1、要点导学 各个击破 与几何体的表面积有关的问题 (2014方城模拟)已知正四棱锥的底边和侧棱长均为32,那么该正四棱锥的外接球的表面积为 .答案36 解析由于正四棱锥的底边和侧棱长均为32,则此四棱锥底面正方形的外接圆即是外接球的一轴截面,故外接球的半径是3,则该正四棱锥的外接球的表面积为432=36.如图(1),在ABC中,AB=2,BC=2,ABC=120,若将ABC绕BC旋转一周,求所形成的旋转体的表面积.图(1)图(2)(变式)解答如图(2),过点A作ADBC,与CB交于点D,所得旋转体是以AD为半径、DC为高的圆锥,挖去一个以AD为半径、DB为高的圆锥.在ABC中,AB=2,BC=2
2、,ABC=120,则AD=3,AC=23,所以旋转体表面积为AD(AC+AB)=3(2+23)=23(1+3).与几何体的体积有关的问题 (2014北京卷)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,ABBC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别为A1C1,BC的中点.(例2)(1)求证:平面ABE平面B1BCC1;(2)求证:C1F平面ABE;(3)求三棱锥E-ABC的体积.解答(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1底面ABC,所以BB1AB.又因为ABBC,BB1BC=B,所以AB平面B1BCC1.因为AB平面ABE,所以平面ABE平面B1BCC1.(2)取AB的中点G,
3、连接EG,FG.因为E,F分别是A1C1,BC的中点,所以FGAC,且FG=12 AC.因为ACA1C1,且AC=A1C1,所以FCEC1,且FG=EC1,所以四边形FGEC1为平行四边形,所以C1FEG.又因为EG平面ABE,C1F 平面ABE,所以C1F平面ABE.(3)因为AA1=AC=2,BC=1,ABBC,所以AB=22-AC BC=3,所以三棱锥E-ABC的体积为V=13 SABCAA1=13 12 3 12=33.精要点评(1)正确地记忆和运用公式是求多面体体积的前提;(2)正确求某些关键量是求多面体体积的关键;(3)对于不能直接求体积的复杂问题,要时刻关注转化.(2014福建卷
4、)如图,在三棱锥A-BCD中,AB平面BCD,CDBD.(1)求证:CD平面ABD;(2)若AB=BD=CD=1,M为AD的中点,求三棱锥A-MBC的体积.(变式)解答(1)因为AB平面BCD,CD平面BCD,所以ABCD.又CDBD,ABBD=B,AB平面ABD,BD平面ABD,所以CD平面ABD.(2)由AB平面BCD,得ABBD.因为AB=BD=1,所以SABD=12.因为M是AD的中点,所以SABM=12 SABD=14.由(1)知,CD平面ABD,因此VA-MBC=VC-ABM=13 SABMCD=112.简单几何体的综合问题 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1平面ABC,
5、D,E分别为A1B1,AA1的中点,点F在棱AB上,且AF=14 AB.(例3)(1)求证:EF平面BDC1.(2)在棱AC上是否存在一个点G,使得平面EFG将三棱柱分割成的两部分体积之比为115?若存在,指出点G的位置;若不存在,请说明理由.思维引导(1)取AB的中点M,由A1MBD可得EFBD,从而EF平面BDC1;(2)假设AC上存在一点G,使平面EFG将三棱柱分割成两部分的体积比为115,即EAFGV1 1 1ABCA B CV=116,从而得出AG=32 ACAC矛盾.解答(1)如图,取AB的中点M,因为AF=14 AB,所以点F为AM的中点,又因为点E为AA1的中点,所以EFA1M
6、.在三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,M分别为A1B1,AB的中点,所以A1DBM,A1D=BM,所以四边形A1DBM为平行四边形,所以A1MBD,所以EFBD.因为BD平面BC1D,EF 平面BC1D,所以EF平面BC1D.(2)假设AC上存在一点G,使得平面EFG将三棱柱分割成两部分的体积之比为115,则EAFGV1 1 1ABCA B CV=116,因为1 1 1EAFGABCA B CVV=111i3212AFAGs nGAFAEABACsinCABA A=124 AGAC,所以AGAC=32,所以AG=32 ACAC,所以符合要求的点G不存在.(2014江西卷)如图,在四棱锥P-A
