1、 8.2点、直线、平面之间的位置关系【考纲要求】1、理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理。公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内。公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。2、以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。理解以下判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条
2、直线平行，那么该直线与此平面平行。如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行。如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直。理解以下性质定理，并能够证明。如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行。如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行。垂直于同一个平面的两条直线平行。如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直。 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。【基础知识】一、平面公理
3、公理1：如果一条直线上的两个点在一平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。 公理2：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线。 公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。平行直线的（公理4）唯一性：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 传递性：平行于同一条直线的两条直线互相平行。二、空间两条直线的位置关系1、异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。（既不相交也不平行的直线叫
4、做异面直线）2、异面直线的判定：与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线。3、空间两条直线有共面（相交、平行）和异面（异面）两种位置关系。4、两条异面直线所成角：异面两条直线，空间内任取一点，分别过该点作两条平行线，所形成的锐角或直角。5、等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等。三、直线与平面平行1、直线与平面平行的定义：直线和平面没有公共点。2、直线与平面平行的判定：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。（记为：线线平行，则线面平行）3、直线与平面平行性质：如果一条直线和一个平面平
5、行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行。（记为：线面平行，则线线平行） 四、平面与平面平行1、平面与平面平行的定义：如果两个平面没有公共点，则这两个平面互相平行2、平面与平面平行的判定如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（记为：线面平行，则面面平行）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行3、平面和平面平行的性质 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任何一条直线平行于另一个平面。（记为：面面平行，则线面平行）如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。平行于同一个平面的两个平面平行。
6、两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例。夹在两个平行平面间的两条平行线段相等。五、直线与平面垂直1、直线与平面垂直的定义：如果一条直线垂直于一个平面的所有直线，则这条直线垂直于这个平面。 2、直线与平面垂直的判定如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。（记为：线线垂直，则线面垂直）如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。 3、直线与平面垂直的性质 如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直。（记为：线面垂直，则线线垂直） 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。 过一点与已知平面垂直的直线只有一条
7、。 垂直于同一条直线的两个平面平行。六、面面垂直1、面面垂直的定义：如果两个平面相交所构成的二面角是90，则这两个平面互相垂直 。2、面面垂直的判定：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。(记为：线面垂直，则面面垂直) 3、面面垂直的性质如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。（记为：面面垂直，则） 如果两个平面互相垂直，经过一个平面内的一点向另一个平面作垂线，那么这条垂线一定在第一个平面内。【例题精讲】【例1】 已知S是ABC所在平面外一点,O是边AC的中点,SOA=SOB=SOC,点P是SA的中点.(1)求证:SO平面ABC;(2)
8、求证:SC平面BOP.证明:(1)在平面SAC中,SOA+SOC=180,又SOA=SOB=SOC,SOA=SOC=90=SOB,即SOAC,SOOB.SO平面ABC.(2)P是SA的中点,O是AC的中点,OPSC.而OP平面BOP,SC平面BOP,SC平面BOP.【例2】 已知正方形ABCD,E、F分别是边AB、CD的中点,将ADE沿DE折起,如图所示.记二面角ADEC的大小为(0).(1)证明BF平面ADE;(2)若ACD为正三角形,试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上,请证明你的结论,并求角的余弦值.(1)证明:E、F分别是正方形ABCD的边AB、CD的中点,EBFD,且E
