1、第一章检测试题(时间:90分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若a=,A=,b=,则B等于(A)(A) (B)(C)或(D)或解析:因为a=,A=,b=,所以由正弦定理可得sin B=,因为B(0,),ab,所以AB,所以B=.故选A.2.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,asin B=sin C,cos C=,ABC的面积为4,则c等于(D)(A)3(B)4(C)5(D)6解析:由asin B=sin C,cos C=,得ab=c,sin C=.所以absin C=c=4,解得c=6.故选
2、D.3.在ABC中,AB=5,BC=6,AC=8,则ABC的形状是(C)(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)非钝角三角形解析:因为52+62-82=-30,即AB2+BC2-AC20.所以cosABC=0),最大边对应的角为,由余弦定理可得=4+1-4cos ,解之得cos =-0,因此为钝角,故三角形为钝角三角形.5.ABC中,a、b、c分别为A、B、C的对边,若a、b、c成等差数列,B=30,ABC的面积为,那么b等于(B)(A) (B)1+(C) (D)2+解析:因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c.平方得a2+c2=4b2-2ac.由S=acsin 30=ac=
3、,得ac=6.所以a2+c2=4b2-12.得cos B=,解得b=1+.6.在ABC中,A=60,b=1,SABC=,则的值为(C)(A) (B) (C) (D)2解析:由SABC=bcsin A=,得bc=4,所以c=4.所以a=.所以=.7.在ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tan B=ac,则B的值为(D)(A) (B)(C)或 (D)或解析:因为(a2+c2-b2)tan B=ac,所以tan B=,即cos Btan B=sin B=.因为0B,所以B的值为或.8.在ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin A等于(D)(A)(B)(C)(
4、D)解析:如图,设BC边上的高为AD,因为B=,所以BAD=.所以BD=AD,又AD=BC,所以DC=2AD,所以sinBAC=sin(BAD+DAC)=sin 45cosDAC+cos 45sinDAC=+=.故选D.9.如图,为测量塔高AB,选取与塔底B在同一水平面内的两点C,D,在C,D两点处测得塔顶A的仰角分别为45,30,又测得CBD=30,CD=50米,则塔高AB等于(A)(A)50米 (B)25米(C)25米 (D)50米解析:设AB=a米,则由题意知BC=a米,BD=a米,因为CBD=30,CD=50米,所以2 500=a2+3a2-2aa,所以a=50.故选A.10.在ABC
5、中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin =,若ABC的面积为,且sin2A+sin2B=sin2C,则c的值为(D)(A)2 (B)3 (C)2 (D)4解析:因为cos C=1-2sin2=1-2=-.所以sin C=,因为SABC=absin C=,所以ab=6.又因为sin2A+sin2B=sin2C,则a2+b2=c2.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,可得c2=16,所以c=4.故选D.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60,b=,c=3,则A=.解析:由正弦定理=得=,所以sin
6、 B=,又bc,所以BC,所以B=45,A=180-60-45=75.答案:7512.某舰艇在A处测得一遇险渔船在北偏东45距离A处10海里的C处,此时得知,该渔船正沿南偏东75方向以每小时9海里的速度向一小岛靠近,舰艇时速为21海里,求舰艇追上渔船的最短时间(单位:小时).解析:设舰艇t小时后在B处追上渔船,则由题意可知AC=10,BC=9t,AB=21t,ACB=120,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos ACB,即441t2=100+81t2+90t,解得t=或t=-(舍去),所以舰艇追上渔船的时间为小时.答案:13.在ABC中,已知b=50,c=150,B=30,则边
7、长a=.解析:由b2=a2+c2-2accos B得:(50)2=a2+1502-150a,解得a=50或a=100.答案:50或10014.ABC中,ac=12,SABC=3,R=2(R为ABC外接圆的半径),则b=.解析:SABC=acsin B=3,则sin B=.由正弦定理=2R,得:b=2Rsin B=2.答案:215.在ABC中,若B=60,2b=a+c,则ABC的形状是 .解析:由正弦定理,得:2sin B=sin A+sin C,因为B=60,所以A+C=120,A=120-C,则2sin 60=sin(120-C)+sin C,即:sin C+cos C=1,故sin(C+3
8、0)=1,所以C=60.故为等边三角形.答案:等边三角形三、解答题(本大题共6小题,共75分)16.(本小题满分12分)设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2bsin A.(1)求B的大小;(2)若a=3,c=5,求ABC的面积及b.解:(1)因为a=2bsin A,由正弦定理得sin A=2sin Bsin A,由于sin A0,故有sin B=,又因为B是锐角,所以B=30.(2)依题意得,SABC=acsin 30=35=,由余弦定理b2=a2+c2-2accos B可得b2=(3)2+52-235cos 30=27+25-45=7,所以b=.17.(本小题满
9、分12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,=-6,SABC=3,求A和a.解:因为=-6,所以bccos A=-6.又SABC=3,所以bcsin A=6,因此tan A=-1. 又0A,所以A=.又b=3,所以c=2.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得a2=9+8-232（-）=29,所以a=.18.(本小题满分12分)已知(a2+bc)x2+2x+1=0是关于x的二次方程,其中a、b、c是ABC的三边,(1)若A为钝角,试判断方程的根的情况;(2)若方程有两个相等的实根,求A.解:(1)因为A为钝角,所以cos A=0,即b2+c20,c0,所以0
10、,此时方程无实根.(2)由已知得=0,即b2+c2-a2-bc=0.所以b2+c2-a2=bc.由余弦定理得,cos A=,又A(0,),所以A=.19.(本小题满分12分)如图,要测量河对岸A,B两点之间的距离,选取相距 km的C,D两点,并测得ACB=75,BCD=ADB=45,ADC=30,请利用所测数据计算A,B之间的距离.解:在ACD中,ACD=75+45=120,所以CAD=30,由正弦定理得=,解得AD=3,在BCD中,CDB=45+30=75,所以CBD=60,由正弦定理得=,解得BD=,在ABD中,由余弦定理得AB=.20.(本小题满分13分)如图,在平面四边形ABCD中,A
11、D=1,CD=2,AC=.(1)求cos CAD的值;(2)若cos BAD=-,sin CBA=,求BC的长.解:(1)在ADC中,由余弦定理,得cos CAD=.故由题设知,cos CAD=.(2)设BAC=,则=BAD-CAD.因为cos CAD=,cos BAD=-,所以sin CAD=,sin BAD=.于是sin =sin(BAD-CAD)=sin BADcos CAD-cos BADsin CAD=-（-）=.在ABC中,由正弦定理,=.故BC=3.21.(本小题满分14分)如图,在平面四边形ABCD中,DAAB,DE=1,EC=,EA=2,ADC=,BEC=.(1)求sinCED的值;(2)求BE的长.解:如题图,设CED=.(1)在CDE中,由余弦定理,得EC2=CD2+DE2-2CDDEcosEDC.由题设知,7=CD2+1+CD,即CD2+CD-6=0.解得CD=2(CD=-3舍去).在CDE中,由正弦定理,得=.sin =,即sinCED=.(2)由题设知,0,则由(1)知,cos =.而AEB=-,所以cosAEB=cos（-）=cos cos +sin sin =-cos +sin =-+=.在RtEAB中,cosAEB=,故BE=4.