1、山东省实验中学2015届高三上学期第一次段考数学试卷（理科）一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项符合题意）1（5分）设i是虚数单位，复数是纯虚数，则实数a=（）A2B2CD2（5分）已知集合A=y|y=|x|1，xR，B=x|x2，则下列结论正确的是（）A3AB3BCAB=BDAB=B3（5分）已知函数f（x）=Acos（x+）（A0，0，R），则“f（x）是奇函数”是“=”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4（5分）已知等比数列an的前三项依次为a1，a+1，a+4，则an=（）ABCD5（5分）如图给出的是计算的值的
2、一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（）Ai10Bi10Ci11Di116（5分）函数的零点所在的区间为（）A（0，1）B（l，2）C（2，3）D（3，4）7（5分）某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针（不包括三角形边界及圆的边界），则针扎到阴影区域（不包括边界）的概率为（）ABCD以上全错8（5分）已知双曲线C1：=1（a0，b0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p0）的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（）ABx2=yCx2=8yDx2=16y9（5分）已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足+（）（0），则P点轨迹一定通过三角形A
3、BC的（）A内心B外心C垂心D重心10（5分）已知函数f（x）对任意xR，都有f（x+6）+f（x）=0，y=f（x1）的图象关于（1，0）对称，且f（2）=4，则f=（）A0B4C8D16二、填空题（本题包括5小题，共25分）11（5分）设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为m312（5分）在二项式（x2）5的展开式中，含x4的项的系数是13（5分）观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第n个等式为14（5分）若点P在直线l1：x+y+3=0上，过点P的直线l2与曲线C：（x5）2+y2=16只有一个公共点
4、M，则|PM|的最小值为15（5分）已知x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为7，则的最小值为三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16（12分）已知向量（0），函数的最小正周期为（I）求函数f（x）的单调增区间；（II）如果ABC的三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，且满足，求f（A）的值17（12分）甲、乙两篮球运动员进行定点投篮，每人各投4个球，甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为（）求甲至多命中2个且乙至少命中2个的概率；（）若规定每投篮一次命中得3分，未命中得1分，求乙所得分数的概率分布和数学期望18（12分
5、）如图，在多面体ABCA1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，AC=AB=1，A1C=A1B=BC，B1C1BC，B1C1=BC（）求证：AB1面A1C1C；（）求二面角CA1C1B的余弦值的大小19（12分）设数列an为等差数列，且a3=5，a5=9；数列bn的前n项和为Sn，且Sn+bn=2（）求数列an，bn的通项公式；（）若，Tn为数列cn的前n项和，求Tn20（13分）已知椭圆C：+=1（ab0），过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形（I）求椭圆的方程；（）过点Q（1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=4于点E，=，=判断+是否为定值，若是，计算出
6、该定值；不是，说明理由21（14分）已知函数，其中aR（）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；（）求f（x）的单调区间；（）若f（x）在0，+）上存在最大值和最小值，求a的取值范围山东省实验中学2015届高三上学期第一次段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项符合题意）1（5分）设i是虚数单位，复数是纯虚数，则实数a=（）A2B2CD考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出解答：解：复数=是纯虚数，=0，0，解得a=故选：D点评：本题考查了复数的运算法则、
