1、综合测试(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知(,),sin =,则tan(+)等于(A)(A) (B)7 (C)- (D)-7解析:因为(,),sin =,所以cos =-=-所以tan =-,所以tan(+)=.故选A.2.已知tan =3,则cos 等于(B)(A) (B)- (C) (D)-解析:cos =-.故选B.3.已知函数y=Asin(x+)+k的一部分图象如图所示,如果A0, 0,|,则(D)(A)A=4(B)k=4(C)=1(D)=解析:根据函数的最大值和最小值得求得A=2,k=2.函数的最小正周期为(-)4=,即=,
2、=2.当x=时取最大值,即sin(2+)=1,2+=2k+,=2k+,|0)在区间0,1上至少出现20个最小值,则的最小值是(C)(A)38(B)38.5(C)39.5(D)40解析:函数在0,1上至少有20个最小值,则至少有19个周期,因为(19+)T1,所以1,所以39.5.故选C.8.已知sin =,为第二象限角,且tan(+)=1,则tan 的值为(B)(A)-7 (B)7 (C)- (D)解析:因为sin =,且为第二象限角,所以tan =-,tan =tan(+)-=7.故选B.9.已知ab=-12,|a|=4,a和b的夹角为135,则|b|为(C)(A)12 (B)3 (C)6
3、(D)9解析:ab=|a|b|cos 135=4|b|(-)=-12,解得|b|=6,故选C.10.在ABC中,若2cos Bsin A=sin C,则ABC一定是(A)(A)等腰三角形 (B)直角三角形(C)等腰直角三角形 (D)等边三角形 解析:2cos Bsin A=sin(A+B),展开得2cos Bsin A=sin Acos B+cos Asin B所sin Acos B-cos Asin B=0,所以sin(A-B)=0,即A=B,故选A.11.设02,已知两个向量=(cos ,sin ),=(2+ sin ,2-cos ),则向量长度的最大值是(C)(A) (B) (C)3 (
4、D)2解析:因为=-=(2+sin ,2-cos )-(cos ,sin ) =(2+sin -cos ,2-cos -sin ),所以|2=(2+sin -cos )2+(2-cos -sin )2=8-8cos + 2=10-8cos .因为00)(xR)既是偶函数,又在区间0,上为增函数的是(D)(A) (B)(C) (D)解析:因为f(x)=2sin(x+-)为偶函数,所以-=,又f(x)在0,上为增函数,所以-=-,所以=-,所以f(x)=-2cos x,所以2kx2k+,即x+,其中kZ,所以,所以2,故选D.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知向量a,b夹
5、角为45,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|=.解析:因为|2a-b|=,所以(2a-b)2=10,即4|a|2-4ab+|b|2=10,所以4+|b|2-4|b|cos 45=10,整理得|b|2-2|b|-6=0,解得|b|=3或|b|=-(舍去).答案:314.关于函数f(x)=sin 2x-cos 2x有下列命题:函数y=f(x)的周期为;直线x=是y=f(x)的一条对称轴;点(,0)是y=f(x)图象的一个对称中心;将y=f(x)的图象向左平移个单位,可得到y=sin 2x的图象.其中正确的序号是 .解析:f(x)=(sin 2x-cos 2x)=sin(2x-),T=,是周期为
6、的函数.当x=时,2x-=,f(x)取不到最值,所以不是对称轴.当x=时,2x-=0,f(x)=0,点(,0)是图象的一个对称中心.f(x)左移得f(x+)=sin2(x+)-=sin(2x+)sin 2x.综上,正确.答案:15.已知钝角满足cos =-,则tan(+)的值为.解析:因为为钝角,所以,又cos =-,所以sin =.所以tan =-.由tan =-.解得tan =2或tan =-(舍去).所以tan(+)=-3.答案:-316.如图,A,B是函数y=3sin(2x+)的图象与x轴两相邻交点,C是图象上A,B间的最低点,则=.解析:函数的周期为T=,设A(xA,0).则由题意知
7、B(xA+,0),C(xA+,-3),所以=(,0),=(,-3),所以=+0(-3)=.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间-,上的最大值和最小值.解:(1)因为f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+),所以T=.(2)因为x-,所以2x+-,所以-12sin(2x+)2,所以函数f(x)在区间-,上的最大值为2,最小值为-1.18.(本小题满分12分)已知向量a=(cos ,sin ),b
8、=(cos ,sin ),|a-b|=.(1)求cos(-)的值;(2)若0,-0,且sin =-,求sin .解:(1)由|a-b|=得,|a-b|2=(a-b)2=a2-2ab+b2=2-2ab=,则ab=.所以cos(-)=cos cos +sin sin =ab=.(2)由0,-0得0-,sin(-)=,由sin =-得cos =,则sin =sin (-)+=sin(-)cos +cos(-)sin =+(-)=.19.(本小题满分12分)已知A(3,0),B(0,3),C(cos ,sin ).(1)若(+2),求cos 2;(2)若|+|=,且(0,),求与夹角的大小.解:(1)
9、+2=(3,6),=(cos ,sin ),因为(+2),所以(3,6)(cos ,sin )=0,所以3cos +6sin =0,所以tan =-,所以cos 2=cos2-sin2=.(2)因为+=(3+cos ,sin ),所以|+|=,所以cos =.因为(0,),所以=.所以C(,).设与夹角为,所以cos =.因为0,所以=,所以与的夹角为.20.(本小题满分12分)已知f(x)=2sin(x+)cos(x+)+2cos2(x+)-,(1)化简f(x)的解析式;(2)若0,求使函数f(x)为偶函数的的值;(3)在(2)成立的条件下,求满足f(x)=1,x-,的x的集合.解:(1)f
10、(x)=sin(2x+)+2-=2sin(2x+).(2)因为f(x)为偶函数,所以x=0为f(x)的对称轴,所以2sin(+)=2,即+=k+,kZ,又因为0,所以=.即当=时,函数f(x)为偶函数.(3)由(2)得f(x)=2cos 2x,若2cos 2x=1,则cos 2x=,所以2x=2k(kZ),即x=k(kZ).因为x-,所以x=-,-,因此x的集合为.21.(本小题满分12分)在ABC中,已知|=5,|=8,=,=0.(1)求|-|;(2)设BAC=,且已知cos(+x)=,-x-,求sin x.解:(1)因为=,所以=,因为|=8,所以|=.因为=0,所以CDAB.所以CDAD
11、.在RtCAD中,|=5,所以cosCAD=.所以|-|=|=7.(2)由(1)得,cos =,所以=,所以cos(+x)=cos(+x)=.所以sin(+x)=.因为-x-,所以-+x.若0+x,则sin(+x)sin sin =.若-b)的硬纸板截成三个符合要求的AED,BAE,EBC.(如图所示)(1)当=时,求定制的硬纸板的长与宽的比值;(2)现有三种规格的硬纸板可供选择,A规格长80 cm,宽30 cm,B规格长60 cm,宽40 cm,C规格长72 cm,宽32 cm,可以选择哪种规格的硬纸板使用.解:(1)由题意AED=CBE=,因为b=BEcos =ABsin cos =a,所以=.(2)因为b=BEcos =ABsin cos =ABsin 2,所以=sin 2.因为,所以2,所以,.A规格:=, 不符合条件.C规格:=,符合条件.所以选择C规格的硬纸使用.