1、第三讲导数及应用一、选择题1设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)图象如下图所示，则导函数yf(x)的图象可能为 ()答案：D2(2009江西)设函数f(x)g(x)x2，曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为 () A4 B C2 D解析：依题意得f(x)g(x)2x，f(1)g(1)24.答案：A3(2010江西)等比数列an中，a12，a84，函数f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，则f(0) ()A26 B29 C212 D215解析：函数f(x)的展开式含x项的系数为a1a2a8(a1a8)484212，而f(
2、0)a1a2a8212，故选C.答案：C4若f(x)x2bln (x2)在(1，)上是减函数，则b的取值范围是 ()A1，) B(1，)C(，1 D(，1)解析：由题意知f(x)x0，x(1，)，即f(x)0，即x22xb(x1)21b0.1b0，b1.答案：C5(2010天津理)设函数f(x)xln x(x0)，则方程f(x)0 ()A在区间，(1，e)内均有实根B在区间，(1，e)内均无实根C在区间内有实根，在区间(1，e)内无实根D在区间内无实根，在区间(1，e)内有实根解析：因为f(x)，令f(x)0，则x3.当x(0,3)时，f(x)0，因此f(x)在内无零点又f(1)f(e)0)(
3、1)当a1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0,1上的最大值为，求a的值解：函数f(x)的定义域为(0,2)，f(x)a.(1)当a1时，f(x)，所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)(2)当x(0,1时f(x)a0，即f(x)在(0,1上单调递增，故f(x)在(0,1上的最大值为f(1)a，因此a.11(2010课标全国)设函数f(x)ex1xax2.(1)若a0，求f(x)的单调区间；(2)若当x0时f(x)0，求a的取值范围解：(1)a0时，f(x)ex1x，f(x)ex1，当x(，0)时，f(x)0.故f(x)在(，0)单调减少，在(0，)单调增加(
4、2)f(x)ex12ax.由(1)知ex1x，当且仅当x0时等号成立故f(x)x2ax(12a)x，从而当12a0，即a时，f(x)0(x0)，而f(0)0，于是当x0时，f(x)0.由ex1x(x0)可得ex1x(x0)从而当a时，f(x)ex12a(ex1)ex(ex1) (ex2a)，故当x(0，ln 2a)时，f(x)0，而f(0)0，于是当x(0，ln 2a)时，f(x)0，b0，证明：.解：(1)f(x)，g(x)(x0)，由已知得解得a，xe2，两条曲线交点的坐标为(e2，e)切线的斜率为kf(e2)，切线的方程为ye(xe2)(2)由条件知h(x)aln x(x0)，h(x)，(i)当a0时，令h(x)0，解得x4a2，当0x4a2时，h(x)4a2时， h(x)0，h(x)在(4a2，)上递增x4a2是h(x)在(0，)上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点最小值(a)h(4a2)2aaln 4a22a(1ln 2a)(ii)当a0时，h(x)0，h(x)在(0，)上递增，无最小值故h(x)的最小值(a)的解析式为(a)2a(1ln 2a)(a0)(3)证明：由(2)知(a)2ln 2a，对任意的a0，b0，ln (4ab)，2lnln(ab)2ln (4ab)，2ln2ln ln (4ab)，故由得.