7、纯虚数的定义，属于基础题2（5分）已知集合A=y|y=|x|1，xR，B=x|x2，则下列结论正确的是（）A3AB3BCAB=BDAB=B考点：元素与集合关系的判断 专题：集合分析：先求出集合A，从而找出正确选项解答：解：|x|0，|x|11；A=y|y1，又B=x|x2AB=x|x2=B故选C点评：注意描述法所表示集合的元素3（5分）已知函数f（x）=Acos（x+）（A0，0，R），则“f（x）是奇函数”是“=”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：三角函数的图像与性质分析：=f（x）=Acos（x+）f（
8、x）=Asin（x）（A0，0，xR）是奇函数f（x）为奇函数f（0）=0=k+，kZ所以“f（x）是奇函数”是“=”必要不充分条件解答：解：若=，则f（x）=Acos（x+）f（x）=Asin（x）（A0，0，xR）是奇函数；若f（x）是奇函数，f（0）=0，f（0）=Acos（0+）=Acos=0=k+，kZ，不一定有=“f（x）是奇函数”是“=”必要不充分条件故选B点评：本题考查充分条件、必要条件和充要条件的判断，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数性质的灵活运用4（5分）已知等比数列an的前三项依次为a1，a+1，a+4，则an=（）ABCD考点：等比数列的性质 专题：等差数列与等
9、比数列分析：由题意可得 （a+1）2=（a1）（a+4），解得 a=5，由此可得首项和公比，从而得到通项公式解答：解：已知等比数列an的前三项依次为a1，a+1，a+4，则 （a+1）2=（a1）（a+4），解得 a=5，故此等比数列的首项为4，公比为 =，故通项公式为 ，故选C点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式的应用，属于中档题5（5分）如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（）Ai10Bi10Ci11Di11考点：循环结构 专题：计算题分析：要计算的值，由S=S，推出最后一次进行循环时的条件为i=10，当i10应退出循环输出S的值，由此不难得
10、到判断框中的条件解答：解：S=，并由流程图中S=S循环的初值为1，终值为10，步长为1，所以经过10次循环就能算出S=的值，故i10，应不满足条件，继续循环所以i10，应满足条件，退出循环判断框中为：“i10？”故选A点评：本题考查直到型程序框图的应用，是2015届高考常考题型，易错点是不能准确理解流程图的含义而导致错误6（5分）函数的零点所在的区间为（）A（0，1）B（l，2）C（2，3）D（3，4）考点：函数的零点；函数零点的判定定理 专题：函数的性质及应用分析：由函数的解析式可得f（1）0，f（2）0，故有f（1）f（2）0根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间解答：解：由函数，
11、可得f（1）=10，f（2）=1=0，f（1）f（2）0根据函数零点的判定定理可得，函数的零点所在的区间为（1，2），故选B点评：本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题7（5分）某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针（不包括三角形边界及圆的边界），则针扎到阴影区域（不包括边界）的概率为（）ABCD以上全错考点：几何概型 专题：概率与统计分析：先明确是几何概型中的面积类型，分别求三角形与圆的面积，然后求比值即可解答：解：设落在阴影部分内接正三角形上的概率是P，圆的半径为R，S圆=R2，正三角形的面积SA=3R2sin120=R2P=故选B点评：本题主要考查几何概型中的面积
12、类型，基本方法是：分别求得构成事件A的区域面积和试验的全部结果所构成的区域面积，两者求比值，即为概率8（5分）已知双曲线C1：=1（a0，b0）的离心率为2，若抛物线C2：x2=2py（p0）的焦点到双曲线C1的涟近线的距离是2，则抛物线C2的方程是（）ABx2=yCx2=8yDx2=16y考点：抛物线的简单性质；点到直线的距离公式；双曲线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用双曲线的离心率推出a，b的关系，求出抛物线的焦点坐标，通过点到直线的距离求出p，即可得到抛物线的方程解答：解：双曲线C1：的离心率为2所以，即：=4，所以；双曲线的渐近线方程为：抛物线的焦点（0，）到双曲
13、线C1的渐近线的距离为2，所以2=，因为，所以p=8抛物线C2的方程为x2=16y故选D点评：本题考查抛物线的简单性质，点到直线的距离公式，双曲线的简单性质，考查计算能力9（5分）已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足+（）（0），则P点轨迹一定通过三角形ABC的（）A内心B外心C垂心D重心考点：平面向量的基本定理及其意义 分析：过A作BC边的垂线AD，作中线AE，则=，根据向量的加法即可知道P点在中线AE所在直线上，即P点的轨迹经过ABC的重心解答：解：如图，过A作BC的垂线，垂足为D，则，=，AE为ABC的中线；向量2与共线，根据向量的加法知P在中线AE所在直线上；P点的轨迹经过
