1、山东师大附中2017级第七次学分认定考试数学试卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，复数表示纯虚数，则的值为（ ）A. 1B. -1C. D. 0【答案】B【解析】【分析】直接由复数z的实部等于0且虚部不等于0求得m的值【详解】zm21+（m-1）i表示纯虚数，则，解得：m1故选：B【点睛】本题考查了复数的基本概念，考查了复数是纯虚数的条件，是基础题2.设复数满足，则复数的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用i41，复数的运算法则、虚部的定义即可得出【详解】i41，i2019（i4）504i3ii，其虚部为故选：B【点睛】本题
2、考查了复数的周期性、复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题3.在复平面内，若复数，则复数的共轭复数对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】由复数的模长及除法运算求解即可【详解】则= ，其共轭复数为，对应的点为 位于第一象限故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题4.如果函数的导函数的图象如图所示，则以下关于函数的判断：在区间内单调递增； 在区间内单调递减；在区间内单调递增； 是极小值点； 是极大值点.其中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用使f（x）0的
3、区间是增区间，使f（x）0的区间是减区间，分别对进行逐一判定，导数等于零的值是极值，先增后减是极大值，先减后增是极小值，再对进行判定【详解】对于，f（x）在区间（-2,2）内有正有负，故函数yf（x）在区间（-2,2）内有增有减，故不正确；对于，在区间（2,4）,f（x）0,故f（x）单增，故不正确；对于，在区间（2,3）,f（x）0,故f（x）单增，故正确；对于，当x 时，函数f（x），故不正确；对于，当x时，f（x）=0，且f（x）先正后负，x=4为极大值点故正确故选：A【点睛】本题考查了通过导函数图象判定原函数的单调性，以及极值问题，属于易错题5.已知向量，且与互相垂直，则的值是（ ）A
4、. -1B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用向量垂直数量积为0的性质求解【详解】向量（1，1，0），（1，0，2），k（k，k，0）+（1，0，2）（k1，k，2），2（2，2，0）（1，0，2）（3，2， 2），k和2互相垂直，（k）（2） 解得k故选：D【点睛】本题考查向量垂直时实数的值的求法，解题时要认真审题，是基础题6.从3名男生和2名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则不同的选派方案有（ ）A. 9种B. 12种C. 54种D. 72种【答案】C【解析】【分析】分析可得，“这3人中至少有1名女生”与“只选派男生”为对立事件，即则这3人中至少
5、有1名女生等于从全部方案中减去只选派男生的方案数，由排列的方法计算全部方案与只选派男生的方案数，计算可得答案【详解】从3名男生和2名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，有A53种选法，其中只选派男生的方案数为A33，分析可得，“这3人中至少有1名女生”与“只选派男生”为对立事件，则这3人中至少有1名女生等于A53A3354种，故选：C【点睛】本题考查排列的运用，出现最多、至少一类问题时，常见的方法是间接法7.已知正四面体，分别是棱的中点，则直线与直线所成角的大小为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】取AD的中点G, 连接MG,GN,MN,证明GNM或其补角即为异面直线A
6、C与MN所成的角，求解 为等腰直角三角形,得异面直线AC与MN所成的角为【详解】取AD的中点G,连接MG,GN,MN,分别是棱的中点,得GN是 的中位线,同理,MG是 的中位线 , 故GNM或其补角即为异面直线AC与MN所成的角.设正四面体ABCD的边长为1,则 ., , 为等腰直角三角形, 故异面直线AC与MN所成的角为,故选：B【点睛】本题考查异面直线所成角，考查线线平行，注意异面直线所成角的范围，是基础题8.曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先对函数进行求导，求出在x1处的导数值即为切线的斜率值，从而写出切线方程，然后求出切线
7、方程与两坐标轴的交点可得三角形面积【详解】yexlnx，f（1）e，f（1）0，点（1，0）处的切线为：ye（x1）与坐标轴的交点为：（0，-e），（，0），S1，故选：B【点睛】本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点处的导数值等于该点的切线的斜率，属基本知识的考查9.已知函数有极值，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出函数的导数，由题意得导数在R上有两个不相等的零点，即可求出实数a的取值范围【详解】f（x）x3-ax2+（a+6）x，f（x）3x2-2ax+a+6，函数在R上存在极值，函数在R上不是单调函数f（x）3x2-2ax+a+6，有两个不等
