1、第七讲 函数的奇偶性与周期性班级_ 姓名_ 考号_ 日期_ 得分_一、选择题：(本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分，将正确答案的代号填在题后的括号内)1定义在 R 上的函数 f(x)满足：f(x)f(x2)13，f(1)2，则 f(99)()A13 B2C.132D.213解析：由 f(x)f(x2)13，知 f(x2)f(x4)13，所以 f(x4)f(x)，即 f(x)是周期函数，周期为 4.所以 f(99)f(3424)f(3)13f(1)132.答案：C2(2010郑州)定义在 R 上的函数 f(x)满足：对于任意，R，总有 f()f()f()2010，则下列说法正确的是
2、()Af(x)1 是奇函数Bf(x)1 是奇函数Cf(x)2010 是奇函数Df(x)2010 是奇函数解析：依题意，取 0，得 f(0)2010；取 x，x，得 f(0)f(x)f(x)2010，f(x)2010f(x)f(0)f(x)2010，因此函数 f(x)2010 是奇函数，选D.答案：D3设 f(x)是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数，已知 x(0,1)时，f(x)log12(1x)，则函数 f(x)在(1,2)上()A是增函数，且 f(x)0C是减函数，且 f(x)0解析：由题意得当 x(1,2)时，02x1,0 x10，则可知当 x(1,2)时，f(x)是减函数，选 D.答
3、案：D4设 f(x)是连续的偶函数，且当 x0 时是单调函数，则满足 f(x)fx3x4 的所有 x 之和为()A3B3C8D8解析：因为 f(x)是连续的偶函数，且 x0 时是单调函数，由偶函数的性质可知若 f(x)fx3x4，只有两种情况：xx3x4；xx3x40.由知 x23x30，故两根之和为 x1x23.由知 x25x30，故其两根之和为 x3x45.因此满足条件的所有 x 之和为8.答案：C5已知奇函数 f(x)在区间3,7上是增函数，且最小值为 5，那么函数 f(x)在区间7，3上()A是增函数且最小值为5B是增函数且最大值为5C是减函数且最小值为5D是减函数且最大值为5解析：f
4、(x)为奇函数，f(x)的图象关于原点对称 f(x)在3,7上是增函数，f(x)在7，3上也是增函数f(x)在3,7上的最小值为 5，由图可知函数 f(x)在7，3上有最大值5.答案：B评析：本题既涉及到函数的奇偶性，又涉及到函数的单调性，还涉及到函数的最值，是一道综合性较强的题目，由于所给的函数没有具体的解析式，因此我们画出函数 f(x)在区间3,7上的示意图，由图形易得结论6(2010新课标全国)设偶函数 f(x)满足 f(x)x38(x0)，则x|f(x2)0()Ax|x4Bx|x4Cx|x6Dx|x2解析：当 x0，f(x)(x)38x38，又 f(x)是偶函数，f(x)f(x)x38
5、，f(x)x38，x0 x38，x0.f(x2)(x2)38，x2(x2)38，x0 或x0，解得 x4 或 x0.故选 B.答案：B二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分，把正确答案填在题后的横线上)7(2010江苏)设函数 f(x)x(exaex)(xR)是偶函数，则实数 a 的值为_解析：设 g(x)x，h(x)exaex，因为函数 g(x)x 是奇函数，则由题意知，函数 h(x)exaex 为奇函数，又函数 f(x)的定义域为 R，h(0)0，解得 a1.答案：18已知函数 f(x1)是奇函数，f(x1)是偶函数，且 f(0)2，则 f(4)_.解析：依题意有
6、f(x1)f(x1)，f(x1)f(x1)，所以 f(4)f(3)1)f(2)f(11)f(0)2.答案：29(2010湖北八校)设函数 f(x)的定义域、值域分别为 A、B，且 AB 是单元集，下列命题若 ABa，则 f(a)a；若 B 不是单元集，则满足 ff(x)f(x)的 x 值可能不存在；若 f(x)具有奇偶性，则 f(x)可能为偶函数；若 f(x)不是常数函数，则 f(x)不可能为周期函数其中，正确命题的序号为_解析：如 f(x)x1，A1,0，B0,1满足 AB0，但 f(0)0，且满足 ff(x)f(x)的 x 可能不存在，错，正确；如，f(x)1，AR，B1，则 f(x)1，
