1、基础诊断考点突破课堂总结第6讲 正弦定理、余弦定理及解三角形基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题基础诊断考点突破课堂总结定理正弦定理余弦定理内容asin Absin B csin C2Ra2；b2；c2知 识 梳 理1正、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则b2c22bccos Ac2a22cacos Ba2b22abcos C基础诊断考点突破课堂总结常见变形(1)a2Rsin A，b，c；(2)sin A a2R
2、，sin B b2R，sin C c2R；(3)abc；(4)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos A b2c2a22bc；cos B c2a2b22ac；cos C a2b2c22ab 2Rsin B2Rsin Csin Asin Bsin C基础诊断考点突破课堂总结2SABC12absin C12bcsin A12acsin Babc4R 12(abc)r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r.基础诊断考点突破课堂总结3实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线叫仰角，目标视线在水
3、平视线叫俯角(如图1)上方下方基础诊断考点突破课堂总结(2)方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角如B点的方位角为(如图2)(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30，北偏西45等(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测 1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)在ABC 中，AB 必有 sin Asin B()(2)在ABC 中，a 3，b 2，B45，则 A60或 120.()基础诊断考点突破课堂总结(3)从 A 处望 B 处的仰角为，从 B 处望 A 处的俯角为，则，的关系为 180.()(4)方位
4、角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系，其范围均是0，2.()基础诊断考点突破课堂总结2(2014江西卷)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是a，b，c.若 3a2b，则2sin2Bsin2Asin2A的值为()A.19B.13 C1 D.72基础诊断考点突破课堂总结解析 由正弦定理知，2sin2Bsin2Asin2A2b2a2a22ba21，又知 3a2b，所以ba32，2sin2Bsin2Asin2A2322172，故选 D.答案 D基础诊断考点突破课堂总结3一艘海轮从 A 处出发，以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40的方向直线航行，30 分钟后到达
5、B 处，在 C 处有一座灯塔，海轮在 A 处观察灯塔，其方向是南偏东 70，在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东 65，那么 B，C 两点间的距离是()A10 2海里B10 3海里C20 3海里D20 2海里基础诊断考点突破课堂总结解析 如图所示，易知，在ABC 中，AB20 海里，CAB30，ACB45，根据正弦定理得BCsin 30ABsin 45，解得BC10 2(海里)答案 A基础诊断考点突破课堂总结4(2014福建卷)在ABC 中，A60，AC2，BC 3，则AB 等于_解析 由余弦定理得 BC2AC2AB22ACABcos A，即 34AB22AB，即 AB22AB10.解得 AB1
6、.答案 1基础诊断考点突破课堂总结5(人教 A 必修 5P10B2 改编)在ABC 中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为_解析 由正弦定理，得 sin Acos Asin Bcos B，即 sin 2Asin 2B，所以 2A2B 或 2A2B，即 AB 或 AB2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形答案 等腰三角形或直角三角形基础诊断考点突破课堂总结考点一 正、余弦定理的简单运用 【例 1】在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.(1)若 a2 3，b 6，A45，则 c_.(2)若(abc)(abc)ac，则 B_.基础诊断考点突破课堂总结深度思考 已知两
7、边及其中一边所对的角求另一边可采用正弦定理也可用余弦定理来解决，不妨两种方法你都体验一下吧！解析(1)法一 在ABC 中，由正弦定理得 sin Bbsin Aa6 222 312，因为 ba，所以BA，所以 B30，基础诊断考点突破课堂总结C180AB105，sin Csin 105sin(4560)sin 45cos 60cos 45sin 60 6 24.故 casin Csin A 2 3 6 2422 33.基础诊断考点突破课堂总结法二 在ABC 中，根据余弦定理可得 a2b2c22bccos A，即 c22 3c60，所以 c 33.因为 c0，所以 c 33.(2)因为(abc)(
