1、第二讲 直线与圆的位置关系 班级_ 姓名_ 考号_ 日期_ 得分_ 一填空题:(本大题共 9 小题,每小题 6 分,共 54 分,把正确答案填在题后的横线上.)1.已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A,PA=2.AC 是圆 O 的直径,PC 与圆 O 交于点 B,PB=1,则圆 O 的半径 R=_.解析:如图,依题意,AOPA,ABPC,PA=2,PB=1,P=60,2OA=2R=2tan60=2 3.R=3.答案:3 2.如图所示,圆 O 的直径 AB=6,C 为圆周上一点,BC=3.过 C 作圆的切线 l,过 A 作 l 的垂线 AD,AD 分别与直线 l圆交于点 DE,则DAC=_,
2、线段 AE 的长为_.解析:如图所示,OCl,ADl,ADOC.BC=3,OBC 为等边三角形,B=60.CAB=30.ACO=30.DAC=30.EAO=60.连接 OE,OAE 为等边三角形.AE=3.答案:30 3 3.(2010广东揭阳 3 月)如图所示,AC 为O 的直径,BDAC 于 P,PC=2,PA=8,则 CD 的长为_,cosACB=_.(用数字表示)解析:由射影定理得 CD2=CPCA=210,CD=25.cosACB=sinA=sinD=25.52 5CPCD 答案:52 55 4.(2010广东汕头,3 月)如图,已知圆 O 的半径为 3,从圆 O 外一点 A 引切线
3、 AD 和割线 ABC,圆心 O 到 AC 的距离为2,AB=3,则切线 AD 的长为_.解析:BC=222(3)(2)=2,AC=3+2=5,AD2=ABAC=15,AD=15.答案:15 5.(2010广东揭阳)如图,已知 P 是O 外一点,PD 为O 的切线,D 为切点,割线 PEF 经过圆心 O,若 PF=12,PD=4 3,则圆 O 的半径长为_,EFD 的度数为_.解析:由切割线定理得 PD2=PEPF,PE=216 312PDPF=4,EF=8,OD=4.又ODPD,OD=PO,P=30,POD=60=2EFD,EFD=30.答案:4 30 6.如图,PT 切O 于点 T,PA
4、交O 于 AB 两点,且与直径 CT 交于点 D,CD=2,AD=3,BD=6,则 PB=_.解析:由相交弦定理得 DCDT=DADB,则 DT=9.由切割线定理得 PT2=PBPA,即(PB+BD)2-DT2=PB(PB+AB).又 BD=6,AB=AD+BD=9,(PB+6)2-92=PB(PB+9),得 PB=15.答案:15 7.如图,AD 是O 的切线,AC 是O 的弦,过 C 作 AD 的垂线,垂足为 B,CB 与O 相交于点E,AE 平分CAB,且 AE=2,则 AB=_,AC=_,BC=_.解析:CAE=EAB,EAB=ACB,ACB=CAE=EAB.又CBAD,ACB=CAE
5、=EAB=30.又AE=2,AB=3,AC,2 3BC=3.答案:3 2 3 3 8.如图,EBEC 是O 的两条切线,BC 是切点,AD 是O 上两点,如果E=46,DCF=32,则A 的大小为_.解析:连接 OB,OC,AC,由题意得OCE=OBE=90,DCF=DAC=32,又E=46,BOC=134,BAC=BOC=67.BAD=BAC+DAC=99.答案:99 9.如图,PA 切O 于点 A,割线 PBC 经过圆心 O,OB=PB=1,OA 绕点 O 逆时针旋转 60到 OD,则 PD 的长为_.解析:RtOAP 中,OP=2OA=2,APO=30.在POD 中,易得 OD=1,PO
6、D=120,根据余弦定理,得 PD2=12+22-212cos120=7,PD=7.答案:7 二解答题:(本大题共 3 小题,1011 题 14 分,12 题 18 分,写出证明过程或推演步骤.)10.已知弦 AB 与O 半径相等,连接 OB 并延长使 BC=OB.(1)问 AC 与O 的位置关系是怎样的;(2)试在O 上找一点 D,使 AD=AC.分析:(1)判定 AC 与O 的位置关系往往从相切入手分析,满足的条件只需证明 OAAC即可.(2)AD=AC 中 D 点的寻找可借助于等腰三角形中C=D,通过角之间的关系寻找.解:(1)AB 与O 半径相等,OAB 为正三角形,OAB=60=OB
7、A,又BC=OB=AB,C=BAC=30,故OAC=90,AC 与O 相切.(2)延长 BO 交O 于 D,则必有 AD=AC.BOA=60,OA=OD,D=30,又C=30,C=D,得 AD=AC.评析:利用圆的切线的判定定理判定直线与圆的位置关系,经过半径的外端且与此半径垂直的直线是圆的切线,从而可转化为证明线线垂直.11.如图,已知直线 MN 与以 AB 为直径的半圆相切于点 C,CAB=28.(1)求ACM 的度数;(2)求 MN 上是否存在一点 D,使 ABCD=ACBC?为什么?解:(1)AB 是直径,ACB=90.又CAB=28,CBA=62.MN 是切线,C 为切点.ACM=6
8、2.(2)在 MN 上存在符合条件的点 D.证明如下:过点 A 作 ADMN,垂足为 D.如图.在 RtABC 和 RtACD 中,MN 切半圆于点 C,ABC=ACD.ABCACD,ABBCACCD,ABCD=ACBC.同理,过 B 点向 MN 作垂线,垂足 D同样符合条件.12.已知ABC 中,AB=AC,D 是ABC 外接圆劣弧AC 上的点(不与点 A,C 重合),延长 BD至 E.(1)求证:AD 的延长线平分CDE;(2)若BAC=30,ABC 中 BC 边上的高为 2+3,求ABC 外接圆的面积.解:(1)证明:如图,设 F 为 AD 延长线上一点,ABCD 四点共圆.CDF=ABC,又 AB=AC,ABC=ACB,且ADB=ACB,ADB=CDF,对顶角EDF=ADB,故EDF=CDF,即 AD 的延长线平分CDE,(2)设 O 为外接圆圆心,连接 AO 交 BC 于 H,则 AHBC,连接 OC,由题意OAC=OCA=15,ACB=75,OCH=60,设半径为 r,则 r+323,2 r 得 r=2,外接圆面积为 4.
