1、第十三章第一讲选修2 一、选择题(8540分)1已知f(n)，则()Af(n)中共有n项，当n2时，f(2)Bf(n)中共有n1项，当n2时，f(2)Cf(n)中共有n2n项，当n2时，f(2)Df(n)中共有n2n1项，当n2时，f(2)答案：D解析：f(n)的项数为n2n1，当n2时，f(2).故选D.2(2009云南一测)用数学归纳法证明不等式(n1且nN)时，在证明nk1这一步时，需要证明的不等式是()A.B.C.D.答案：D解析：(n1且nN)的左边有n项，在证明nk1这一步时，需要证明的不等式是，故选D.3(2009四川绵阳第一次诊断)用数学归纳法证明等式：123n2(nN*)，则
2、从nk到nk1时左边应添加的项为()Ak21B(k1)2C.D(k21)(k22)(k23)(k1)2答案：D解析：nk时，等式左边123k2，nk1时，等式左边123k2(k21)(k22)(k1)2，比较上述两个式子，nk1时，等式左边是在假设nk时等式成立的基础上，等式的左边加上了(k21)(k22)(k1)2，故选D.4用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，第二步归纳假设应该写成()A假设当nk(kN*)时，xkyk能被xy整除B假设当n2k(kN*)时，xkyk能被xy整除C假设当n2k1(kN*)时，xkyk能被xy整除D假设当n2k1(kN*)时，xkyk能被
3、xy整除答案：D5如果命题P(n)对nk成立，则它对nk1也成立，现已知P(n)对n4不成立，则下列结论正确的是()AP(n)对nN*成立BP(n)对n4且nN*成立CP(n)对n4且nN*成立DP(n)对n4且nN*不成立答案：D解析：由题意可知，P(n)对n3不成立(否则n4也成立)同理可推得P(n)对n2，n1也不成立6某学生在证明等差数列前n项和公式时，证法如下：(1)当n1时，S1a1显然成立；(2)假设当nk时，公式成立，即Skka1d，当nk1时，Sk1a1a2akak1a1(a1d)(a12d)a1(k1)d(a1kd)(k1)a1(d2dkd)(k1)a1d(k1)a1d，n
4、k1时公式成立由(1)、(2)知，对nN*时，公式都成立以上证明错误的是()A当n取第一个值1时，证明不对B归纳假设的写法不对C从nk到nk1时的推理中未用到归纳假设D从nk到nk1时的推理有错误答案：C解析：在此同学的证明过程中，并未使用“假设nk时，Skka1d”这一条件，不符合数学归纳法的证明步骤7用数学归纳法证明34n152n1(nN*)能被8整除时，若nk时，命题成立，欲证当nk1时命题成立，对于34(k1)152(k1)1可变形为()A5634k125(34k152k1)B3434k15252kC34k152k1D25(34k152k1)答案：A解析：当nk1时，34(k1)152
5、(k1)134k13452k1528134k12552k15634k125(34k152k1)8已知数列an的各项均为自然数，a11，且它的前n项和为Sn，若对所有的正整数n，有Sn1Sn(Sn1Sn)2成立，通过计算a2，a3，a4，然后归纳出Sn()A.B.C. D.答案：A解析：由已知得Sn1Sna，SnSn1a，两式相减得：an1anaa，an1an1，即an是等差数列，公差d1，a22，a33，ann.Sn.二、填空题(4520分)9用数学归纳法证明“2nn21对于nn0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取_答案：5解析：当n1时，22不成立，当n2时，45不成立当n3
6、时，810不成立当n4时，1617不成立当n5时，3226成立当n6时，6437成立由此猜测n应取5.10(2009广东，12)如图，如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_条这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)_；f(n)_(答案用数字或n的解析式表示)答案：12()(n2)解析：所有顶点确定的直线共有：棱数底边数对角线数nn，f(4)42212，f(n)n(n2)(n2)n(n2)()(n2)11已知0，由不等式tan2，tan3，tan4，启发我们得到推广结论：tann1(nN*)，则a_.答案：nn解析：去掉运算过程，对比分析n1，tan2a1；n