14、三角形ABC的重心故选D点评：考查正弦值的几何意义，向量加法的平行四边形法则，共线向量基本定理，向量加法的几何意义，以及三角形的中线经过重心.10（5分）已知函数f（x）对任意xR，都有f（x+6）+f（x）=0，y=f（x1）的图象关于（1，0）对称，且f（2）=4，则f=（）A0B4C8D16考点：抽象函数及其应用 专题：计算题；函数的性质及应用分析：由f（x+6）+f（x）=0，得到f（x+12）=f（x+6）=f（x），则f（x）为周期为12的函数，再由y=f（x1）的图象关于（1，0）对称，得到f（x）=f（x），运用周期，化简f=f（2）=f（2），即可得到答案解答：解：f（x+6
15、）+f（x）=0，即f（x+6）=f（x），则f（x+12）=f（x+6）=f（x），则f（x）为周期为12的函数，由于y=f（x1）的图象关于（1，0）对称，则y=f（x）的图象关于（0，0）对称，即有f（x）=f（x），则f=f（12167+10）=f（10）=f（2），由于f（2）=4，则f（2）=f（2）=4故选B点评：本题考查抽象函数及应用，考查函数的周期性和对称性及运用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于中档题二、填空题（本题包括5小题，共25分）11（5分）设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为m）则该几何体的体积为4m3考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；压轴题分
16、析：由三视图可知几何体是三棱锥，明确其数据关系直接解答即可解答：解：这是一个三棱锥，高为2，底面三角形一边为4，这边上的高为3，体积等于243=4故答案为：4点评：本题考查三视图求体积，三视图的复原，考查学生空间想象能力，是基础题12（5分）在二项式（x2）5的展开式中，含x4的项的系数是10考点：二项式定理的应用 专题：计算题分析：根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为4求得r，再代入系数求出结果解答：解：根据所给的二项式写出展开式的通项，要求x4的项的系数103r=4，r=2，x4的项的系数是C52（1）2=10故答案为：10点评：本题考查二
17、项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具13（5分）观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+（3n2）=（2n1）2考点：归纳推理 专题：计算题分析：观察所给的等式，等号右边是12，32，52，72第n个应该是（2n1）2，左边的式子的项数与右边的底数一致，每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，写出结果解答：解：观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49等号右边是12，32，52
18、，72第n个应该是（2n1）2左边的式子的项数与右边的底数一致，每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+（3n2）=（2n1）2，故答案为：n+（n+1）+（n+2）+（3n2）=（2n1）2点评：本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题14（5分）若点P在直线l1：x+y+3=0上，过点P的直线l2与曲线C：（x5）2+y2=16只有一个公共点M，则|PM|的最小值为4考点：直线与圆的位置关系 专题：计算题；转化思想分析：求出圆心坐标，圆的半径，结合题意，利用圆的到直线
19、的距离，半径，|PM|满足勾股定理，求出|PM|就是最小值解答：解：（x5）2+y2=16的圆心（5，0），半径为4，则圆心到直线的距离为：=4，点P在直线l1：x+y+3=0上，过点P的直线l2与曲线C：（x5）2+y2=16只有一个公共点M，则|PM|的最小值：=4故答案为：4点评：本题是基础题，考查点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，勾股定理的应用，考查计算能力，转化思想的应用15（5分）已知x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的最大值为7，则的最小值为7考点：基本不等式在最值问题中的应用；简单线性规划 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：作出题中不等式组表示
20、的平面区域，得到如图的ABC及其内部，利用直线平移法求出当x=3且y=4时，z=ax+by取得最大值为7，即3a+4b=7再利用整体代换法，根据基本不等式加以计算，可得当a=b=1时的最小值为7解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的ABC及其内部，其中A（1，0），B（3，4），C（0，1）设z=F（x，y）=ax+by（a0，b0），将直线l：z=ax+by进行平移，并观察直线l在x轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最大值zmax=F（3，4）=7，即3a+4b=7因此，=（3a+4b）（）=25+12（），a0，b0，可得2=2，（25+122）=7，当且仅当a=
