1、第四讲思想方法与规范解答（一）思想方法1数形结合思想所谓数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数解形”，把直观图形数量化，使形更加精确本专题中集合的运算、求二次函数的最值，确定函数零点问题、求不等式恒成立中参数等都经常用到数形结合思想例1(2012年高考辽宁卷)设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)，f(x)f(2x)，且当x0，1时，f(x)x3.又函数g(x)|xcos (x)|，则函数h(x)
2、g(x)f(x)在，上的零点个数为()A5B6 C7 D8解析根据函数yf(x)的特点确定其性质，然后根据定义域分别作出图象求解根据题意，函数yf(x)是周期为2的偶函数且0x1时，f(x)x3，则当1x0时，f(x)x3，且g(x)|xcos (x)|，所以当x0时，f(x)g(x)当x0时，若0x，则x3xcos (x)，即x2 |cos x|.同理可以得到在区间，0)，(，1，(1，上的关系式都是上式，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象，如图所示，有5个根所以总共有6个答案B跟踪训练已知f(x)x36x29xabc，ab0；f(0)f(1)0；f(0)f(3)0.其中正确结
3、论的序号是()A BC D解析：利用函数的单调性及数形结合思想求解f(x)3x212x93(x1)(x3)，由f(x)0，得1x0，得x3，f(x)在区间(1，3)上是减函数，在区间(，1)，(3，)上是增函数又ab0，y极小值f(3)abc0，0abc4.a，b，c均大于零，或者a0，b0. 又x1，x3为函数f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图f(0)0，f(0)f(1)0，正确结论的序号是.答案：C2分类讨论思想分类讨论思想是由问题的不确定性而引起的，需要按照问题的条件划分为几类，从而解决问题，在本专题中常见的分类讨论思想的运用有以下两个方面：(1)二次函数在给定区间的最值求法，
4、注意对称轴与区间关系；(2)含参数的函数的单调性的判断，极值、最值的求法例2(2012年高考课标全国卷)设函数f(x)exax2.(1)求f(x)的单调区间；(2)若a1，k为整数，且当x0时，(xk)f(x)x10，求k的最大值解析(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)exa.若a0，则f(x)0，所以f(x)在(，)上单调递增若a0，则当x(，ln a)时，f(x)0.所以，f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增(2)由于a1，所以(xk)f(x)x1(xk)(ex1)x1.故当x0时，(xk)f(x)x10等价于k0)令g(x)x，则g(x)1.由(1)知，函数
5、h(x)exx2在(0，)上单调递增而h(1)0，所以h(x)在(0，)上存在唯一的零点，故g(x)在(0，)上存在唯一的零点设此零点为，则(1，2)当x(0，)时，g(x)0.所以g(x)在(0，)上的最小值为g()又由g()0，可得e2，所以g()1(2，3)由于式等价于kg()，故整数k的最大值为2. 跟踪训练(2012年济南模拟)已知函数f(x)x2eax，aR.(1)当a1时，求函数yf(x)的图象在点(1，f(1)处的切线方程；(2)讨论f(x)的单调性解析：(1)因为当a1时，f(x)x2ex，f(x)2xexx2ex(2xx2)ex，所以f(1)e，f(1)3e.从而yf(x)
6、的图象在点(1，f(1)处的切线方程为ye3e(x1)，即y3ex2e.(2)f(x)2xeaxax2eax(2xax2)eax.当a0时，若x0，则f(x)0，则f(x)0.所以当a0时，函数f(x)在区间(，0)上为减函数，在区间(0，)上为增函数当a0时，由2xax20，解得x，由2xax20，解得0x0时，函数f(x)在区间(，0)，(，)上为减函数，在区间(0，)上为增函数当a0时，由2xax20，解得x0，解得x0.所以，当a0时，f(x)在(，0)，(，)上单调递减，在(0，)上单调递增当a0得0x1，由f(x)1.所以函数f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，) (2)由函数g(x)xf(x)p(2x2x1)xln xp(x21)(x0)，得g(x)ln x12px.由(1)知，当p1时，f(x)f(1)0，即不等式ln xx1成立当p时，g(x)ln x12px(x1)12px(12p)x0.即函数g(x)在1，)上单调递减，从而g(x)g(1)0，满足题意；当p0，12px0，从而g（x）ln x12px0，即函数g(x)在(1，)上单调递增，从而存在x0(1，)使得g(x0)g(1)0，不满足题意；当p0时，由x1知g(x)xln xp(x21)0恒成立，此时不满足题意 综上所述，实数p的取值范围为