1、11.2 瞬时变化率导数学习目标1理解导数的概念和定义及导数的几何意义 2理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度)课前自主学案 1函数f(x)在区间x1，x2上的平均变化率为_.2平均变化率的几何意义是：曲线上割线的_;物理意义是运动在某段时间内的_温固夯基 fx2fx1x2x1斜率平均速度1割线逼近切线的方法 设Q为曲线C上不同于P的一点，这时直线PQ称为曲线的_随着点Q沿曲线C向P点运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C.当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终成为经过点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的_知新益能 割线切线2用割线逼近切线的方法计算曲线上某点处切线的斜率 设
2、曲线C上一点P(x，f(x)，过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(xx，f(xx)，则割线PQ的斜率为 kPQ_.当点Q沿曲线C向点P运动，并无限靠近点P时，割线PQ逼近过点P的切线l，从而割线的斜率逼近过fxxfxxxxfxxfxx点P的切线l的斜率，即当x无限趋近于0时，_无限趋近于点P(x，f(x)处的切线的斜率fxxfxx3瞬时速度与瞬时加速度(1)一般地，我们计算运动物体位移 s(t)的平均变化率st0tst0t，如果当 t 无限趋近于 0 时，st0tst0t无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在 tt0 时的_(2)一般地，我们计算运动物体速度的平均变化率vt0tvt0t，如
3、果当 t 无限趋近于 0 时，vt0tvt0t无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在 tt0 时的_瞬时速度瞬时加速度4导数的概念(1)定义：设函数 yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，若 x 无限趋近于 0 时，比值yxfx0 xfx0 x无限趋近于一个常数 A，则称 f(x)在 xx0 处_，并称该常数 A 为 f(x)在 xx0 处的_，记作_可导导数f(x0)(2)几何意义：导数_的几何意义就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的_ 5若函数f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数
4、，该函数称为f(x)的_，也简称_，记作_f(x0)斜率导函数导数f(x)1“x无限趋近于0”的含义是什么？提示：x趋于0的距离要多近有多近，即|x0|可以小于给定的任意小的正数，且始终x0.问题探究 2函数yf(x)在xx0处的导数值是x0时的平均变化率吗？提示：不是yf(x)在 xx0 处的导数值是 x 趋近于 0 时，平均变化率yx无限接近的一个常数值，而不是 x0 时的值，实际上，在平均变化率的表达式yx中，x0.3f(x0)与f(x)的区别是什么？提示：f(x0)是数值，f(x)是函数课堂互动讲练 求瞬时速度 考点突破 瞬时速度是平均速度在t0时的极限值，为此要求瞬时速度应先求平均速
5、度以初速度 v0(v00)垂直上抛的物体，t 秒时的高度为 s(t)v0t12gt2，求物体在 t0 时刻的瞬时速度例1【思路点拨】先求出 s，再用定义求st，当 t无限趋近于 0 时，st无限趋近的常数即为 t0 时刻的瞬时速度【解】sv0(t0t)12g(t0t)2(v0t012gt20)(v0gt0)t12g(t)2，stv0gt012gt，当 t 无限趋近于 0 时，st无限趋近于 v0gt0，故物体在时刻 t0 的瞬时速度为 v0gt0.【名师点评】求瞬时速度关键在于正确表示“位移的增量与时间增量的比值”，然后令时间的增量t无限趋近于0即可 变式训练1 有一做直线运动的物体，其位移s
6、与时间t的关系是s3tt2，求此物体在t2时的瞬时速度解：s3(2t)(2t)2(3222)t(t)2，st1t，t0 时，st1，此物体在 t2 时的瞬时速度为1.求函数在xx0处的导数 确定函数yf(x)在xx0处的导数一般有两种方法：一是应用导数定义法；二是导函数的函数值法求函数 y x 在 x1 处的导数例2【思路点拨】法一：确定函数增量 y平均变化率yx令 x0 得所求导数法二：函数定义 导函数导函数的函数值所求导数【解】法一：y 1x1，yx 1x1x11x1.当 x0 时，yx11x1 12，即 y|x112.法二：y xx x，yx xx xx1xx x.【名师点评】由导数的定
7、义求导数是函数求导的基本方法当 x0 时，yx1xx x 12 x，即 y|x112 112.解：法一：y(1x)11x(111)xx1x，yxx x1xx111x.当 x 0 时，yx2，f(1)2，变式训练 2 求函数 yx1x在 x1 处的导数即函数 yx1x在 x1 处的导数为 2.法二:y(xx)1xxx1x xxxxx,yxxxxxxx11xxx.当 x0 时，yx1 1x2，f(x)1 1x2，f(1)112.函数f(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在xx0处切线的斜率，故该曲线在xx0处的切线方程yf(x0)f(x0)(xx0)导数的几何意义的应用(本题
8、满分 14 分)已知曲线 yx1x上一点A(2，52)，用斜率定义求：(1)点 A 处的切线的斜率；(2)点 A 处的切线方程例3【思路点拨】根据导数的几何意义求出切线的斜率，然后利用点斜式即可写出切线方程【规范解答】(1)yf(2x)f(2)2x12x(212)x22xx，4 分yxx2x2xxx142x1，当 x 无限趋近于 0 时，yx无限趋近于34.点 A 处的切线的斜率为34.8 分(2)由(1)得切线方程为 y5234(x2)，即 3x4y40.14 分【名师点评】求曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程，关键是求切线的斜率，而求斜率实际上是求函数f(x)在x0处的导数f
9、(x0)变式训练3 在曲线yx2上哪一点处的切线：(1)平行于直线y4x5；(2)垂直于直线2x6y50；(3)与x轴成135的倾斜角解：设 P(x0，y0)为切点，则 y(x0 x)2x20(x)22x0 x，所以yxx2x0，所以 x0 时，yx2x0，即 k2x0.(1)因为切线与直线 y4x5 平行，所以 2x04，x02，y04，即 P(2,4)(2)因为切线与直线 2x6y50 垂直，所以 2x0131，得 x032，y094，即 P32，94.(3)因为切线与 x 轴成 135的倾斜角，所以其斜率为1，即 2x01，得 x012，y014，即 P12，14.方法感悟 1利用导数的定义求函数在一点处的导数的方法第一步：求函数的增量 yf(x0 x)f(x0)；第二步：求平均变化率yxfx0 xfx0 x；第三步：当 x 无限趋近于 0 时，yx无限趋近于常数 A，则 f(x0)A.2求曲线的切线时需要注意：(1)在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线(只有当此点在曲线上时，此点处的切线的斜率才是f(x0)，还是过某点的切线；(2)求过某一点的切线方程时也是通过切点坐标来求