8、的根，即4a212a720，解得a3，或a6，故选：C【点睛】本题考查了利用导数研究三次多项式函数的单调性，从而求参数a的取值范围，属于中档题，解题时应该注意导函数等于0的等根的情形，以免出现只一个零点的误解10.近期20所高校要来山师附中进行高考招生政策宣讲，学校办公室要从小郑、小赵、小李、小汤、小王5名工作人员中选派4人分别从事接待、礼仪、保卫、司机四项不同的工作，若其中小郑和小赵只能从事前两项工作，其余3人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）A. 48种B. 36种C. 18种D. 12种【答案】B【解析】【分析】按小郑和小赵参加的人数分类讨论求解即可【详解】若小郑和小赵只有一
9、人参加：共若小郑和小赵都参加：共，综上共有24+12=36种【点睛】本题考查简单的排列组合，考查分类讨论思想，是基础题11.已知，则（ ）A. 2017B. 2018C. 2019D. 2020【答案】D【解析】【分析】利用导数运算及赋值法求则可求【详解】令x=2019,得，则故选：D【点睛】本题考查导数的运算，考查计算能力，是基础题12.已知函数，使得成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求导，求出的最值，再根据，使得，得到关于a的不等式解得即可【详解】 ， 故的最小值为;函数a,故ae故选：A【点睛】本题考查了导数与函数的最值问题，以及不等式有解
10、问题，双变元问题，考查转化化归能力，属于中档题二、填空题。13.已知，则的值为_【答案】15【解析】【分析】由排列数的运算求解即可【详解】由题，解得n=15故答案为15【点睛】本题考查排列数的运算法则，熟记公式准确计算是关键，是基础题14.已知函数是奇函数，当时，则不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】由题意构造函数g（x）xf（x）求出g（x），根据条件判断出g（x）的单调性和奇偶性，由f（2）0得g（2）0，结合g（x）单调性判断出各个区间上的符号，从而可得到f（x）在各个区间上的符号，即可求出不等式f（x）0的解集【详解】设g（x）xf（x），则g（x）xf（x）+f（x），当x0，则
11、g（x）0，g（x）在（，0）上单调递增，函数f（x）是R上奇函数，函数g（x）是R上的偶函数，则g（x）在（0，+）上单调递减，又f（2）0，则g（2）0，在（0，2）内恒有g（x）0；在（2，+）内恒有g（x）0，在（，2）内恒有g（x）0；在（2，0）内恒有g（x）0，在（0，2）内恒有f（x）0；在（2，+）内恒有f（x）0，在（，2）内恒有f（x）0；在（2，0）内恒有f（x）0，不等式f（x）0的解集是（2，0）（2，+），故答案为【点睛】本题考查导数与函数的单调性，利用函数的奇偶性和单调性求解不等式问题，考查构造函数法，属于中档题15.将正方形沿对角线折成直二面角，与平面所成角的
12、大小为是等边三角形与所成的角为 二面角为则上面结论正确的为_【答案】【解析】【分析】作出此直二面角的图象，由图形中所给的位置关系对命题逐一判断，即可得出正确结论【详解】作出如图的图象，E是BD的中点，易得AED90即为此直二面角的平面角对于命题AB与平面BCD所成线面角的平面角是ABE45，故AB与平面BCD成60的角不正确；对于命题，在等腰直角三角形AEC中AC等于正方形的边长，故ACD是等边三角形，此命题正确；对于命题可取AD中点F，AC中点H，连接EF，EH，FH，则EF，FH是中位线，故EFH或其补角为异面直线AB与CD所成角，又EF,FH其长度为正方形边长的一半，而EH是直角三角形A
13、EC的中线，其长度是AC的一半即正方形边长的一半，故EFH是等边三角形，由此AB与CD所成的角为60，此命题正确；对于命题，BD面AEC，故ACBD，此命题正确；对于命题，连接BH，HD,则BHAC, DHAC,则BHD为二面角的平面角，又BH=DH=AC,BD=BHD=-故二面角不是综上知是正确的故答案为【点睛】本题考查与二面角有关立体几何中线线之间的角的求法，线面之间的角的求法，以及线线之间位置关系的证明方法综合性较强，对空间立体感要求较高16.已知函数(a0)，函数，若不存在，使，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】先求导，分别求出导函数的最值，再根据不存在x1，x2R，使得f（
14、x1）g（x2），得到关于a的不等式解得即可【详解】函数f（x）exax，函数g（x）x3ax2，f（x）exaa，g（x）x22ax（x）2，不存在x1，x2R，使得f（x1）g（x2），解得-1a0，故答案为【点睛】本题考查了导数的运算法则和函数的最值问题，以及不等式的解法，属于中档题三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.求下列函数在指定点的导数：（1） ，； （2），【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由导数运算法则求导即可求解（2）由导数运算法则求导即可求解详解】（1）， （2），【点睛】本题考查导数的运算法则，熟记求导公式是关键，考查运算能力，是基础题18.