9、B=FD.四边形EBFD是平行四边形.BFED.ED平面AED,而BF平面AED,BF平面AED.(2)解:方法一:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,过点A作AG平面BCDE,垂足为G,连结GC、GD.ACD为正三角形,AC=AD.GC=GD.G在CD的垂直平分线上.又EF是CD的垂直平分线,点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.过G作GHED,垂足为H,连结AH,则AHDE,AHG是二面角ADEG的平面角,即AHG=.设原正方形ABCD的边长为2a,连结AF,在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,AEF为直角三角形,AGEF=AEAF.AG=a.在RtADE中,AHDE
10、=ADAE,AH=.GH=.cos=.方法二:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.连结AF,在平面AEF内过点A作AGEF,垂足为G.ACD为正三角形,F为CD的中点,AFCD.又EFCD,CD平面AEF.AG平面AEF,CDAG.又AGEF,且CDEF=F,CD平面BCDE,EF平面BCDE,AG平面BCDE.G为A在平面BCDE内的射影G.点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上.过G作GHED,垂足为H,连结AH,则AHDE,AHG是二面角ADEC的平面角,即AHG=.设原正方形ABCD的边长为2a,在折后图的AEF中,AF=a,EF=2AE=2a,AEF为直角三角形,AGEF=A
11、EAF.AG=a.在RtADE中,AHDE=ADAE,AH=.GH=.cos=. 8.2点、直线、平面之间的位置关系强化训练【基础精练】1.设l,m,n均为直线,其中m,n在平面内,则“l”是“lm且ln”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件2.a、b是两条异面直线,A是不在a、b上的点,则下列结论成立的是( )A.过A有且只有一个平面平行于a、bB.过A至少有一个平面平行于a、bC.过A有无数个平面平行于a、bD.过A且平行于a、b的平面可能不存在3.如图,ABCD A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是( )A.BD平面CB1D1 B
12、.AC1BDC.AC1平面CB1D1 D.异面直线AD与CB1所成的角为604.给出下列四个命题:垂直于同一直线的两条直线互相平行;垂直于同一平面的两个平面互相平行;若直线l1、l2与同一平面所成的角相等,则l1、l2互相平行;若直线l1、l2是异面直线,则与l1、l2都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.45.下列命题错误的是( )A.若四面体的两组对棱垂直,则第三组对棱也垂直B.若三棱锥的三侧棱两两垂直,则顶点在底面内的射影是底面三角形的垂心C.若ABC所在平面外一点到三顶点的距离相等,则该点在平面ABC内的射影是ABC的外心D.若ABC所在平面外
13、一点P到ABC的三边距离相等,则P在平面ABC内的射影是ABC的内心6.如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,EF是异面直线AC、A1D的公垂线,则EF与BD1的关系为( )A.相交不垂直 B.相交垂直C.异面 D.平行7.如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对”,在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的对数是( )A.48 B.18 C.24 D.368.给定空间中的直线l及平面,则“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的（ ）A.充要条件 B.充分非必要条件C.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件9
14、.设有直线m、n和平面、.下列四个命题中,正确的是（ ）A.若m,n,则mnB.若m,n,m,n,则C.若,m,则mD.若,m,m,则m10.已知两条直线m,n和两个平面,.给出下面四个命题:mn,mn;,m,nmn;mn,mn;,mn,mn.其中正确命题的序号是( )A. B. C. D.11.已知平面=m,直线n,n,则直线m、n的位置关系是_. 12.平行四边形的一个顶点A在平面内,其余三个顶点在的同侧.已知其中有两个顶点到平面的距离分别为1和2,那么剩下的一个顶点到平面的距离可能是：1;2;3;4.以上结论正确的为_.(写出所有正确结论的编号)13.下列四个正方体图形中,A、B为正方体
15、的两个顶点,M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出AB面MNP的图形的序号是_.(写出所有符合要求的图形序号)14.下列五个正方体图形中,l是正方体的一条对角线,点M、N、P分别是其所在棱的中点,能得出l平面MNP的图形的序号是_.15.如图,四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形,侧棱PA底面ABCD,侧面PBC内有BEPC于E,且BE=a,试在AB上找一点F,使EF平面PAD,并确定AF的长度.16.如图,在四棱锥PABCD中,侧面PAD底面ABCD,侧棱PA=PD=,底面ABCD为直角梯形,其中BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.(1)求证:PO平面ABCD;(
16、2)求异面直线PB与CD所成角的大小;(3)线段AD上是否存在点Q,使得它到平面PCD的距离为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【拓展提高】1、如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AB=4,BC=3,CC1=2.(1)求证:平面A1BC1平面ACD1;(2)求(1)中两个平行平面间的距离;(3)求点B1到平面A1BC1的距离.2.已知三棱柱A1B1C1ABC的底面边长及侧棱长均相等,ABCB1,且侧面ABB1A1垂直于底面ABC.(1)求证:平面ABC1平面CBB1C1;(2)求侧棱B1B与底面ABC所成角的大小.3.已知四棱锥PABCD,底面ABCD是菱形,DAB=60,PD平