7、BCD中,ABCD为矩形,平面PAD平面ABCD.(1)求证:ABPD;(2)若BPC=90,PB=2,PC=2,则AB为何值时,四棱锥P-ABCD的体积最大?(变式)解答(1)因为ABCD为矩形,所以ABAD.又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以AB平面PAD,故ABPD.(2)过点P作POAD,垂足为O,过点O作OGBC垂足为G,连接PG,则PO平面ABCD,BC平面POG,BCPG.在RtBPC中,BC=6,则PG=2 33,GC=2 63,BG=63.设AB=m,则OP=22-PG OG=24-3 m,故四棱锥P-ABCD的体积为V=13 6 m24-3 m=2
8、8-63mm.因为m28-6m=248-6mm=22 28-6-33m,所以当m=63,即AB=63 时,四棱锥P-ABCD的体积最大.如图(1),在直角梯形ABCD中,ABAD,ADBC,F为AD的中点,点E在BC上,且EEAB.已知AB=AD=CE=2,沿线段EF把四边形CDFE折起,使平面CDFE平面ABEF,如图(2)所示.(1)求证:AB平面BCE;(2)求三棱锥C-ADE的体积.图(1)图(2)(范题赏析)规范答题(1)在图(1)中,EFAB,ABAD,所以EFAD.(2分)在图(2)中,CEEF,又平面CDFE平面ABEF,且平面CDFE平面ABEF=EF,所以CE平面ABEF.
9、又AB平面ABEF,所以CEAB.(5分)又ABBE,BECE=E,所以AB平面BCE.(7分)(2)因为平面CDFE平面ABEF,且平面CDFE平面ABEF=EF,AFFE,AF平面ABEF,所以AF平面CDEF,(10分)所以AF为三棱锥A-CDE的高,且AF=1.又AB=CE=2,所以SCDE=12 22=2.(12分)所以 CADEV=ACDEV=13 AFSCDE=23.(14分)1.一个六棱锥的体积为2 3,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为 .答案12 解析设六棱锥的高为h,则V=13 Sh,所以13 34 46h=2 3,解得h=1,设斜高为h,则h
10、2+(3)2=h2,所以h=2,所以,该六棱锥的侧面积为12 226=12.2.已知正方形ABCD的边长为2,E,F分别为BC,DC的中点,沿AE,EF,AF折成一个四面体,使B,C,D三点重合,则这个四面体的体积为 .答案13 3.(2014山东卷)在三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,P-ABC的体积为V2,则12VV=.(第3题)答案14 解析如图,由于D,E分别是边PB与PC的中点,所以SBDE=14 SPBC.又因为A平面BDE的距离与点A到平面PBC的距离相等,所以12VV=14.4.在如图所示的几何体中,平面ACE平面ABCD,四边形
11、ABCD为平行四边形,ACB=90,EFBC,AC=BC=2,AE=EC=1.(第4题)(1)求证:AE平面BCEF;(2)求三棱锥D-ACF的体积.解答(1)因为平面ACE平面ABCD,且平面ACE平面ABCD=AC,BCAC,BC平面ABCD,所以BC平面AEC.又因为AE平面AEC,所以BCAE.又AC=2,AE=EC=1,所以AC2=AE2+CE2,所以AEEC.又因为BCEC=C,所以AE平面ECBF.(2)设AC的中点为G,连接EG,因为AE=CE,所以EGAC.因为平面ACE平面ABCD,且平面ACE平面ABCD=AC,所以EG平面ABCD.因为EFBC,EF 平面ABCD,BC平面ABCD,所以EF平面ABCD,所以点F到平面ABCD的距离就等于点E到平面ABCD的距离,即点F到平面ABCD的距离为EG的长,所以DACFV=FACDV=EACDV=13 SACDEG.因为SACD=12 ACAD=12 2 2=1,EG=12 AC=22,所以DACFV=13 122=26,即三棱锥D-ACF的体积为26.温馨提醒 趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习(第105-106页).
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