1、第 5 章 第一讲 时间：60 分钟 满分：100 分一、选择题(8540 分)1下列命题是假命题的是()A对于两个非零向量 a、b，若存在一个实数 k 满足 akb，则 a、b 共线B若 ab，则|a|b|C若 a、b 为两个非零向量，则|ab|ab|D若 a、b 为两个方向相同的向量，则|ab|a|b|答案：C解析：由共线向量和相等向量的定义知 A、B 正确；由加减法的几何意义知 D 正确，C错误2若 O、E、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A.EFOF OE B.EFOF OEC.EFOF OED.EFOF OE命题意图：本题考查向量加减法的基础运算能力答案：B解析：由向
2、量的运算法则得EFOF OE.故选 B.3已知 O、A、B 是平面上的三个点，直线 AB 上有一点 C，满足 2ACCB0，则OC()A2OA OBBOA 2OBC.23OA 13OBD13OA 23OB答案：A解析：OC OB BCOB 2ACOB 2(OC OA)，OC 2OA OB.故选 A.4在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点 F.若ACa，BD b，则AF()A.14a12bB.13a23bC.12a14bD.23a13b答案：D解析：AFACCFa23CD a13(ba)23a13b.故选 D.5(2009
3、四川三市)若ABC 满足|CB|ABAC|，则ABC 的形状必定为()A等腰直角三角形 B直角三角形C等腰三角形D等边三角形答案：B解析：ABC 满足|CB|ABAC|，由矩形的对角线相等且互相平分可知：ABC 的形状必定为直角三角形故选 B.6(2009山东，8)设 P 是ABC 所在平面内的一点，BCBA2BP，则()A.PAPB0 B.PBPC0C.PCPA0 D.PAPBPC0答案：C解析：解法一：由向量加法的平行四边形法则易知，BA与BC的和向量过 AC 边中点，长度是 AC 边中线长的二倍，结合已知条件可知 P 为 AC 边中点，故PAPC0，故选 C.解法二：BCBA2BP，PB
4、BCPBBA0，即PCPA0.故选 C.7(2009浙江杭州名校一模)已知ABC，D 为 AB 边上一点，若AD 2DB，CD 13CACB，则()A.23B.13C13D23答案：A解析：在ABC 中，ABCBCA，BCD 中，CD CBDB CB13ABCB13(CBCA)13CA23CB.又CD 13CACB，23.8O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足OP OA(ABAC)，(0，)，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的()A外心B垂心C内心D重心答案：D解析：由OP OA(ABAC)OP OA(ABAC)，(0，)，AP(ABAC)P 在 BC 边中线
5、上故点 P 的轨迹通过ABC 的重心故选 D.二、填空题(4520 分)9化简：(1)ABBCCD _；(2)ABAD DC _；(3)(ABCD)(ACBD)_.答案：AD，CB，0.解析：考查向量的加减法运算运用三角形法则时，注意：求和向量时，应“始终相接，始指向终”；求差向量时，应“同始连终，指向被减”(1)ABBCCD ACCD AD.(2)ABAD DC DB DC CB.(3)解法一：(ABCD)(ACBD)ABCD ACBD ABDC CABD(ABBD)(DC CA)AD DA 0解法二：(ABCD)(ACBD)ABCD ACBD(ABAC)(DC DB)CBBC0.解法三：设
6、 O 为平面内任意一点，则有(ABCD)(ACBD)ABCD ACBD(OB OA)(OD OC)(OC OA)(OD OB)OB OA OD OC OC OA OD OB 0.总结评述：(1)用三角形法则化简有向线段表达式时，要注意观察哪些有向线段是“始终相接”，哪些有向线段是“同始点”，始终相接时用加法，和向量是“始终向量”10如图，在ABC 中，点 O 是 BC 的中点过点 O 的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两点 M、N，若ABmAM，ACnAN，则 mn 的值为_答案：2命题意图：考查平面向量基本定理解析：AO 12(ABAC)m2AM n2AN，M、O、N 三点共线，m2n2
7、1，mn2.故填 2.11(2009西安地区八校联考)在ABC 中，已知 P 是 BC 边上一点，BP2PC，AP13ABAC，则 _.答案：23解析：APABBP，APACCP，BP2PC，APAB2PCAB2(ACAP)3APAB2AC，于是AP13AB23AC.12(2009江苏扬州一模)已知在平面上不共线的四点 O、A、B、C，若OA 3OB 2OC 0，则|AB|BC|_.答案：2解析：由题意得，3OB OA 2OC，OB 13OA 23OC，所以OA ABOB 13OA 23OC.所以AB23(OC OA)23AC，所以AB与AC共线，所以|AB|BC|212.三、解答题(4104
8、0 分)13如图，已知OAB 中，点 C 是以 A 为中心的点 B 的对称点，D 在 OB 上，且OD 2DB，DC 和 OA 交于 E，设OA a，OB b.(1)用 a 和 b 表示向量OC、DC；(2)若OE OA，求实数 的值解析：(1)由条件可得，OB OC 2OA，OC 2OA OB 2ab.CD OD OC 23OB OC 23b(2ab)2a53b，DC 2a53b.(2)设CEmCD，OE OC CEOC mCD 2abm(2a53b)(22m)a(53m1)b.又OE OA a，22m53m10，解得m3545，故 45.14如图所示，在ABC 中，点 M 是 BC 的中点
9、，点 N 在 AC 上，且 AN2NC，AM 与BN 相交于点 P，求 APPM 的值解析：方法一：设 e1BM，e2CN，则AM ACCM 3e2e1，BNBCCN 2e1e2.因为 A、P、M 和 B、P、N 分别共线，所以存在实数、，使APAM 3e2e1，BPBN2e1e2，BABPAP(2)e1(3)e2，另外BABCCA2e13e2，2233，4535，AP45AM，BP35BN，APPM方法二：设APAM，AM 12(ABAC)12AB34AN，AP2AB34AN.B、P、N 三点共线，APABt(ABAN)，AP(1t)ABtAN21t34t，2341，45，APPM15设 a
10、、b 是不共线的两个非零向量，(1)若OA 2ab，OB 3ab，OC a3b，求证：A、B、C 三点共线；(2)若 8akb 与 ka2b 共线，求实数 k 的值解析：(1)AB(3ab)(2ab)a2b.而BC(a3b)(3ab)2a4b2AB，AB与BC共线，且有公共端点 B，A、B、C 三点共线(2)8akb 与 ka2b 共线，存在实数 使得(8akb)(ka2b)(8k)a(k2)b0，a 与 b 不共线，8k0k20，8222，k24.16如图，在ABC 中，AMAB，ANAC，BN 与 CM 交于 P 点，且ABa，ACb.用 a，b 表示AP.解析：由题意知：AM 13AB13a，AN14AC14b，BNANAB14ba，CM AM AC13ab.设PNBN，PM CM，则PN4ba，PM 3ab，APANPN14b(4ba)a14 b，APAM PM 13a(3ab)13 ab 而APAP，a14 b13 ab而 a，b 不共线13 且14.311.因此AP 311a 211b.