1、基础诊断考点突破课堂总结第4讲 三角函数的图象与性质基础诊断考点突破课堂总结最新考纲 1.能画出 ysin x，ycos x，ytan x 的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间0,2上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴的交点等)，理解正切函数在区间2，2 内的单调性基础诊断考点突破课堂总结知 识 梳 理1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数 ysin x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,0)，2，1，(，0)，32，1 ，(2，0)(2)余弦函数 ycos x，x0,2的图象中，五个关键点是：(0,1)，2，0，32，0，(2，1)(，1
2、)基础诊断考点突破课堂总结2正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kZ)函数ysin xycos xytan x图象基础诊断考点突破课堂总结定义域RRxxR，且x,k2，kZ值域R周期性2奇偶性奇函数1,11,12奇函数偶函数基础诊断考点突破课堂总结递增区间2k2，2k22k，2kk2，k2递减区间2k2，2k322k，2k无对称中心(k，0)k2，0k2，0对称轴方程xk2xk无基础诊断考点突破课堂总结诊 断 自 测1思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)由 sin(30120)sin 30知，120是正弦函数 ysin x(xR)的一个周期()(2)ysin x 在 x0，2 上是增函数
3、()基础诊断考点突破课堂总结(3)ycos x在第一、二象限上是减函数()(4)ytan x在整个定义域上是增函数()基础诊断考点突破课堂总结2(2014陕西卷)函数 f(x)cos2x4 的最小正周期是()A.2B C2 D4解析 最小正周期 T22.答案 B基础诊断考点突破课堂总结3函数 f(x)sinx4 的图象的一条对称轴是()Ax4Bx2Cx4Dx2基础诊断考点突破课堂总结解析 正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，故令 x4k2，kZ，xk34，kZ.取 k1，则 x4.答案 C基础诊断考点突破课堂总结4(2015嘉兴测试)函数 f(x)sin(2x4)在区间0，2 上的最小
4、值为()A1 B 22C.22 D0解析 由已知 x 0，2，得 2x44，34，所以sin2x4 22，1，故函数 f(x)sin2x4 在区间0，2上的最小值为 22.答案 B基础诊断考点突破课堂总结5(人教 A 必修 4P47B2 改编)函数 ytan(2x34)的单调递减区间为_解析 因为 ytan x 的单调递增区间为 2k，2k(kZ)，所以由2k2x34 2k(kZ)，得8k2 x58 k2(kZ)，基础诊断考点突破课堂总结所以 ytan2x34 的单调递减区间为8k2，58 k2(kZ)答案 8k2，58 k2(kZ)基础诊断考点突破课堂总结考点一 三角函数的定义域、值域 【例
5、 1】(1)函数 y1tan x1的定义域为_(2)函数 y2sinx6 3(0 x9)的最大值与最小值之和为()A2 3B0C1 D1 3基础诊断考点突破课堂总结 解析(1)要使函数有意义，必须有tan x10，x2k，kZ，即x4k，kZ，x2k，kZ.故函数的定义域为x|x4k 且 x2k，kZ基础诊断考点突破课堂总结(2)0 x9，36x376，sin6x3 32，1.y 3，2，ymaxymin2 3.答案(1)x|x4k 且 x2k，kZ(2)A基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解(2)求解三角函数
6、的值域(最值)常见到以下几种类型：形如 yasin xbcos xc 的三角函数化为 yAsin(x)k 的形式，再求最值(值域)；形如 yasin2xbsin xc 的三角函数，可先设 sin xt，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)；形如 yasin xcos xb(sin xcos x)c 的三角函数，可先设 tsin xcos x，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)基础诊断考点突破课堂总结【训练 1】(1)函数 y sin xcos x的定义域为_(2)函数 ysin xcos xsin xcos x 的值域为_解析(1)法一 要使函数有意义，必须使 sin xcos x0.利
7、用图象，在同一坐标系中画出0,2上 ysin x 和 ycos x的图象，如图所示基础诊断考点突破课堂总结在0,2内，满足 sin xcos x 的 x 为4，54，再结合正弦、余弦函数的周期是 2，所以原函数的定义域为x2k4x2k54，kZ.基础诊断考点突破课堂总结法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)定义域为x2k4x2k54，kZ.基础诊断考点突破课堂总结法三 sin xcos x 2sinx4 0，将 x4视为一个整体，由正弦函数 ysin x 的图象和性质可知 2kx42k，kZ，解得 2k4x2k54，kZ.所以定义域为x2k4x2k54，kZ.基础诊断