17、面ABCD,PD=AD,点E为AB中点,点F为PD中点.(1)证明平面PED平面PAB;(2)求二面角PABF的平面角的余弦值.【基础精练参考答案】5D【解析】:只有P点的射影在ABC内部时,才是内心.6.D【解析】:利用三垂线定理可以证明BD1平面ACB1.又由于A1DB1C,EFAC,EFCB1.从而EF平面ACB1,EFBD1.选D.7.D【解析】：问题等价转化为求正方体中过顶点的直线与过顶点的四边形平面垂直的对数共有多少对.正方体共有6个面,每个面上有四条垂线,则共有64=24对线面垂直;正方体的对角面共有6个,每个对角面上均有两条面上的对角线与之垂直,则共有62=12对线面垂直,所以
18、“正交线面对”共有24+12=36对.8.C【解析】：如果直线l仅垂直平面内的一组平行线,则“直线l与平面内无数条直线都垂直”成立,“直线l与平面垂直”不成立,所以“直线l与平面内无数条直线都垂直”不能推出“直线l与平面垂直”,而由直线与平面垂直的定义知“直线l与平面垂直”可以推出“直线l与平面内无数条直线都垂直”.9.D【解析】：由线面垂直的性质定理易得.10.C【解析】:显然成立;m与n可以平行,也可以为异面直线;n还可以在内;11. mn【解析】:在内取点Am,则点A与n确定一平面,且=a.同理可作平面且=b.n,n,na,nb.ab.a,b,a.a,=m,am.nm.12. 【解析】：
19、该题属于发散性思维题目,考查立体几何知识.任何一个面都是平行四边形,对角线的交点都是该线段的中点.其余四顶点到面的距离可得如下结果1+2=3,2-1=1.还可以用空间向量的思想来解释,建立坐标系只分析竖坐标即可.13. 【解析】:中平面MNP平面AB,AB平面MNP.中ABMP,AB平面MNP.不正确.14. 【解析】:对,易用三垂线定理证明lMN,lPM,故l平面MNP;对,易知l平面ABC,但点M、N位于该平面的两侧,故平面MNP不平行平面ABC,从而l不垂直平面MNP;同理,也不垂直;对,易证lMN,lMP,故正确;对,易知平面MNP平面ABC,而l平面ABC,故正确.15.【解析】:在
20、平面PCD内作EGPD于G,连结AG.PA平面ABCD,CDAD,CDPD.CDEG.又ABCD,EGAB.若有EF平面PAD,则EFAG,四边形AFEG为平行四边形,得EG=AF.CE=a,PBC为直角三角形,BC2=CECPCP=a,.故当AFFB=21,即AF=a时,EF平面PAD.16.【解析】解法一:(1)证明:如图,在PAD中,PA=PD,O为AD的中点,所以POAD.又侧面PAD底面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PO平面PAD,所以PO平面ABCD.(2)连结BO,在直角梯形ABCD中,BCAD,AD=2AB=2BC,有ODBC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边
21、形.所以OBDC.由(1)知,POOB,PBO为锐角,所以PBO是异面直线PB与CD所成的角.因为AD=2AB=2BC=2,在RtAOB中,AB=1,AO=1,所以OB=.在RtPOA中,因为AP=,AO=1,所以OP=1.在RtPBO中,tanPBO=,PBO=arctan,所以异面直线PB与CD所成的角是arctan.(3)假设存在点Q,使得它到平面PCD的距离为.设QD=x,则SDQC=x,由(2)得CD=OB=,在RtPOC中,PC=,所以PC=CD=DP,SPCD=()2=.由VP-DQC=VQ-PCD,得x1=,解得x=2,所以存在点Q满足题意,此时.解法二:(1)同解法一(1).
22、(2)如图,以O为坐标原点, 的方向分别为x、y、z轴的正方向,建立空间直角坐标系Oxyz,依题意,易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),所以=(-1,1,0), =(1,-1,-1),cos=.所以异面直线PB与CD所成的角是arccos.(3)假设存在点Q,使得它到平面PCD的距离为.由(2)知=(-1,0,1), =(-1,1,0).设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0),即x0=y0=z0.取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).设Q(0,y,0)(-1y1),=(-1,y,0),由=,得,解得y=-
23、或y=(舍去),此时|AQ|=,|QD|=,所以存在点Q满足题意,此时.【拓展提高参考答案】 (2)解:设两平行平面A1BC1与ACD1间的距离为d,则d等于D1到平面A1BC1的距离.易求A1C1=5,A1B=,BC1=,则cosA1BC1=.从而sinA1BC1=,SA1BC1=.由于VD1A1BC1=VBA1C1D1,则SA1BC1d=(A1D1C1D1)BB1,代入求得d=,即(1)中两个平行平面间的距离等于.(3)解:由于线段B1D1被平面A1BC1所平分,所以点B1与点D1到平面A1BC1的距离相等,故由(2)知点B1到平面A1BC1的距离等于.2.【解析】剖析:(1)利用面面垂直
24、的判定定理,关键是在一个平面内找另一个平面的垂线(这条直线是CB1);(2)利用面面垂直的性质定理,作出侧棱B1B与底面ABC所成的角.(1)证明:四边形BB1C1C是菱形,CB1C1B.又ABCB1,ABC1B=B,CB1平面ABC1.而CB1平面CBB1C1,平面ABC1平面CBB1C1.(2)解:作B1DAB于D,连结CD.侧面ABB1A1底面ABC,而平面ABB1A1平面ABC=AB,B1D面ABC.B1BD就是侧棱B1B与底面ABC所成的角.又CB1AB,其射影CDAB.而ABC是正三角形,BD=AB=B1B.B1BD=60,即侧棱B1B与底面ABC所成的角为60.3.【解析】(1)证明:连结BD,AB=AD,DAB=60,ADB为等边三角形.E是AB中点,ABDE.PD平面ABCD,AB平面ABCD,ABPD.DE平面PED,PD平面PED,DEPD=D,AB平面PED.AB平面PAB,平面PED平面PAB.(2)解:AB平面PED,PE平面PED,ABPE,连结EF,EF平面PED.ABEF.PEF为二面角PABF的平面角.设AD=2,那么PF=FD=1,DE=,在PEF中,PE=,EF=2,PF=1,cosPEF=,即二面角PABF的平面角的余弦值为.