1、中山市高三级20132014学年度第一学期期末统一考试数学试卷（文科）本试卷共4页，20小题，满分150分考试用时120分钟注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上.3、不可以使用计算器.4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设复数，则在复平面内对应的点在( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2设全集是实数集,则（
2、） AB CD【答案】A【解析】试题分析：或,则，故选A.考点：1.一元二次不等式；2.集合的运算.3已知平面向量，若，则等于( )ABCD4已知数列为等差数列，若，则( )A36B42C45D635在某次测量中得到的样本数据如下:82, 84, 84, 86, 86, 86, 88, 88, 88, 88.若样本数据恰好是样本数据都加2后所得数据,则,两样本的下列数字特征对应相同的是（ ）A众数B平均数C中位数D标准差6如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，后，就可以计算出A、B两点的距离为（ ）A. B CD7如图，定义某种运算，运
3、算原理如右图所示，则式子的值为（ ）A11 B13C8D4【答案】C【解析】试题分析：根据算法程序框图可知该算法是一个分段函数，根据新定义的运算故原式=2（1+1）+2（3-1）=8故答案为C.考点：1.框图的运用;2.对数、三角函数运算.8若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则该棱柱的体积为（ ） ABCD69已知函数满足，且时，则当时，与的图象的交点个数为( )A11B10C9 D8【答案】C10对、，运算“”、“”定义为：=，=，则下列各式其中不恒成立的是（ ）A、B、C、 D、【答案】B【解析】试题分析：由定义知若，则，；所以；若则，所以；则恒成立；若，则，；
4、所以；若则，所以；则恒成立；若则，所以，；则不恒成立；故正确答案B. 考点：新定义的一种运算性质.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）11. .12已知函数，则 .13若变量满足线性约束条件，则的最大值为_【答案】5【解析】试题分析：由约束条件，得如下图所示的三角形区域， 由得直线过点时，取得最大值为5考点：线性规划.14已知函数有3个零点，则实数的取值范围是 . 故答案为：考点：1.函数零点的定义； 2.二次函数的性质应用.三、解答题（ 本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15（本题满分12分）设平面向量，函数.（）求函数的值域和函数的单调递增
5、区间;（）当,且时,求的值.（） 函数的值域是；（5分）令，解得（7分）所以函数的单调增区间为.（8分）（）由得,因为所以得,（10分） （12分）.考点：1.正弦函数的定义域和值域、正弦函数的单调性；2. 三角函数的恒等变换及化简求值；3.平面向量数量积的运算.16（本题满分12分）某学校餐厅新推出A，B，C，D四款套餐，某一天四款套餐销售情况的条形图如下. 为了了解同学对新推出的四款套餐的评价，对每位同学都进行了问卷调查，然后用分层抽样的方法从调查问卷中抽取20份进行统计，统计结果如下面表格所示：满意一般不满意A套餐50%25%25%B套餐80%020%C套餐50%50%0D套餐40%20
6、%40%（）若同学甲选择的是A款套餐，求甲的调查问卷被选中的概率；（）若想从调查问卷被选中且填写不满意的同学中再选出2人进行面谈，求这两人中至少有一人选择的是D款套餐的概率. 【答案】（）0.1；（）【解析】试题分析：（I）由条形图可得，选择A，B，C，D四款套餐的学生共有200人，其中选A款套餐的学生为40人，由分层抽样可得从A款套餐问卷中抽取的人数17（本题满分14分）如图所示，圆柱的高为2，底面半径为,AE、DF是圆柱的两条母线，过作圆柱的截面交下底面于, 四边形ABCD是正方形.（）求证；（）求四棱锥E-ABCD的体积.【答案】（）详见解析；（）【解析】试题分析：（）根据AE是圆柱的母
7、线，所以下底面，又下底面，则 又截面ABCD是正方形，所以，又面，又面，即可得到BCBE；18. （本小题满分14分）数列的前n项和为，（I）设，证明：数列是等比数列；（II）求数列的前项和；（）若，求不超过的最大整数的值.【答案】（）详见解析；（）；（）.【解析】考点：1.递推关系；2.等比数列的概念；3.数列求和.19（本小题满分14分） 已知函数.（I）若，且对于任意恒成立，试确定实数的取值范围；（II）设函数，求证：【答案】（I）（）详见解析【解析】试题分析：（I）是偶函数，只需研究对任意成立即可，即当时由此可得，在上，依题意，又综合，得，实数的取值范围是 （7分）20已知函数，其中，且.当时，求函数的最大值； 求函数的单调区间；设函数若对任意给定的非零实数，存在非零实数（），使得成立，求实数的取值范围.【答案】-1; 详见解析; 【解析】试题分析：令g（x）=0求出根，判断g（x）在左右两边的符号，得到g（x）在上单调递增，在上单调递减，可知g（x）最大值为g（1），并求出最值；当时，在上是减函数，则在上不存在实数（），使得，则，要在上存在非零实数（），使得成立，必定有，；当时，在时是单调函数，则，要在上存在非零实数（），使得成立，必定有，.综上得，实数的取值范围为. （14分）.考点：1.函数的最值、单调性；2.导数的应用.