7、AR 是偶函数，正确；如 f(x)x2k1，A2k1,2k，B0,1，kZ，f(x)是周期函数，但不是常数函数，所以错误答案：10对于定义在 R 上的函数 f(x)，有下述四个命题，其中正确命题的序号为_若 f(x)是奇函数，则 f(x1)的图象关于点 A(1,0)对称；若对 xR，有 f(x1)f(x1)，则 yf(x)的图象关于直线 x1 对称；若函数 f(x1)的图象关于直线 x1 对称，则 f(x)为偶函数；函数 yf(1x)与函数 yf(1x)的图象关于直线 x1 对称解析：f(x1)的图象是由 f(x)的图象向右平移一个单位而得到，又 f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，所以 f
8、(x1)的图象关于点 A(1,0)对称，故正确；由 f(x1)f(x1)可知 f(x)的周期为 2，无法判断其对称轴，故错误；f(x1)的图象关于直线 x1 对称，则 f(x)关于 y 轴对称，故 f(x)为偶函数，正确；yf(1x)的图象是由 yf(x)的图象向左平移一个单位后得到，yf(1x)是由 yf(x)的图象关于 y 轴对称后再向右平移一个单位而得到，两者图象关于 y 轴对称，故错误答案：三、解答题：(本大题共 3 小题，11、12 题 13 分，13 题 14 分，写出证明过程或推演步骤)11已知定义域为 R 的函数 f(x)2xb2x1a是奇函数(1)求 a、b 的值；(2)若对
9、任意的 tR，不等式 f(t22t)f(2t2k)0 恒成立，求 k 的取值范围分析：(1)由 f(0)0 可求得 b，再由特殊值或奇函数定义求得 a；(2)先分析函数 f(x)的单调性，根据单调性去掉函数符号 f，然后用判别式解决恒成立问题解：(1)因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)0，即b1a20b1，所以 f(x)12xa2x1，又由 f(1)f(1)知12a4112a1a2.(2)由(1)知 f(x)12x22x11212x1，易知 f(x)在(，)上为减函数又因 f(x)是奇函数，从而不等式：f(t22t)f(2t2k)0 等价于f(t22t)k2t2，即对 tR
10、 有：3t22tk0，从而 412k0k13.12设函数 f(x)的定义域为 R，对于任意的实数 x，y，都有 f(xy)f(x)f(y)，当 x0时，f(x)0，求证：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(，)上是减函数证明：(1)令 xy0，得 f(0)f(0)f(0)，f(0)0.再令 yx，得 f(0)f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为奇函数(2)设 x1、x2(，)且 x1x2，则 x2x10，当 x0 时，f(x)0，f(x2x1)0.又对于任意的实数 x，y 都有 f(xy)f(x)f(y)且 f(x)为奇函数，f(x2x1)fx2(x1)f(x2)f(x1)f(
11、x2)f(x1)f(x2)f(x1)0，f(x)在(，)上是减函数13设函数 f(x)的定义域关于原点对称，且满足f(x1x2)f(x1)f(x2)1f(x2)f(x1)；存在正常数 a，使 f(a)1.求证：(1)f(x)是奇函数；(2)f(x)是周期函数，并且有一个周期为 4a.证明：(1)不妨令 xx1x2，则f(x)f(x2x1)f(x2)f(x1)1f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)1f(x2)f(x1)f(x1x2)f(x)f(x)是奇函数(2)要证 f(x4a)f(x)，可先计算 f(xa)，f(x2a)，f(xa)fx(a)f(a)f(x)1f(a)f(x)f(a)f(x)1f(a)f(x)f(x)1f(x)1，(f(a)1)f(x2a)f(xa)af(xa)1f(xa)1f(x)1f(x)11f(x)1f(x)11 1f(x).f(x4a)f(x2a)2a1f(x2a)f(x)故 f(x)是以 4a 为周期的周期函数
