1、学业分层测评(十七)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.函数f(x)sin x，x(0，)的极大值是()A.B.C.D.1【解析】f(x)cos x，x(0，)，由f(x)0得cos x，x，且x时，f(x)0；x时，f(x)0，x时，f(x)有极大值f.【答案】C2.已知函数f(x)2x3ax236x24在x2处有极值，则该函数的一个递增区间是()A.(2,3)B.(3，)C.(2，)D.(，3)【解析】因为函数f(x)2x3ax236x24在x2处有极值，所以有f(2)0，而f(x)6x22ax36，代入得a15.现令f(x)0，解得x3或x2，所以函数的一个递增区间是(3，).【
2、答案】B3.设函数f(x)xex，则()A.x1为f(x)的极大值点B.x1为f(x)的极小值点C.x1为f(x)的极大值点D.x1为f(x)的极小值点【解析】f(x)xex，f(x)exxexex(1x).当f(x)0时，即ex(1x)0，即x1，x1时，函数f(x)为增函数.同理可求，x1时，函数f(x)为减函数.x1时，函数f(x)取得极小值.【答案】D4.函数f(x)ax3ax2x3有极值的充要条件是()A.a1或a0B.a1C.0a1D.a1或a0【解析】f(x)有极值的充要条件是f(x)ax22ax10有两个不相等的实根，即4a24a0，解得a0或a1.故选D.【答案】D5.已知a
3、R，且函数yexax(xR)有大于零的极值点，则()A.a1C.a【解析】因为yexax，所以yexa.令y0，即exa0，则exa，即xln(a)，又因为x0，所以a1，即a1.【答案】A二、填空题6.若函数yx36x2m的极大值为13，则实数m等于_. 【导学号：97792106】【解析】y3x212x3x(x4).由y0，得x0或4.且x(，0)(4，)时，y0.x4时函数取到极大值.故6496m13，解得m19.【答案】197.函数f(x)aln xbx23x的极值点为x11，x22，则a_，b_. 【导学号：97792107】【解析】f(x)2bx3，函数的极值点为x11，x22，x
4、11，x22是方程f(x)0的两根，也即2bx23xa0的两根.由根与系数的关系知解得【答案】28.已知函数f(x)ax3bx2c，其导数f(x)的图象如图338所示，则函数的极小值是_.图338【解析】由图象可知，当x0时，f(x)0，当0x0，故x0时，函数f(x)取到极小值f(0)c.【答案】c三、解答题9.设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR，求f(x)的单调区间与极值.【解】由f(x)ex2x2a，xR，知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)2(1ln 2a
5、)故f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，).所以f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a).10.已知f(x)x3bx2cx2.(1)若f(x)在x1时有极值1，求b，c的值；(2)在(1)的条件下，若函数yf(x)的图象与函数yk的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围. 【导学号：97792108】【解】(1)因为f(x)x3bx2cx2，所以f(x)3x22bxc.由已知，得f(1)0，f(1)1，所以解得b1，c5.经验证，b1，c5符合题意.(2)由(1)知f(x)x3x25x2，f(x)3x2
6、2x5.由f(x)0，得x1，x21.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1，)f(x)00f(x)1根据上表，当x时，函数取得极大值且极大值为f；当x1时，函数取得极小值且极小值为f(1)1.根据题意结合上图可知，k的取值范围为.能力提升1.设函数f(x)的定义域为R，x0(x00)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A.xR，f(x)f(x0)B.x0是f(x)的极小值点C.x0是f(x)的极小值点D.x0是f(x)的极小值点【解析】不妨取函数为f(x)x33x，则f(x)3(x1)(x1)，易判断x01为f(x)的极大值点，但显然f(x0)不是最大值，故排除A
7、；因为f(x)x33x，f(x)3(x1)(x1)，易知x01为f(x)的极大值点，故排除B；又f(x)x33x，f(x)3(x1)(x1)，易知x01为f(x)的极大值点，故排除C；f(x)的图象与f(x)的图象关于原点对称，由函数图象的对称性，可得x0应为函数f(x)的极小值点.故D正确.【答案】D2.设函数f(x)ax2bxc(a，b，cR).若x1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为yf(x)图象的是()【解析】因为f(x)exf(x)exf(x)(ex)f(x)f(x)ex，且x1为函数f(x)ex的一个极值点，所以f(1)f(1)0，选项D中，f(1)0，f(1)0，
8、故不满足.【答案】D3.已知函数f(x)x33ax23bxc在x2处有极值，其图象在x1处的切线平行于直线6x2y50，则极大值与极小值之差为_. 【导学号：97792109】【解析】f(x)3x26ax3b，f(x)3x26x，令3x26x0，得x0或x2，f(x)极大值f(x)极小值f(0)f(2)4.【答案】44.若函数f(x)2x36xk在R上只有一个零点，求常数k的取值范围.【解】f(x)2x36xk，则f(x)6x26，令f(x)0，得x1或x1，可知f(x)在(1,1)上是减函数，f(x)在(，1)和(1，)上是增函数，f(x)的极大值为f(1)4k，f(x)的极小值为f(1)4k.要使函数f(x)只有一个零点，只需4k0或4k0(如图所示)，即k4或k4.k的取值范围是(，4)(4，).