21、b=1时，的最小值为7故答案为：7点评：本题给出二元一次不等式组，在目标函数z=ax+by的最大值为7的情况下求的最小值着重考查了简单的性质规划、利用基本不等式求最值等知识，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16（12分）已知向量（0），函数的最小正周期为（I）求函数f（x）的单调增区间；（II）如果ABC的三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，且满足，求f（A）的值考点：余弦定理的应用；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；复合三角函数的单调性 专题：综合题分析：（I）利用向量
22、的数量积公式、二倍角公式及辅助角公式化简函数利用f（x）的最小正周期为，可求的值，从而可得函数的解析式，利用三角函数的单调性，即可得到函数f（x）的增区间；（II）由，及，可求得，进而可求f（A）的值解答：解：（I）=（3分）f（x）的最小正周期为，且0，解得=1，（4分）由（5分）得f（x）的增区间为（6分）（II）由，又由=（8分）在ABC中，（9分）=（12分）点评：本题考查三角函数式的化简，考查数量积公式的运用，考查余弦定理的运用，解题的关键是三角函数式的化简17（12分）甲、乙两篮球运动员进行定点投篮，每人各投4个球，甲投篮命中的概率为，乙投篮命中的概率为（）求甲至多命中2个且乙至少
23、命中2个的概率；（）若规定每投篮一次命中得3分，未命中得1分，求乙所得分数的概率分布和数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量及其分布列 专题：计算题分析：（）甲至多命中2个且乙至少命中2个包含的两个事件是相互独立事件，分别做出甲至多命中2个球的概率和乙至少命中两个球的概率，根据相互独立事件的概率公式得到结果（II）乙所得分数为，可能的取值4，0，4，8，12，当变量是4时，表示一个球也没进，当变量是0时，表示只进一个球，当变量是4时，表示进了2个球，当变量是8时，表示进了3个球，当变量是12时，表示进了4个球，结合变量对应的事件和独立重复
24、试验写出分布列和期望解答：解：（）甲至多命中2个且乙至少命中2个包含的两个事件是相互独立事件，设“甲至多命中2个球”为事件A，“乙至少命中两个球”为事件B，由题意得：甲至多命中2个球且乙至少命中2个球的概率为：（）乙所得分数为可能的取值4，0，4，8，12，P（=4）=，P（=0）=P（=4）=C42=P（=8）=P（=12）=分布列如下：E=点评：本题考查独立重复试验，考查离散型随机变量的分布列和期望，是一个综合题，解题时注意进球的个数对应的是乙所得的分数，注意分数与进球个数的对应18（12分）如图，在多面体ABCA1B1C1中，四边形ABB1A1是正方形，AC=AB=1，A1C=A1B=B
25、C，B1C1BC，B1C1=BC（）求证：AB1面A1C1C；（）求二面角CA1C1B的余弦值的大小考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）取BC中点E，连结AE，C1E，B1E，由已知得四边形CEB1C1是平行四边形，AEC1A1是平行四边形，由此能证明AB1面A1C1C（）由已知得A1A=AB=AC=1，A1AAB，A1AAC，从而A1A面ABC，以A为原点，以AC为x轴建立坐标系，利用向量法能求出二面角CA1C1B的余弦值的大小解答：（）证明：取BC中点E，连结AE，C1E，B1E，B1C1BC，四边形CEB1C1是平行四边形，B1EC
26、1C，B1E=C1C，C1C面A1C1C，B1E不包含于平面A1C1C，B1E面A1C1C，又ABB1A1是正方形，A1AC1E，AEC1A1是平行四边形，AEA1C1A1C1面A1C1C，AE面A1C1C，AE面A1C1C，AEB1E=E，面B1AE面A1C1C，AB1面B1AE，AB1面A1C1C（）四边形ABB1A1为正方形，A1A=AB=AC=1，A1AAB，A1C=A1B，由勾股定理可得：A1AC=90，A1AAC，ABAC=A，A1A面ABC，A1C=A1B=BC，由勾股定理，得BAC=90，ABAC，故以A为原点，以AC为x轴建立坐标系如图，C（1，0，0），A1（0，0，1），
27、B（0，1，0），=（1，0，1），=（1，0，1），=（0，1，1），=（），设面A1C1C的法向量为=（x，y，z），由=0，=0，令z=1，则=（1，1，1），设面A1C1B的法向量为，则则，令k=1，则（10分）所以，设二面角CA1C1B的平面角为，所以（12分）点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用19（12分）设数列an为等差数列，且a3=5，a5=9；数列bn的前n项和为Sn，且Sn+bn=2（）求数列an，bn的通项公式；（）若，Tn为数列cn的前n项和，求Tn考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
