1、第 30 课_正余弦定理及其简单应用_1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2.能运用正余弦定理解决三角形中的有关问题.1.阅读：必修 5 第 517 页2.解悟：正余弦定理的内容是什么？三角形的面积公式是什么？你会证明吗？正余弦定理可以解决哪些类型的斜三角形；第 10 页例 5 中所证明的结论是一个什么定理？你会证明吗？你会使用吗？重解第 16 页例 5 和例 6，体会方法和规范3.践习：在教材空白处，完成第 10 页练习第 4、5 题；第 15 页练习第 3、4、5 题；第 16页练习第 1、2、3 题；第 17 页习题第 5、6、10 题.基础诊断 1.在ABC 中
2、，若 b2，A3，B4，则 BC_ 6_解析：因为 b2，A3，B4，所以由正弦定理得 BCbsinAsinB 2 3222 6.2.在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a2b2c2bc，bc4，则ABC 的面积为_ 3_解析：因为 a2b2c2bc，所以 cosA12，A3.又 bc4，所以ABC 的面积为12bcsinA 3.3.在ABC 中，已知 A6，c 3a，则ABC 的形状是_等腰三角形或直角三角形_解析：A6，c 3a，所以 sinC 3sinA 32.因为 0C，所以 C3或23.当 C3时，ABC 为直角三角形，当 C23 时，ABC 为等腰三角形
3、4.在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 csinAacosC，则角 C_4_解析：由正弦定理可得 asinA csinC，所以 sinCsinAsinAcosC.又因为 A(0，)，所以sinA0，所以 sinCcosC，即 tanC1.因为 C(0，)，所以 C4.范例导航 考向 直接用正、余弦定理解三角形例 1 在平面四边形 ABCD 中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求 cosADB；(2)若 DC2 2，求 BC.解析：(1)在ABD 中，由正弦定理得 BDsinAABsinADB.由题设知5sin452sinADB，所以 sinADB 25.
4、由题设知 0ADB90，所以 cosADB1 225 235.(2)由题设及(1)知，cosBDCsinADB 25.在BCD 中，由余弦定理得 BC2BD2DC22BDDCcosBDC 258252 2 25 25，所以 BC5.在ABC 中，a7，b8，cosB17.(1)求角 A 的大小；(2)求 AC 边上的高解析：(1)在ABC 中，因为 cosB17，所以 B2，所以 sinB 1cos2B4 37.由正弦定理得 asinA bsinB，即 7sinA 84 37，所以 sinA 32.因为 B2，所以 A0，2，所以 A3.(2)在ABC 中，sinCsin(AB)sinAcos
5、BsinBcosA 32 17 124 37 3 314.如图所示，在ABC 中，因为 sinC hBC，所以 hBCsinC73 314 3 32，所以 AC 边上的高为3 32.【注】本例主要训练解三角形时，已知两边及其一边所对的角时用正弦定理；已知两边及其夹角时用余弦定理.另外，注意互余的两个角的正余弦关系.考向 边角互化例 2 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，bsinC2csinBcosA0.(1)求 A 大小；(2)若 a2 3，c2，求ABC 面积 S 的大小解析：(1)方法一(边化角)：由 bsinC2csinBcosA0 得 sinBsinC2sinC
6、sinBcosA0.因为 B，C(0，)，所以 sinB0，sinC0，所以 cosA12.又 A(0，)，所以 A23.方法二(角化边)：由 bsinC2csinBcosA0 得 bc2bcb2c2a22bc0，所以 bcb2c2a20，所以 cosA12.又 A(0，)，所以 A23.(2)由余弦定理得 cosAb2c2a22bc，即12b24124b，解得 b2 或 b4(舍去)，所以 SABC12bcsinA1222sin23 3.在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 bcosAacosB2c.(1)证明：tanB3tanA；(2)若 b2c2a2 3bc，且A
7、BC 的面积为 3，求 a 的值解析：(1)根据正弦定理，由已知得：sinBcosAcosBsinA2sinC2sin(AB)，展开得 sinBcosAcosBsinA2(sinBcosAcosBsinA)，整理得 sinBcosA3cosBsinA，由题意知 cosB0，cosA0，所以 tanB3tanA.(2)由已知得 b2c2a2 3bc，所以 cosAb2c2a22bc 3bc2bc 32，由 0A 得 A6，所以 tanA 33.由(1)知 tanB 3.由 0B 得 B23，所以 C6，故该三角形是顶角为23 的等腰三角形，且 ac.由 S12acsin23 12 32 a2 3
8、得 a2.【注】本例主要用于训练条件中既有边又有角时，统一角(边)，可采用角化边或边化角思想.另外，条件中有切有弦时用切化弦的思想.在化简式子过程中约去一个式子(数)，根据角的范围来确定式子(数)是否为零考向 含角平分线或中线的边角求解 例 3 在ABC 中，D 是 BC 上的点，AD 平分BAC，BD2DC.(1)求sinBsinC；(2)若BAC60，求角 B 的大小解析：(1)由正弦定理得 ADsinBBDsinBAD，ADsinCCDsinCAD.因为 AD 平分BAC，BD2DC，所以sinBsinCDCBD12.(2)因为 C(BACB)，BAC3，所以 sinCsin(BACB)
9、32 cosB12sinB.由(1)知 2sinBsinC，所以 tanB 33.因为 0B0)，所以 cosCa2b2c22ab4k29k216k212k214，即最大角的余弦值为14.2.在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a3，C120，ABC 的面积 S15 34，则 c_7_解析：因为 a3，C120，ABC 的面积 S15 34，所以15 3412absinC123bsin120，解得 b5.由余弦定理可得 c2a2b22abcosC92521512 49，则 c7.3.已知在ABC 中，AB 3，BC1，A30，则 AC_1 或 2_解析：因为在ABC
10、中，AB 3，BC1，A30，由余弦定理可得 BC2AB2AC22ABACcosA，即 AC23AC20 解得 AC1 或 2.4.在ABC 中，已知 a2tanBb2tanA，则ABC 的形状是_等腰三角形或直角三角形_解析：因为 a2tanBb2tanA，所以 a2 sinBcosBb2sinAcosA，由正弦定理可得 sin2A sinBcosBsin2B sinAcosA.又因为 A，B(0，)，所以 sinAsinB0，所以sinAcosBsinBcosA，即 sinAcosAsinBcosB，即 sin2Asin2B，因为 A，B(0，)，所以 2A2B 或 2A2B，即 AB 或 AB2，所以ABC 为等腰三角形或直角三角形1.已知三角形的三边或两边和它们的夹角，适合用余弦定理求解，同时要注意方程思想的运用若已知条件中涉及边的平方关系或角的余弦，通常也用余弦定理2.正弦定理一般解决两类问题：已知两角和任一边，求解三角形；已知两边及其中一边的对角，求解三角形第类问题也可以用余弦定理解用正弦定理解，需注意对解的情况的讨论3.解三角形时要合理地进行边角互化，若已知条件中有边、角混合的式子，通常要化异为同，体会等价转化的数学思想4.你还有哪些体悟，写下来：