1、星期日(40分附加题部分)2016年_月_日选做部分请同学从下面给的四题中选定两题作答1选修4-1：几何证明选讲如图，O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为O上一点，AEAC，DE交AB于点F.求证：PDFPOC.证明因为AEAC，CDEAOC，又CDEPPFD，AOCPOCP，从而PFDOCP，在PDF与POC中，PP，PFDOCP，故PDFPOC.2选修4-2：矩阵与变换已知矩阵A(c，d为实数)若矩阵A属于特征值2，3的一个特征向量分别为，求矩阵A的逆矩阵A1.解由题意知 2， 3，所以解得所以A，所以A1.3选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆A的圆心为(4，
2、0)，半径为4，点M为圆A上异于极点O的动点，求弦OM中点的轨迹的极坐标方程解由题意知，圆A的极坐标方程为8cos ，设弦OM的中点为N(，)，则M(2，)，因为点M在圆A上，所以28cos ，即4cos ，又点M异于极点O，所以0，所以弦OM中点的轨迹的极坐标方程为4cos (0)4选修4-5：不等式选讲已知x，y，zR，且x2y3z80.求证：(x1)2(y2)2(z3)214.证明因为(x1)2(y2)2(z3)2(122232)(x1)2(y2)3(z3)2(x2y3z6)2142，当且仅当，即xz0，y4时，取等号，所以(x1)2(y2)2(z3)214.必做部分1如图，在直三棱柱A
3、BCA1B1C1中，已知CACB1，AA12，BCA90.(1)求异面直线BA1与CB1夹角的余弦值；(2)求二面角BAB1C平面角的余弦值解如图，以，为正交基底，建立空间直角坐标系Cxyz，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，A1(1，0，2)，B1(0，1，2)，所以(0，1，2)，(1，1，0)，(1，1，2)，(1，1，2)(1)因为cos，所以异面直线BA1与CB1夹角的余弦值为.(2)设平面CAB1的法向量为m(x，y，z)，则即取平面CAB1的一个法向量为m(0，2，1)；设平面BAB1的法向量为n(r，s，t)，则即取平面BAB1的一个法向量为n(1，1，0)，则cosm，n
4、，所以二面角BAB1C平面角的余弦值为.2在数列an中，已知a120，a230，an13anan1(nN*，n2)(1)当n2，3时，分别求aan1an1的值，并判断aan1an1(n2)是否为定值，然后给出证明；(2)求出所有的正整数n，使得5an1an1为完全平方数解(1)由已知得a370，a4180.所以当n2时，aan1an1500；当n3时，aan1an1500.猜想：aan1an1500(n2)下面用数学归纳法证明： 当n2时，结论成立 假设当nk(k2，kN*)时，结论成立，即aak1ak1500.将ak13akak1代入上式，可得a3akak1a500.则当nk1时，aakak2aak(3ak1ak)a3akak1a500.故当nk1结论成立，根据可得aan1an1500(n2)成立(2)将an13anan1代入aan1an1500，得a3anan1a500，则5an1an(an1an)2500，5anan11(an1an)2501，设5an1an1t2(tN*)，则t2(an1an)2501，即t(an1an)(tan1an)501，又an1anN，且50115013167，故或所以或由an1an250解得n3；由an1an82得n无整数解，所以当n3时，满足条件4