28、；等比数列的前n项和；数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（I）由题意可得数列an的公差，进而得通项，由Sn+bn=2可得Sn=2bn，当n=1时，可解b1=1，当n2时，可得，由等比数列的通项公式可得答案；（II）由（I）可知cn=（2n1）2n1，由错位相减法可求和解答：解：（I）由题意可得数列an的公差d=（a5a3）=2，故a1=a32d=1，故an=a1+2（n1）=2n1，由Sn+bn=2可得Sn=2bn，当n=1时，S1=2b1=b1，b1=1，当n2时，bn=SnSn1=2bn（2bn1），bn是以1为首项，为公比的等比数列，bn=1=；（II）由（I）可知cn=（2n1
29、）2n1，Tn=120+321+522+（2n3）2n2+（2n1）2n1，故2Tn=121+322+523+（2n3）2n1+（2n1）2n，两式相减可得Tn=1+221+222+22n1（2n1）2n=1+2（2n1）2n=14+（32n）2n，Tn=3+（2n3）2n点评：本题考查错位相减法求和，涉及等比数列的通项公式和求和公式，属中档题20（13分）已知椭圆C：+=1（ab0），过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形（I）求椭圆的方程；（）过点Q（1，0）的直线l交椭圆于A，B两点，交直线x=4于点E，=，=判断+是否为定值，若是，计算出该定值；不是，说明理由考点
30、：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由题意可得，解得即可（2）易知直线l斜率存在，令l：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），E（4，y0）与椭圆的方程联立化为（1+4k2）x2+8k2x+4k24=0，可得根与系数的关系，由=，=利用向量的线性运算即可得出解答：解：（1）由题意可得，解得，椭圆的方程为=1（2）易知直线l斜率存在，令l：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2），E（4，y0）联立，化为（1+4k2）x2+8k2x+4k24=0，0，（*），（1x1，y1）=（x2+1，y2），可得（x
31、1+1）=（x2+1）得由=，可得（4x1，y0y1）=（x2+4，y2y0），可得（x1+4）=（x1+4），得+=，把（*）代入分子=+8=0，+=0点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量的线性运算，考查了推理能力与计算能力，属于难题21（14分）已知函数，其中aR（）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；（）求f（x）的单调区间；（）若f（x）在0，+）上存在最大值和最小值，求a的取值范围考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用 专题：计算题；导数的综合应用分析：
32、（）当a=1时，先对函数求导，然后求出 f（0），即取消在原点处的切线斜率，可求得曲线y=f（x）在原点处的切线方程（）先对函数求导，然后根据导数的符号可判断函数的单调区间（III）由（）中函数的单调区间，可求出函数的最值取得的条件，然后可求a的范围解答：（）解：当a=1时， （2分）由 f（0）=2，得曲线y=f（x）在原点处的切线方程是2xy=0（3分）（）解：对函数求导可得， （4分）当a=0时，所以f（x）在（0，+）单调递增，在（，0）单调递减 （5分）当a0，当a0时，令f（x）=0，得x1=a，f（x）与f（x）的情况如下：x（，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+）f（x）0
33、+0f（x）f（x1）f（x2）故f（x）的单调减区间是（，a），；单调增区间是 （7分）当a0时，f（x）与f（x）的情况如下：x（，x2）x2（x2，x1）x1（x1，+）f（x）+00+f（x）f（x2）f（x1）所以f（x）的单调增区间是；单调减区间是（，a），（a，+）（9分）（）解：由（）得，a=0时不合题意 （10分）当a0时，由（）得，f（x）在单调递增，在单调递减，所以f（x）在（0，+）上存在最大值设x0为f（x）的零点，易知，且从而xx0时，f（x）0；xx0时，f（x）0若f（x）在0，+）上存在最小值，必有f（0）0，解得1a1所以a0时，若f（x）在0，+）上存在最大值和最小值，a的取值范围是（0，1（12分）当a0时，由（）得，f（x）在（0，a）单调递减，在（a，+）单调递增，所以f（x）在（0，+）上存在最小值f（a）=1若f（x）在0，+）上存在最大值，必有f（0）0，解得a1，或a1所以a0时，若f（x）在0，+）上存在最大值和最小值，a的取值范围是（，1综上，a的取值范围是（，1（0，1 （14分）点评：本题主要考查了函数的导数的几何意义的应用，导数在函数的单调区间及函数的最值求解中的应用，属于中档试题