1、基础诊断考点突破课堂总结第6讲 正弦定理、余弦定理及解三角形基础诊断考点突破课堂总结考试要求 1.正弦定理、余弦定理，简单的三角形度量问题，B级要求；2.运用定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，B 级要求基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1正、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容 asin A 2Ra2；b2；c2bsin Bcsin Cb2c22bccos Ac2a22cacos Ba2b22abcos C基础诊断考点突破课堂总结常见变形(1)a2Rsin A，b，c；(2)sin A a2R，sin
2、B ，sin C c2R；(3)abc；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A ；cos B ；cos C 续表2Rsin B2Rsin Cb2Rsin Assign Bsin Cb2c2a22bcc2a2b22aca2b2c22ab基础诊断考点突破课堂总结2.SABC12absin C12bcsin A12acsin Babc4R 12(abc)r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r.基础诊断考点突破课堂总结3实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线叫仰角，目标视线在水平
3、视线叫俯角(如图1)上方下方基础诊断考点突破课堂总结(2)方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角如B点的方位角为(如图2)(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30，北偏西45等(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)在ABC 中，AB 必有 sin Asin B()(2)在ABC 中，a 3，b 2，B45，则 A60或 120.()(3)从 A 处望 B 处的仰角为，从 B 处望 A 处的俯角为，则，的关系为 180.()(4)方位角与方向角其实质是一样的，均
4、是确定观察点与目标点之间的位置关系，其范围均是0，2.()基础诊断考点突破课堂总结2(2014江西卷改编)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.若 3a2b，则2sin2Bsin2Asin2A的值为_解析 由正弦定理知，2sin2Bsin2Asin2A2b2a2a22ba21，又知 3a2b，所以ba32，2sin2Bsin2Asin2A2322172.答案 72基础诊断考点突破课堂总结3(2014福建卷)在ABC 中，A60，AC2，BC 3，则AB 等于_解析 由余弦定理得BC2AC2AB22ACABcos A，即34AB22AB，即AB22AB10.解得AB1.答案
5、 1.基础诊断考点突破课堂总结4(苏教版必修5P10T4(2)改编)在ABC中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为_答案 等腰三角形或直角三角形解析 由正弦定理，得 sin Acos Asin Bcos B，即 sin 2Asin 2B，所以 2A2B 或 2A2B，即 AB 或 AB2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形基础诊断考点突破课堂总结5一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是_海里解析 如图所示，易知
6、，在ABC 中，AB20 海里，CAB30，ACB 45，根 据 正 弦 定 理 得BCsin 30 ABsin 45，解得 BC10 2(海里)答案 10 2基础诊断考点突破课堂总结(1)若a2 3，b 6，A45，则c_.(2)若(abc)(abc)ac，则B_.考点一 正、余弦定理的简单运用【例1】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.深度思考 已知两边及其中一边所对的角求另一边可采用正弦定理也可用余弦定理来解决，不妨两种方法你都体验一下吧！基础诊断考点突破课堂总结解析(1)法一 在ABC中，由正弦定理得sin Bbsin Aa6 222 312，因为ba，所以BA，所以B30
7、，C180AB105，sin Csin 105sin(4560)sin 45cos 60cos 45sin 60 6 24.故casin Csin A 2 3 6 2422 33.基础诊断考点突破课堂总结法二 在ABC中，根据余弦定理可得a2b2c22bccos A，即c22 3c60，所以c 33.因为c0，所以c 33.(2)因为(abc)(abc)ac，所以a2c2b2ac.由余弦定理的推论得cos Ba2c2b22ac12，因为0B，所以B23.答案(1)3 3(2)23基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要
8、抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制基础诊断考点突破课堂总结【训练1】(1)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c22a22b2ab，则ABC的形状是_三角形(填“钝角”或“锐角”)(2)(2014绍兴模拟)在ABC中，A60，b1，SABC3，则abcsin Asin Bsin C_.解析(1)由2c22a22b2ab，得a2b2c212ab，所以cos Ca2
9、b2c22ab12ab2ab 140，所以90C180，即ABC为钝角三角形基础诊断考点突破课堂总结(2)SABC12bcsin Ac2 32 3，c4，a2b2c22bccos A12422411213，a 13，asin A bsin Bcsin C2R(R是ABC的外接圆的半径)abcsin Asin Bsin C2R asin A13sin 602 393.答案(1)钝角(2)2 393基础诊断考点突破课堂总结考点二 正、余弦定理的综合运用【例2】(2014山东卷)在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a3，cos A 63，BA2.(1)求b的值；(2)求ABC的面积
