1、第十章 第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 (时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1若三角形的三边均为正整数，其中一边长为4，另外两边长分别为b、c，且满足b4c，则这样的三角形有()A10个 B14个C15个 D21个解析：当b1时，c4；当b2时，c4,5；当b3时，c4,5,6；当b4时，c4,5,6,7.故共有10个这样的三角形答案：A2某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为()A504 B210C336 D120解析：三个新节目一个一个插入节目单中，分别有7
2、,8,9种方法，插法种数为789504或AA504.答案：A3计划在4个体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比塞，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有()A24种 B36种C42种 D60种解析：每个项目的比赛安排在任意一个体育馆进行，共有4364种安排方案；三个项目都在同一个体育馆比赛，共有4种安排方案；所以在同一个体育馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有60种答案：D4如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a2且a3a2，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数个数为()A240 B204C729 D92
3、0解析：分8类，当中间数为2时，有122种；当中间数为3时，有236种；当中间数为4时，有3412种；当中间数为5时，有4520种；当中间数为6时，有5630种；当中间数为7时，有6742种；当中间数为8时，有7856种；当中间数为9时，有8972种故共有26122030425672240种答案：A5(2011威海模拟)四张卡片上分别标有数字“2”“0”“0”“9”，其中“9”可当“6”用，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为()A6 B12C18 D24解析：特殊元素优先处理，先在后三位中选两个位置填两个数字“0”，有C种填法，再决定用“9”还是“6”有两种可能，最后排另两个卡片有A种排
4、法，所以共可排成C2A12个四位数答案：B6(2011湘潭模拟)25人排成55方阵，从中选出3人，要求其中任意2人既不同行也不同列，则不同的选法有()A60种 B100种C300种 D600种解析：55的方阵中，先从中任意取3行，有C10种方法，再从中选出3人，其中任意2人既不同行也不同列的情况有CCC60种，故所选出的3人中任意2人既不同行也不同列的选法共有1060600种答案：D二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7.如图所示的几何体是由一个正三棱锥PABC与正三棱柱ABCA1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色
5、，则不同的染色方案共有_种解析：先涂三棱锥PABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有CCCC321212种不同的涂法答案：128(2011抚顺模拟)如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有_个解析：当相同的数字不是1时，有C个；当相同的数字是1时，共有CC个，由分类加法计数原理得共有“好数”CCC12个答案：129将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为ai(i1,2，6)，若a11，a33，a55，a1a3a5，则不同的排列方法有_种(用数字作答)解析：分两步：(1)先排a1，a3，a5，
6、若a12，有2种排法；若a13，有2种排法；若a14，有1种排法，共有5种排法；(2)再排a2，a4，a6，共有A6种排法，故不同的排列方法有5630种答案：30三、解答题(共3小题，满分35分)10三边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少？解：另两边长用x，y表示，且不妨设1xy11，要构成三角形，必须xy12.当y取值11时，x1,2,3，11，可有11个三角形；当y取值10时，x2,3，10，可有9个三角形；当y取值6时，x只能取6，只有一个三角形所求三角形的个数为119753136.11已知集合M3，2，1,0,1,2，若a，b，cM，则(1)yax2bxc可以表示多少个
7、不同的二次函数(2)yax2bxc可以表示多少个图象开口向上的二次函数解：(1)a的取值有5种情况，b的取值有6种情况，c的取值有6种情况，因此yax2bxc可以表示566180个不同的二次函数(2)yax2bxc的图象开口向上时，a的取值有2种情况，b、c的取值均有6种情况，因此yax2bxc可以表示26672个图象开口向上的二次函数12用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色(如图甲、乙)，要求在四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一颜色(1)若n6，则为甲图着色的不同方法共有多少种；(2)若为乙图着色时共有120种不同的方法，求n的值解：(1)由分步乘法计数原理，对区域按顺序着色，共有6544480种方法(2)与第(1)问的区别在于与相邻的区域由2块变成了3块同样利用分步乘法计数原理，得n(n1)(n2)(n3)120.所以(n23n)(n23n2)120，即(n23n)22(n23n)12100，所以n23n100，n23n120(舍去)，解得n5，n2(舍去)