8、abc)ac，所以 a2c2b2ac.由余弦定理的推论得 cos Ba2c2b22ac12，所以 B23.答案(1)3 3(2)23基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】(1)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，
9、且 2c22a22b2ab，则ABC 是()A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形(2)(2014绍兴模拟)在ABC 中，A60，b1，SABC 3，则abcsin Asin Bsin C_.基础诊断考点突破课堂总结解析(1)由 2c22a22b2ab，得 a2b2c212ab，所以cos Ca2b2c22ab12ab2ab 140，所以 90C180，即ABC 为钝角三角形(2)SABC12bcsin Ac2 32 3，c4，a2b2c22bccos A12422411213，a 13，基础诊断考点突破课堂总结 asin A bsin Bcsin C2R(R 是ABC 的外接圆的半
10、径)abcsin Asin Bsin C2R asin A13sin 602 393.答案(1)A(2)2 393基础诊断考点突破课堂总结考点二 正、余弦定理的综合运用【例 2】(2013重庆卷)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2b2c2 3bc.(1)求 A；(2)设 a 3，S 为ABC 的面积，求 S3cos Bcos C 的最大值，并指出此时 B 的值基础诊断考点突破课堂总结解(1)由余弦定理，得 cos Ab2c2a22bc 3bc2bc 32.又因为 0A，所以 A56.基础诊断考点突破课堂总结(2)由(1)得 sin A12，又由正弦定理及 a 3
11、，得S12bcsin A12asin Bsin A asin C3sin Bsin C，因此，S3cos Bcos C3(sin Bsin Ccos Bcos C)3cos(BC)所以，当 BC，即 BA2 12时，S3cos Bcos C 取最大值 3.基础诊断考点突破课堂总结规律方法 有关三角形面积问题的求解方法：(1)灵活运用正、余弦定理实现边角转化；(2)合理运用三角函数公式，如同角三角函数的基本关系、两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式等基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】(2014重庆卷)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 abc8.(1)若 a2，b
12、52，求 cos C 的值；(2)若 sin Acos2B2sin Bcos2A22sin C，且ABC 的面积 S sin C，求 a 和 b 的值基础诊断考点突破课堂总结解(1)由题意可知 c8(ab)72.由余弦定理得 cos Ca2b2c22ab22522722225215.(2)由 sin Acos2B2sin Bcos2A22sin C 可得：sin A1cos B2sin B1cos A22sin C，基础诊断考点突破课堂总结化简得 sin Asin Acos Bsin Bsin Bcos A4sin C.因为 sin Acos Bcos Asin Bsin(AB)sin C，所
13、以 sin Asin B3sin C.由正弦定理可知 ab3c.又因为 abc8，故 ab6.由于 S12absin C92sin C，所以 ab9，从而 a26a90，解得 a3，b3.基础诊断考点突破课堂总结【训练 3】(2014湖南卷)如图，在平面四边形 ABCD 中，DAAB，DE1，EC 7，EA2，ADC23，BEC3.(1)求 sinCED 的值；(2)求 BE 的长基础诊断考点突破课堂总结解 如题图，设CED.(1)在CDE 中，由余弦定理，得EC2CD2DE22CDDEcosEDC.于是由题设知，7CD21CD，即 CD2CD60.解得 CD2(CD3 舍去)在CDE 中，由
14、正弦定理，得ECsinEDC CDsin，于是，sin CDsin23EC2 327 217，即 sinCED 217.基础诊断考点突破课堂总结(2)由题设知，00，故当1x4 3125时，tan 取得最大值，最大值为5 39.答案 5 39基础诊断考点突破课堂总结思想方法正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形形状的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系一般地，利用公式 a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C(R 为ABC 外接圆半径)，可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数知识进行化简，其中往往用到三角形内角和定理 ABC.利用公式 cos Ab2c2a22bc，cos Ba2c2b22ac，cos Ca2b2c22ab，可将有关三角形中的角的余弦化为边的关系，然后充分利用代数知识求边基础诊断考点突破课堂总结易错防范1在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形有时出现一解、两解，所以要进行分类讨论(此类类型也可利用余弦定理求解)2利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制3解三角形实际问题时注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来而容易出现的错误是把角的含义弄错，把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错.
