1、第7讲 三角函数模型与解三角形的实际应用举例1y2sin的振幅、频率和初相分别为_解析 由振幅、频率和初相的定义可知，函数y2sin的振幅为2，周期为，频率为，初相为.答案 2，2海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10海里，BAC60，ABC75，则B，C间的距离是_海里解析 由正弦定理，知，解得BC5海里答案 53某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数yaAcos(x1，2，3，12，A0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ，12月份的月平均气温最低，为18 ，则10月份的月平均气温为_.解析 由题意得所以所以y235cos ，当x10时，y2352
2、0.5.答案 20.54一个大型喷水池的中央有一个强大的喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水柱的高度是_m.解析 设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，A60，ACh，AB100，BCh，根据余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.答案 505电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数IAsin(t)的图象如图所示，则当t秒时，电流强度是_安解析 由题
3、图知A10，所以100.所以I10sin(100t)因为为五点中的第二个点，所以100.所以.所以I10sin，当t秒时，I5安答案 56.如图所示，已知树顶A离地面m，树上另一点B离地面m，某人在离地面m的C处看此树，则该人离此树_m时，看A，B的视角最大解析 如图，过C作CFAB于点F，设ACB，BCF，由已知AB5(m)，BF4(m)，AF9(m)，则tan()，tan ，所以tan tan()，当且仅当FC，即FC6时，tan 取得最大值，此时取最大值答案 67江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连
4、线成30角，则两条船相距_m.解析 如图，OMAOtan 4530(m)，ONAOtan 303010(m)，在MON中，由余弦定理得，MN 10(m)答案 108如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15，经过420 s后看山顶的俯角为45，则山顶的海拔高度为_m(取1.4，1.7)解析 如图，作CD垂直于AB的延长线于点D，由题意知A15，DBC45，所以ACB30，AB5042021 000(m)又在ABC中，所以BCsin 1510 500()因为CDAD，所以CDBCsin DBC10 5
5、00()10 500(1)7 350.故山顶的海拔高度h10 0007 3502 650(m)答案 2 6509.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿DC走到C用了3分钟若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为_米解析 连结OC，在OCD中，OD100，CD150，CDO60.由余弦定理得OC2100215022100150cos 6017 500，解得OC50.答案 5010以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基
6、础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m件，且当月售完，则估计_月份盈利最大解析 由条件可得：出厂价格函数为y12sin6，销售价格函数为y22sin8，则利润函数为：ym(y2y1)mm，所以，当x6时，ymax(22)m，即6月份盈利最大答案 611.已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一个发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM100 米和BN200 米，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得
7、发射塔顶A的仰角为30，该测量车向北偏西60方向行驶了100米后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为，且BQA，经测量tan 2，求两发射塔顶A，B之间的距离解 在RtAMP中，APM30，AM100，所以PM100，连结QM，在PQM中，QPM60，又PQ100，所以PQM为等边三角形，所以QM100.在RtAMQ中，由AQ2AM2QM2，得AQ200.在RtBNQ中，tan 2，BN200，所以BQ100，cos .在BQA中，BA2BQ2AQ22BQAQcos (100)2，所以BA100.即两发射塔顶A，B之间的距离是100米12.某市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲
8、在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为ABC、ABD，经测量ADBD7米，BC5米，AC8米，CD.(1)求AB的长度；(2)若环境标志的底座每平方米造价为5 000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由)，最低造价为多少？(1.414，1.732)解 (1)在ABC中，由余弦定理得cos C，在ABD中，由余弦定理得cos D，由CD得cos Ccos D.解得AB7，所以AB的长度为7米(2)小李的设计使建造费用最低理由如下：易知SABDADBDsin D，SABCACBCsin C，因为ADBDACBC，且CD，所以SABDSABC.故选择ABC的形状建造环境标志费用较低因为ADBDAB7，所以ABD是等边三角形，D60，所以C60，故SABCACBCsin C10，故所求的最低造价为5 0001050 00086 600元5
