1、东莞市2013届高三文科数学模拟试题(一)东莞高级中学刘老师提供参考公式: 锥体的体积公式:.其中是锥体的底面积，是锥体的高.柱体的体积公式:.其中是柱体的底面积，是柱体的高.球的表面积、体积公式:、.其中是球的半径.一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合,则A. B. C. D. 2.已知复数，则A. B. C. D. 3.设 ,向量且 ,则 A B C D4.已知函数的值为 ABCD5.是 的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知圆，圆与圆关于直线对称，则
2、圆的方程为A. B. C. D. 7.已知双曲线，抛物线，若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则A. B. C. D. 8.下图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是A. B. C. D. 甲乙 9.甲、乙两名同学在次体育测试中的成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别为，则下列结论正确的是A. ；乙比甲成绩稳定 B. ；甲比乙成绩稳定 C. ；甲比乙成绩稳定 D. ；乙比甲成绩稳定10.在区间上任意取两个实数，则函数在区间上有且仅有一个零点的概率为A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分）（一）必做题（1113题）11.在
3、等差数列中，若，则_.12.某路口的机动车隔离墩的三视图如右图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸（单位：）可求得隔离墩的体积为 _.13.在同一平面直角坐标系中，已知函数的图象与的图象关于直线对称，则函数对应的曲线在点（）处的切线方程为 （二）选做题：请在14、15题中选做一题,如果两题都做,以第一题的得分为最后得分.14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线（）与圆 交于、两点，则15. (几何证明选讲选做题) 如图所示，圆上一点在直径上的射影为，则线段的长等于 ks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks
4、5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5uks5u三、解答题(共80分)16.(本小题满分12分）向量,已知，且有函数.（1）求函数的周期；（2）已知锐角的三个内角分别为，若有，边,，求的长及的面积.17（本小题满分12分）从某学校高三年级名学生中随机抽取名测量身高，据测量被抽取的学生的身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组第二组；第八组，下图是按上述分组方法得到的条形图. (1)根据已知条件
5、填写下面表格：组 别12345678样本数(2)估计这所学校高三年级名学生中身高在以上（含）的人数；(3)在样本中，若第二组有人为男生，其余为女生，第七组有人为女生，其余为男生，在第二组和第七组中各选一名同学组成实验小组，问：实验小组中恰为一男一女的概率是多少？18（本小题满分14分）如图，、为圆柱的母线，是底面圆的直径，、分别是、的中点，(1)证明：；(2)证明：；(3)求四棱锥与圆柱的体积比.19.（本小题满分14分）已知数列的前项和为，数列是公比为的等比数列， 是和的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.20.（本小题满分14分）已知函数,，其中R.（1）讨论的单调性；
6、（2）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；（3）设函数,当时，若，总有成立，求实数的取值范围21.（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，且椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的上下顶点分别为,是椭圆上异于的任一点,直线分别交轴于点,证明:为定值,并求出该定值；(3)在椭圆上，是否存在点，使得直线与圆相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由. 东莞市2013届高三文科数学模拟试题(一)参考答案 一、选择题（每小题5分，共50分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案CABBABDCDC二、填空题：
7、(每小题5分，共20分)11. 12. 13. 14. 15. 三、解答题：(共80分)16. 解：由得 3分即 5分（1）函数的周期为 6分（2）由得 即 是锐角三角形 8分由正弦定理：及条件,得， 10分又即 解得 11分的面积 12分17.解：(1)由条形图得第七组频率为.第七组的人数为3人 .1分组别12345678样本中人数24101015432 4分(2)由条形图得前五组频率为(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)5=0.82,后三组频率为1-0.82=0.18.估计这所学校高三年级身高在180cm以上(含180cm)的人数8000.18=144(人). 8分 (
8、3)第二组四人记为、，其中a为男生，b、c、d为女生，第七组三人记为1、2、3，其中1、2为男生，3为女生，基本事件列表如下：abcd11a1b1c1d22a2b2c2d33a3b3c3d所以基本事件有12个,恰为一男一女的事件有1b，1c，1d，2b，2c，2d，3a共7个,因此实验小组中，恰为一男一女的概率是 12分18.（1）证明：连结，.分别为的中点，. 又，且.四边形是平行四边形，即. . 4分(2) 证明：、为圆柱的母线，所以且，即，又是底面圆的直径，所以，所以由，所以，所以9分（3）解：由题，且由（1）知.， ，. 因是底面圆的直径，得，且，即为四棱锥的高设圆柱高为，底半径为，则
9、，：. 14分19（1）解：是公比为的等比数列，. 1分. 从而，. 3分是和的等比中项，解得或. 4分当时，不是等比数列， 5分. 6分当时，. 7分符合， . 8分（2）解：， . 9分 . 10分得 11分 12分 . 13分 . 14分20.解：（1）的定义域为，且， 1分当时，在上单调递增； 2分当时，由，得；由，得；故在上单调递减，在上单调递增. 4分（2），的定义域为 5分因为在其定义域内为增函数，所以，而，当且仅当时取等号，所以 8分（3）当时，由得或当时，；当时，.所以在上， 10分而“，总有成立”等价于“在上的最大值不小于在上的最大值”而在上的最大值为所以有 12分所以实数的取值范围是 14分 21.（本小题满分14分）解：（1）由题意：，解得： 3分所以椭圆 4分 (2) 由（1）可知,设, 直线:,令,得; 5分直线:,令,得; 6分则, 7分而,所以,所以 8分(3)假设存在点满足题意，则，即设圆心到直线的距离为，则，且 9分所以 10分所以 11分因为，所以，所以所以 12分当且仅当，即时，取得最大值由，解得 13分所以存在点满足题意，点的坐标为此时的面积为 14分