7、2，tan3a22；n3，tan4a33；tann1ann.总结评述：本题属于类比归纳型创新题，求解这类问题的关键是存同求异，简化条件：如本题将已知的运算过程省略，只寻找“n1，tan2a1；n2，tan3a22；n3，tan4a33；”规律，最后简化为寻找1,22,33，的通项公式12(2009湖南郴州三模)对于任意的正整数k，用g(k)表示k的最大奇因数，例如：g(1)1，g(2)1，g(3)3，记f(n)g(1)g(2)g(2n)，其中，nN*，则(1)当n2时，f(n)与f(n1)的关系是_；(2)f(n)_.答案：(1)f(n)4n1f(n1)；(2)f(n)解析：g(2n11)g(
8、2n12)g(2n13)g(2n14)g(2n)1357(2n1)4n1，则f(n)与f(n1)的关系是f(n)4n1f(n1)；用累加法求得f(n)，故填f(n)4n1f(n1)；f(n).三、解答题(41040分)13用数学归纳法证明：nN*，求证224262(2n)2n(n1)(2n1)证明：(1)当n1时，左边224，右边1234，左边右边，即n1时，命题成立(2)假设当nk(kN*，k1)时命题成立，即224262(2k)2k(k1)(2k1)，那么当nk1时，224262(2k)2(2k2)2k(k1)(2k1)4(k1)2(k1)k(2k1)6(k1)(k1)(2k27k6)(k
9、1)(k2)(2k3)(k1)(k1)12(k1)1，即nk1时，命题成立由(1)、(2)可知，命题对所有的nN*都成立反思归纳：用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题时，关键在于弄清等式两边的构成规律：等式的两边各有多少项，由nk到nk1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项；难点在于寻求等式中nk和nk1时的联系14用数学归纳法证明：11n(nN*)证明：(1)当n1时，左式1，右式1，1，命题成立(2)假设当nk(kN*，k1)时命题成立，即11k，则当nk1时，1112k1.又1k2k(k1)，即nk1时，命题成立由(1)、(2)可知，命题对所有nN*都成立反思归纳：用数学归纳法
10、解题的难点，一般都在证明“命题f(k)正确命题f(k1)正确”，需要配凑出f(k1)的形式用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，接要求比较它们的大小对第二种形式往往先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，再用数学归纳法证明15已知数列an满足：a12，an12(1)2an.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(An2BnC)2n，试推断是否存在常数A、B、C，使对一切nN*都有anbn1bn成立？说明你的理由；(3)求证：a1a2an2n26.解析：(1)由已知an12()
11、2an，即2.数列是公比为2的等比数列，又2，2n，an2nn2.(2)方法一：bn1bnAn2(4AB)n2A2BC2n若anbn1bn恒成立，则n2An2(4AB)n2A2BC恒成立，故存在常数A、B、C满足条件方法二：本题也可用数学归纳法证明，略(3)a1a2an(b2b1)(b3b2)(bn1bn)bn1b1(n1)24(n1)62n16(n22n3)2n16(n1)222n162n26.16(2009石家庄一模)在数列an中，a11，且anan12n3n2(n2，nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(nN*)，数列bn的前n项和为Sn，试比较S2n与n的大小；(3)令cn(nN*)，数列的前n项和为Tn，求证：对任意nN*都有Tn2.解析：(1)由题知23n2，则122323223n213n1.即ann3n1(nN*)(2)由bn(nN*),11,12，13.猜想当n3时，S2nn.下面用数学归纳法证明：当n3时，由上可知S2n3成立；假设nk(k3)时，上式成立，即1k.当nk1时，左边1kkk1.所以当nk1时成立由可知当n3(nN*)时，S2nn.综上所述当n1时，S211；当n2时，S222；当n3(nN*)时，S2nn.(3)cn3n.当n2时，.所以Tn()()()22.