15、某小型玩具厂研发生产一种新型玩具，年固定成本为10万元，每生产千件需另投入3万元，设该厂年内共生产该新型玩具千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且满足函数关系：（1）写出年利润（万元）关于该新型玩具年产量（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在此新型玩具的生产中所获年利润最大？最大利润为多少？【答案】（1）（2）9千件；38.6万元【解析】【分析】（1）由G(x)等于销售收入减去成本求解即可；（2）求导判断函数单调性求最值即可【详解】（1）依题意，（）（2）由（1）得，令，得. 当时，单调递增，当时，单调递减.当时，有.即当年产量为9千件时，该厂在该商品生产中获得的年利润最
16、大且最大值为38.6万元【点睛】本题考查函数模型的应用，考查函数的最值，考查运算求解能力，是基础题19.正四棱柱中，为中点，为中点（1）证明：平面；（2）若直线与平面所成的角为，求的长【答案】（1）见证明；（2）2【解析】【分析】（1） 法一，取中点G,连接EG，GF,BF,证明EBFG为平行四边形,得EGBF,即可证明； 法二，以为原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量，证明即可（2）由求a即可【详解】（1） 法一，取中点G,连接EG, GF,BF,则GF且GF=，同理EB且EB=，故EBFG,EB=FG,则EBFG为平行四边形，则EGBF, 平面，所以平
17、面法二：以为原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系设，则， 故， 设平面的法向量，得取，得平面的一个法向量，又平面，所以平面； （2） ，则 即 解得，即的长为2【点睛】本题考查线面平行的判定，线面角的向量求法，考查空间想象和运算求解能力，是中档题20.已知函数（1）若函数在处的切线与直线垂直，求函数的单调区间及函数在上的最大值和最小值；（2）若时，函数在区间上是减函数，求实数的取值范围.【答案】（1）单减区间为；单增区间为；最大值为， 最小值为 （2）【解析】【分析】（1）由求得a,b，得，求得f（x）的单调性求得最值，（2）由在区间上是减函数，得，分离a求解即可【详解】（1
18、）与直线垂直的直线斜率为2，则 则，（），当时， ，递减；当时，递增所以的单减区间为；的单增区间为. 因为在上减，在上增,又所以函数在上的最大值为， 最小值为 （2）若时， 若函数在区间上是减函数，则即，设，所以在上单调递增， 所以.【点睛】本题考查函数的单调性与最值，考查不等式恒成立问题，注意转化化归的应用，考查运算能力，是中档题21.在四棱锥中，平面平面，.（1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）见证明；（2）（3）见解析【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质得面，即可证明面（2）取中点为，连结，证明
19、， 以为原点，如图建系易知，求面及面的法向量，利用二面角的向量公式求解即可（3）假设存在点使得面， 设，由面，为的法向量，得，【详解】（1）面面，面面，面，面， 面， ，又，面， （2）取中点为，连结， ， ， ， 以原点，如图建系易知，则，设为面的法向量，令， 设为面的法向量，令， 则二面角余弦值为 故二面角正弦值为（3）假设存在点使得面， 设，由（2）知， 有面，为的法向量，即，得 综上，存在点，即当时，点即为所求【点睛】本题考查线面垂直的证明，二面角的向量求法，线面平行的向量表示，考查转化和计算能力，是中档题22.已知函数，（）（1）若，求的极值； （2）若时，求实数的取值范围【答案】（1）极大值是，的极小值是（2）【解析】【分析】（1） ，求导，判断，变化求得极值；（2）解法一:分离a,求最值得a的范围，解法二: ，讨论a的范围得解【详解】（1）当时， 时，则，.当变化时，变化状态如下表：-10 + 0 - 0 +极大 极小 所以的极大值是，的极小值是 （2）等价于当时，恒成立解法一: 当，等号成立，当，设，由经典不等式 或者， ，又 解法二: ，若，则，即不等式恒成立.（充分性）若， ，这与当时，恒成立相矛盾（必要性）【点睛】本题考查函数与导数的极值，考查不等式恒成立，考查转化化归能力，考查计算能力，是中档题