1、第九章（B） 第3讲时间：60分钟满分：100分一、选择题(8540分)1(2009山东，5)已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“m”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案：B解析：由面面垂直的判定定理可知必要性成立，而当两平面、垂直时，内的直线m只有在垂直于两平面的交线时才垂直于另一个平面，充分性不成立，故选B.2(2009北京宣武一模)若a，b是空间两条不同的直线，是空间的两个不同的平面，则a的一个充分不必要条件是()Aa，Ba，Cab，b Da，答案：D解析：选项A中，若a，直线a与平面可能平行，如图，所以A不正确；选项B中，
2、若a，直线a与可能平行，可能相交，可能为包含关系，如图，所以B不正确；选项C中，ab，b，直线a与可能平行，如图，所以C不正确，故选D.3(2009北京海淀一模)已知l是直线，、是两个不同的平面，下列命题中真命题的是()A若l，l，则 B若，l，则lC若l，l，则 D若l，则l答案：C解析：选项A中，如图，与可能相交，所以A不正确；选项B中，如图，l与可能平行，所以B不正确；选项D中，如图，可能有l，所以D不正确，故选C.4(2009东北三省十校一模)三棱锥PABC中ABC90，PAPBPC，则下列说法正确的是()A平面PAC平面ABC B平面PAB平面PBCCPB平面ABC DBC平面PAB
3、答案：A解析：如图，因为ABC90，PAPBPC，所以点P在底面的射影落在ABC的斜边的中点O处，连结OB、OP，则POOB.又PAPC，所以POAC，且ACOBO，所以PO平面ABC.又PO平面PAC，平面PAC平面ABC，故选A.5给出下列四个命题：直线垂直于一个平面内的无数条直线是这条直线与这个平面垂直的充要条件；过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行是这条直线和这个平面平行的充分条件；一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角相等或互补其中真命题为 ()A B C D答案：C解析：是必要条件，相等或互补或
4、不确定，如图面ABCD面BEFC，面ECDG面BEFC.此时二面角ABCF与二面角GECB的大小关系不确定，故选C.6已知二面角l的大小为30，m、n为异面直线，m平面，n平面，则m、n所成的角为()A30 B60 C120 D150答案：A解析：m，n，m，n所成的夹角与二面角l所成的角相等或互补二面角l为30，故异面直线m，n所成的夹角为30，故选A.7(2010湖北八校联考)在下列四个正方体中，能得出ABCD的是()答案：A解析：CD在平面BCD内，AB是平面BCD的斜线，由三垂线定理可得A.8(2009四川，5)如图所示，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2
5、AB，则下列结论正确的是()APBAD B平面PAB平面PBCC直线BC平面PAE D直线PD与平面ABC所成的角为45答案：D解析：PB在底面的射影为AB，AB与AD不垂直，PB与AD不垂直，排除A.又BDAB，BDPA，BD面PAB.但BD不在面PBC内，排除B.BDAE，BD面PAE，BC与面PAE不平行，排除C.又PD与面ABC所成的角为PDA，AD2ABPA，PDA45，故答案选D.二、填空题(4520分)9如右图所示，PA矩形ABCD所在的平面，那么以P、A、B、C、D五个点中的三点为顶点的直角三角形的个数是_答案：9个解析：C11019，(包括PBD，为什么说PBD不为Rt)易判
6、断PDB90.PBD90，只须判断BPD90.假设BPD90，设PAa，ADb，ABc.PB2a2c2，PD2a2b2BPD90，BD2b2c22a2而由RtABD得：BD2b2c2.这显然不成立BPD90.综合而得：PBD不是Rt，共有9个10在三棱锥PABC中，ABC90，BAC30，BC5，又PAPBPCAC，则点P到平面ABC的距离是_答案：5解析：ABC90，BAC30，BC5，AC10.又PAPBPCAC10，P在平面ABC内的射影是ABC的外心，即斜边AC中点，设为O，显然PO5.11对于四面体ABCD，给出下列四个命题：若ABAC，BDCD，则BCAD；若ABCD，ACBD，则
7、BCAD；若ABAC，BDCD，则BCAD；若ABCD，ACBD，则BCAD.其中真命题的序号是_(把你认为正确命题的序号都填上)答案：解析：本题考查四面体的性质，取BC的中点E，则BCAE，BCDE，BC面ADE，BCAD，故正确设O为A在面BCD上的射影，依题意OBCD，OCBD，O为垂心，ODBC，BCAD，故正确，易排除，故答案为.12(2009江苏，12)设和为不重合的两个平面，给出下列命题：(1)若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；(2)若外一条直线l与内的一条直线平行，则l和平行；(3)设和相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则和垂直；(4)直线l与垂直的充分必