8、考点突破课堂总结(2)设 tsin xcos x，则 t2sin2xcos2x2sin xcos x，sin xcos x1t22，且 2t 2.yt22t1212(t1)21.当 t1 时，ymax1；当 t 2时，ymin12 2.函数的值域为12 2，1.基础诊断考点突破课堂总结答案(1)x2k4x2k54，kZ(2)12 2，1基础诊断考点突破课堂总结考点二 三角函数的奇偶性、周期性、对称性 【例 2】(1)已知 0,0，直线 x4和 x54 是函数 f(x)sin(x)的图象的两条相邻的对称轴，则()A.4 B.3 C.2 D.34基础诊断考点突破课堂总结(2)函数 y2cos2x4
9、 1 是()A最小正周期为 的奇函数B最小正周期为 的偶函数C最小正周期为2的奇函数D最小正周期为2的偶函数基础诊断考点突破课堂总结解析(1)2254 4，即 1，f(x)sin(x)，f4 sin4 1.0，4454，42，4.基础诊断考点突破课堂总结(2)y2cos2x4 1cos2x2 sin 2x 为奇函数，最小正周期 T22.答案(1)A(2)A基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)求 f(x)Asin(x)(0)的对称轴，只需令 x2k(kZ)，求 x；求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令xk(kZ)即可(2)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为 yAsin(x)或 yAcos
10、(x)的形式，则最小正周期为 T2|；奇偶性的判断关键是解析式是否为 yAsin x或 yAcos xb 的形式基础诊断考点突破课堂总结【训练 2】(1)如果函数 y3cos(2x)的图象关于点43，0 中心对称，那么|的最小值为()A.6 B.4C.3D.2(2)(2014杭州模拟)若函数 f(x)sin x3(0,2)是偶函数，则()A.2B.23C.32 D.53基础诊断考点突破课堂总结解析(1)由题意得 3cos243 3cos23 23cos23 0，23 k2，kZ，k6，kZ，取 k0，得|的最小值为6.(2)由已知 f(x)sin x3 是偶函数，可得3k2，即 3k32(kZ
11、)，又 0,2，所以 32.答案(1)A(2)C基础诊断考点突破课堂总结考点三 三角函数的单调性 【例 3】(1)已知 f(x)2sinx4，x0，则 f(x)的单调递增区间为_.(2)(2015温州联考)已知 0，函数 f(x)sinx4 在2，上单调递减，则 的取值范围是()A.12，54B.12，34C.0，12D(0,2基础诊断考点突破课堂总结解析(1)由22kx422k，kZ，得34 2kx42k，kZ.又 x0，所以 f(x)的单调递增区间为0，4.(2)由2x 得24x44，由题意知24，4 2，32，基础诊断考点突破课堂总结 242，432，1254，故选 A.答案(1)0，4
12、 (2)A基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成 yAsin(x)形式，再求 yAsin(x)的单调区间，只需把x看作一个整体代入ysin x的相应单调区间内即可，注意要先把 化为正数(2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数 的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷基础诊断考点突破课堂总结【训练 3】(1)(2015宁波调研)已知 f(x)sin2 xsin xcos x，则f(x)的最小正周期和一个单调增区间分别
13、为()A，0，B2，4，34C，8，38D2，4，4基础诊断考点突破课堂总结(2)(2015杭州外国语学校模拟)设 0，m0，若函数 f(x)msin x2 cosx2 在区间3，3 上单调递增，则 的取值范围是()A.0，23B.0，32C.32，D1，)基础诊断考点突破课堂总结解析(1)由 f(x)sin2xsin xcos x1cos 2x212sin 2x12 22 22 sin 2x 22 cos 2x 12 22 sin2x4.T22.又2k22x42k2，k8xk38(kZ)为函数的单调递增区间故选 C.基础诊断考点突破课堂总结(2)f(x)msin x2 cos x2 12ms
14、in x，若函数在区间3，3 上单调递增，则T23323，即 0，32.答案(1)C(2)B基础诊断考点突破课堂总结【训练 4】(2012北京卷)已知函数 f(x)sin xcos xsin 2xsin x.(1)求 f(x)的定义域及最小正周期；(2)求 f(x)的单调递减区间解(1)由 sin x0，得 xk(kZ)，故 f(x)的定义域为x|xR，且 xk，kZ，因为 f(x)sin xcos xsin 2xsin x2cos x(sin xcos x)sin 2xcos 2x1 2sin2x4 1，所以 f(x)的最小正周期 T22.基础诊断考点突破课堂总结(2)将 2x4看做一个整体
15、，根据 ysin x 的单调递减区间列不等式求解函数 ysin x 的单调递减区间为 2k2，2k32(kZ)由 2k22x42k32，且 xk(kZ)，得 k38 xk78(kZ)所以 f(x)的单调递减区间为k38，k78(kZ).基础诊断考点突破课堂总结思想方法1讨论三角函数性质，应先把函数式化成 yAsin(x)(0)的形式2函数 yAsin(x)和 yAcos(x)的最小正周期为2|，ytan(x)的最小正周期为|.3对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令 tx，将其转化为研究 ysin t的性质基础诊断考点突破课堂总结易错防范1闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响2要注意求函数yAsin(x)的单调区间时A和的符号，尽量化成0时情况，避免出现增减区间的混淆.