1、2012年上海市嘉定、黄浦区高三年级第二次模拟考试数学试卷（理科）（2012年4月12日）考生注意：1每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效2答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚3本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分1函数的定义域为 2若双曲线的一个焦点为，则实数 3若，则方程的解 4已知幂函数存在反函数，若其反函数的图像经过点，则该幂函数的解析式 5一盒中有件正品，件次品，无放回地
2、每次取一件产品，直至取到正品已知抽取次数 的概率分布律如下表：那么抽取次数的数学期望 6一名工人维护甲、乙两台独立的机床，若在一小时内，甲、乙机床需要维护的概率分别为、，则两台机床都不需要维护的概率为 7已知，为的共轭复数，若（是虚数单位），则 第9题8已知、，若，则 9如图，已知圆柱的轴截面是正方形，是圆柱下底面弧的中点，是圆柱上底面弧的中点，那么异面直线与所成角的正切值为 10若过圆：（）上一点作该圆的切线，则切线的方程为 11若（）二项展开式中的各项系数和为，其二项式系数和为，则 12设集合，其中，且若将满足上述条件的每一个有序整数对看作一个点，则这样的点的个数为 13已知函数（），给出
3、下列四个命题： 当且仅当时，是偶函数；第14题 函数一定存在零点； 函数在区间上单调递减； 当时，函数的最小值为那么所有真命题的序号是 14已知，点的坐标为，点、分别在图中抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，那么的周长的取值范围为 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15已知空间三条直线、及平面，且、条件甲：，；条件乙：，则“条件乙成立”是“条件甲成立”的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充分且必要条件D既非充分也非必要条件 16已知、，则下列不等式中不一定成立的是
4、（ ）A BC D17已知的三边分别是，且（），若当（）时，记满足条件的所有三角形的个数为，则数列的通项公式（ ）A B C D 18已知、是同一平面上不共线的四点，若存在一组正实数、，使得，则三个角、（ ）A都是钝角 B至少有两个钝角 C恰有两个钝角 D至多有两个钝角三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤19（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分4分已知三棱锥，平面，（1）求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）（2）把（及其内部）绕所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积20（本题满分12分
5、）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分已知函数（）（1）求函数的单调递增区间；（2）若，求的取值范围21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分某高科技企业研制出一种型号为的精密数控车床，型车床为企业创造的价值逐年减少（以投产一年的年初到下一年的年初为型车床所创造价值的第一年）若第1年型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年型车床创造的价值是上一年价值的50%现用（）表示型车床在第年创造的价值（1）求数列（）的通项公式；（2）记为数列的前项和，企业经过成本核算，若万元，则继续使用型车床，否
6、则更换型车床试问该企业须在第几年年初更换型车床？ （已知：若正数数列是单调递减数列，则数列也是单调递减数列）22（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分已知定点，直线，点为坐标平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为点，且设动点的轨迹为曲线（1）求曲线的方程；（2）过点的直线与曲线有两个不同的交点、，求证：；（3）记与的夹角为（为坐标原点，、为（2）中的两点），求的取值范围23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分对，定义函数，（1）求证：图像的右端点与图像的左端点重合；并回答这些端点在哪条直线上（
7、2）若直线与函数，（，）的图像有且仅有一个公共点，试将表示成的函数（3）对，在区间上定义函数，使得当（，且，）时，试研究关于的方程（，）的实数解的个数（这里的是（2）中的），并证明你的结论2011学年嘉定、黄浦区高三年级第二次模拟考试数学试卷（理科） 参考答案和评分标准（2012年4月12日）说明：1本解答仅列出试题的一种或两种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分2评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这
8、时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分1 2 34 5 67或 8 910 11 1213 14 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分15A 16C 17B 18B三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的步骤19（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第
9、2小题满分4分解（1）解法一：设的中点，联结，易知在等腰三角形、中，故为二面角的平面角 （2分）在等腰中，由及，得由平面，得在中， （6分）故二面角的大小为 （8分）解法二：如图建立空间直角坐标系，可得各点的坐标，于是， （2分）由平面，得平面的一个法向量设是平面的一个法向量因为，所以，即，解得，取，得 （4分）设与的夹角为，则 （6分）结合图可判别二面角是个锐角，它的大小为 （8分）（2）由题设，所得几何体为圆锥，其底面半径为，高为 该圆锥的体积 （12分）20（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分解（1）由题设， （2分）由，解得，故函数的单调递增区间为（）
10、 （6分）（2）由，可得 （7分）考察函数，易知， （10分）于是 故的取值范围为 （12分）21（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分解（1）由题设，知，构成首项，公差的等差数列故（，）（万元） （3分），（，）构成首项，公比的等比数列故（，）（万元） （6分）于是，（）（万元） （7分）（2）由（1）知，是单调递减数列，于是，数列也是单调递减数列当时，单调递减，（万元）所以（万元）当时， （9分）当时，（万元）；当时，（万元） （13分）所以，当，时，恒有故该企业需要在第11年年初更换型车床（14分）22（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，
11、第2小题满分6分，第3小题满分6分解（1）设点的坐标为 （1分）由题意，可得，（3分）由与垂直，得，即（） （6分） 因此，所求曲线的方程为（）证明（2）因为过点的直线与曲线有两个不同的交点、，所以的斜率不为零，故设直线的方程为 （7分）于是、的坐标、为方程组的实数解消并整理得 （8分）于是进一步得 （10分）又因为曲线（）的准线为，所以，得证 （12分）（3）由（2）可知，于是，（16分）可求得的取值范围为 （18分）23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分证明（1）由得图像右端点的坐标为，由得图像左端点的坐标为，故两端点重合 （2分）并且对，这些点在直线上 （4分）解（2）由题设及（1）的结论，两个函数图像有且仅有一个公共点，即方程在上有两个相等的实数根整理方程得，由，解得， （8分）此时方程的两个实数根，相等，由，得，因为，所以只能（，）（10分）（3）当时，可得，且单调递减 （14分） 当时，对于，总有，亦即直线与函数的图像总有两个不同的公共点（直线在直线与直线之间）对于函数来说，因为，所以方程有两个解：，此时方程（，）的实数解的个数为（16分） 当时，因为，所以方程有两个解此时方程（）的实数解的个数为 （17分）综上，当，时，方程（，）的实数解的个数为 （18分）
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