8、要条件是l与内的两条直线垂直上面命题中，真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)答案：(1)(2)解析：由面面平行的判定定理可知，(1)正确由线面平行的判定定理可知，(2)正确对于(3)来说，内直线只垂直于和的交线l，得不到其是的垂线，故也得不出.对于(4)来说，l只有和内的两条相交直线垂直，才能得到l.也就是说当l垂直于内的两条平行直线的话，l不一定垂直于.三、解答题(41040分)13如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE.证明：(1)在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD平
9、面ABCD，PACD.ACCD，PAACA，CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.由(1)知，AECD，且PCCDC，AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，PAAB.又ABAD，且PAADA，AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD.又ABAEA，综上可得PD平面ABE.14如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA1a，BCa，M是AD中点，N是B1C1中点 (1)求证：A1、M、C、N四点共面；(2)求证：BD1MC；(3)求证：平面A1MCN平面A1BD1；(4)求A1B与平面
10、A1MCN所成的角解析：(1)取A1D1中点E，连结ME、C1E，A1N綊EC1，MC綊EC1.A1N綊MC.A1，M，C，N四点共面(2)连结BD，则BD是BD1在平面ABCD内的射影，RtCDMRtBCD，DCMCBD.CBDBCM90.MCBD.BD1MC.(3) 连结A1C，由A1BCD1是正方形，知BD1A1C.BD1MC，BD1平面A1MCN.平面A1MCN平面A1BD1.(4)BA1C是A1B与平面A1MCN所成的角且等于45.15如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为棱CC1上的动点(1)求证：A1EBD；(2)当点E恰为棱CC1上的中点时，求证：平面A1BD平
11、面EBD；(3)在棱CC1上是否存在一个点E，使二面角A1BDE的大小为45？如果存在，试确定点E在棱CC1上的位置；如果不存在，请说明理由解析：(1)证明：连结AC，则BDAC又EC平面ABCD，AA1平面ABCD，AC是A1E在平面ABCD上的射影，由三垂线定理知：A1EBD.(2)证明：设ACBDO，连结A1O、EO.A1DA1B，A1OBD，同理可证EOBD，A1OE是二面角A1BDE的平面角设正方体的棱长为2a，由平面几何知识，得A1Oa，EOa，A1E3a，A1E2A1O2EO2，A1OE90，即：平面A1BD平面EBD.(3)在正方体ABCDA1B1C1D1中，假设棱CC1上存在
12、点E，使二面角A1BDE的大小为45，由(2)知A1OE45.设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2a，ECx，由平面几何知识，得：EO，A1Oa，A1E，在A1OE中，由余弦定理得：A1E2A1O2EO22A1OEOcosA1OE即：x28ax2a20(0x2a)，解得：x(43)a.(43)a2a，(43)a0，棱CC1上不存在满足条件的点E.16(2009浙江)如图所示，平面PAC平面ABC，ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC16，PAPC10.(1)设G是OC的中点，证明：FG平面BOE；(2)证明：在ABO内存在一点M，使FM平面B
13、OE，并求点M到OA，OB的距离命题意图：本题主要考查空间线线、线面、面面的位置关系，空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力解答：解法一：(1)证明：如图，连结OP，以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则O(0,0,0)，A(0，8,0)，B(8,0,0)，C(0,8,0)，P(0,0,6)，E(0，4,3)，F(4,0,3)由题意，得G(0,4,0)因为O(8,0,0)，O(0，4,3)，所以平面BOE的法向量n(0,3,4)，由F(4,4，3)，得nF0.又直线FG不在平面BOE内，所以FG平面BOE.
14、(2)设点M的坐标为(x0，y0,0)，则F(x04，y0，3)因为FM平面BOE，所以Fn，因此x04，y0，即点M的坐标是(4，0)在平面直角坐标系xOy中，AOB的内部区域可表示为不等式组经检验，点M的坐标满足上述不等式组，所以在AOB内存在一点M，使FM平面BOE.由点M的坐标，得点M到OA，OB的距离分别为4，.解法二：(1)证明：如图，取PE的中点为H，连结HG、HF.因为点E，O，G，H分别是PA，AC，OC，PE的中点，所以HGOE，HFEB.因此平面FGH平面BOE.因为FG在平面FGH内，所以FG平面BOE.(2)在平面OAP内，过点P作PNOE，交OA于点N，交OE于点Q.连结BN，过点F作FMPN，交BN于点M.由题意，得OB平面PAC，所以OBPN，又因为PNOE，所以PN平面BOE.因此FM平面BOE.在RtOAP中，OEPA5，PQ，cosNPO，ONOPtanNPOOA，所以点N在线段OA上因为F是PB的中点，所以M是BN的中点因此点M在AOB内，点M到OA，OB的距离分别为OB4，ON.
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