数的图象与x轴的交点坐标；请在二次函数与的图象上各找出一个点M，N，不论k取何值，这两个点始终关于x轴对称，直接写出点M，N的坐标（点M在点N的上方）；过点M的一次函数的图象与二次函数的图象交于另一点P，当k为何值时，点D在NMP的平分线上？当k取2，1，0，1，2时，通过计算，得到对应的抛物线的顶点分别为（1，6，），（0，5），（1
40、，2），（2，3），（3，10），请问：顶点的横、纵坐标是变量吗？纵坐标是如何随横坐标的变化而变化的？【答案】解：（1）二次函数当x=1时，y有最小值2，可设.将（0，3）代入，得a=1，.a=1，b=2，c=3. （2）当k=1时，令，解得，图象与轴的交点坐标（，0），（，0）.M（1，6），N（1，6）.如答图，设直线与轴交于点A，MD与轴交于点B，MN与轴交于点E，过点B作BCAM于点C，经过M（1，6），解得.，则A（7，0）.MNx轴，E点的横坐标为1. AE=8.ME=6，MA=10MD平分NMP，MNx轴，BC=BE.设BC=x，则AB=8x，ABCAME，.，解得x=3. B（
41、2，0）.MD的函数表达式为，.把，代入，得，解得.，舍去.是当顶点的横坐标大于1时，纵坐标随横坐标的增大而增大，当顶点的横坐标小于1时，纵坐标随横坐标的增大而减小【考点】阅读理解型问题；二次函数综合题；二次函数的性质；轴对称的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定和性质；方程思想和数形结合思想的应用【分析】（1）利用顶点式的解析式求解即可.（2）当k=1时，令，解得x的值，即可得出图象与x轴的交点坐标.当x=1时，与的图象上点M，N，不论k取何值，这两个点始终关于x轴对称，可得M（1，6），N（1，6）.由，经过M（1，6），可得t的值，由MNx轴，可得E点的横坐标为1，可得出AE，ME，MA的值设MD交AE于点B，作BCAM于点C，设BC=x，则AB=8x，由ABCAMN列式，可求出x的值，即可得出MD的函数表达式为y=2x+4再把点D代入，即可求出k的值样.观察可得出当顶点的横坐标大于1时，纵坐标随横坐标的增大而增大，当顶点的横坐标小于1时，纵坐标随横坐标的增大而减小33