10、基础诊断考点突破课堂总结解(1)在ABC中，由题意知，sin A 1cos2A 33，因为BA2，所以sin BsinA2 cos A 63.由正弦定理，得basin Bsin A 3 63333 2.基础诊断考点突破课堂总结(2)由BA2，得cos BcosA2 sin A 33.由ABC，得C(AB)所以sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B 33 33 63 63 13.因此ABC的面积S12absin C1233 2133 22.基础诊断考点突破课堂总结规律方法 有关三角形面积问题的求解方法：(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化；(2)合理运用
11、三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等基础诊断考点突破课堂总结解(1)由题意可知c8(ab)72.由余弦定理得cos Ca2b2c22ab22522722225215.基础诊断考点突破课堂总结(2)由sin Acos2B2sin Bcos2A22sin C可得：sin A1cos B2sin B1cos A22sin C，化简得sin Asin Acos Bsin Bsin Bcos A4sin C.因为sin Acos Bcos Asin Bsin(AB)sin C，所以sin Asin B3sin C由正弦定理可知ab3c.又因为abc8，故ab6
12、.由于S12absin C92sin C，所以ab9，从而a26a90，解得a3，b3.基础诊断考点突破课堂总结考点三 正、余弦定理在实际问题中的应用【例3】如图，在海岸A处，发现北偏东45方向距A为(3 1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75方向，距A为2海里的C处的缉私船奉命以10 3海里/时的速度追截走私船此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：62.449)基础诊断考点突破课堂总结解 设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则有CD10 3t(海里)，BD10t(海里)在ABC中
13、，AB(31)海里，AC2海里，BAC4575120，根据余弦定理，可得BC 3122222 31cos 120 6(海里)根据正弦定理，可得sinABCACsin 120BC2 326 22.基础诊断考点突破课堂总结ABC45，易知CB方向与正北方向垂直，从而CBD9030120.在BCD中，根据正弦定理，可得sinBCDBDsinCBDCD10tsin 12010 3t12，BCD30，BDC30，BDBC 6(海里)，则有10t 6，t 6100.245小时14.7分钟故缉私船沿北偏东60方向，需14.7分钟才能追上走私船基础诊断考点突破课堂总结规律方法 解三角形应用题的两种情形：(1)
14、实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解基础诊断考点突破课堂总结【训练3】(2014新课标全国卷)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.已知山高BC100 m，则山高MN_m.基础诊断考点突破课堂总结解析 在 RtABC 中，C
15、AB45，BC100 m，所以 AC100 2(m)在AMC 中，MAC75，MCA60，从而AMC45，由正弦定理，得 ACsin 45 AMsin 60，因此 AM100 3(m)在 RtMNA 中，AM100 3 m，MAN60，由MNAMsin 60，得 MN100 3 32 150(m)答案 150基础诊断考点突破课堂总结微型专题 解三角形中的向量法解三角形问题是历年高考的必考内容，其实质是将几何问题转化为代数问题及方程问题解答这类问题的关键是正确分析边角关系，依据题设条件合理地设计解题程序，将三角形中的边角关系进行互化解三角形问题的一般解题策略有：公式法、边角互化法、构造方程法、向
16、量法、分类讨论法等基础诊断考点突破课堂总结【例4】已知ABC顶点的坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(5,0)，则sin A的值为_点拨 先把坐标用向量来表示，再利用向量的数量积求解即可基础诊断考点突破课堂总结解析 因为AB(3，4)，AC(2，4)，所以ABAC61610，|AB|32425，|AC|22422 5.所以cosAB，AC ABAC|AB|AC|1010 5 55.即cos A 55，因为0A，所以sin A2 55.答案 2 55基础诊断考点突破课堂总结点评 本题的求解如果不采用向量法，难度就加大了，需要先作出图形，求得角A一邻边上的高，不仅计算量加大，题目也变得复杂而
17、采用向量法就很轻易地实现几何问题代数化，计算量大大降低，很容易求得结果基础诊断考点突破课堂总结思想方法正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形形状的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系一般地，利用公式a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C(R为ABC外接圆半径)，可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数知识进行化简，其中往往用到三角形内角和定理ABC.利用公式cos A b2c2a22bc，cos Ba2c2b22ac，cos Ca2b2c22ab，可将有关三角形中的角的余弦化为边的关系，然后充分利用代数知识求边基础诊断考点突破课堂总结易错防范1在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形有时出现一解、两解，所以要进行分类讨论(此类类型也可利用余弦定理求解)2利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制3解三角形实际问题时注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来而容易出现的错误是把角的含义弄错，把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错