1、山东省实验中学2019届高三第二次诊断性考试数学试题(文科)一、选择题(本题包括12小题，每小题5分，共60分。每小题只有一个选项符合题意)1.已知集合中的元素个数是A. 2 B. 3 C. 6 D. 8【答案】C【解析】【分析】先写出，再看的个数.【详解】由题得=，故AB的元素的个数为6，故答案为：C【点睛】本题主要考查集合的并集运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.2.已知向量A. B. C. D. 2【答案】D【解析】【分析】由题得，解方程即得m的值.【详解】由题得故答案为：D【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标表示，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.3.设满足约
2、束条件则的最大值是A. B. 0 C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可【详解】x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=xy，经过可行域的点B时，目标函数取得最大值，由解得B（2，0），目标函数的最大值为2-0=2,故答案为：C【点睛】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以及可行域的作法是解题的关键4.已知等比数列中，A. B. 4 C. 4 D. 16【答案】A【解析】【分析】由题得，解之即得解.【详解】由题得因为等比数列的奇数项同号，所以，故答案为：A【点睛】本题主要考查等比数列的性质和等比中项的运用，意在考
3、查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力，本题要注意检验.5.“”是“指数函数单调递减”的A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先化简“指数函数单调递减”得，再利用充要条件的定义判断得解.【详解】因为“指数函数单调递减”，所以，所以“”是“指数函数单调递减”的必要非充分条件.故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查指数函数的单调性的运用，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 利用集合法判断充要条件，首先分清条件和结论；然后化简每一个命题，建立命题和集合的对应关系.，；最后利用下面的结论判
4、断：若,则是的充分条件，若，则是的充分非必要条件；若,则是的必要条件，若，则是的必要非充分条件；若且，即时，则是的充要条件.6.在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员按成绩由好到差编为135号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间139,151上的运动员人数是()A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】试题分析：对各数据分层为三个区间，然后根据系数抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，然后各层按照此比例抽取解：由已知，将个数据分为三个层次是130，138，139，151，152，153，根据系数抽样方法从中抽取7人，得到抽取比
5、例为，所以成绩在区间139，151中共有20名运动员，抽取人数为20=4；故选B考点：茎叶图【此处有视频，请去附件查看】7.已知函数，若将函数的图像向左平移个单位长度后所得图像对应函数是偶函数，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由函数平移得解析式，由函数为偶函数得，从而得.进而结合条件的范围可得解.【详解】将函数的图像向左平移个单位长度后所得图像对应函数是：.由此函数为偶函数得时有：.所以.即.由，得.故选C.【点睛】解答三角函数图象变换的注意点：（1）进行图象变换时，变换前后的三角函数名称一样，若名称不一样，则先要根据诱导公式统一名称（2）在进行三角函数图象变换时，可以“
6、先平移，后伸缩”，也可以“先伸缩，后平移”，无论是哪种变换，切记每一个变换总是对而言的，即图象变换要看“变量”发生了多大的变化，而不是“角”变化多少8.函数的部分图象为（ ）【答案】A【解析】试题分析：因,故当时,函数单调递增; 当时,函数单调递减; 当时,函数单调递增.故应选A.考点：导数与函数单调性的关系9.三国时代吴国数学家赵爽所注周髀算经中给出了勾股定理的绝妙证明下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用勾股股勾朱实黄实弦实，化简，得勾股弦设勾股形中勾股比为，若向
7、弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）A. 866 B. 500 C. 300 D. 134【答案】D【解析】由题意，大正方形的边长为2，中间小正形的边长为，则所求黄色图形内的图钉数大约为，故选D.10.曲线上的点到直线的最短距离是A. B. 2 C. D. 【答案】C【解析】 因此到直线的最短距离是 ,选C.11.将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向右平移个单位后得到函数的的图像，若函数在区间上均单调递增，则实数a的取值范围为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律求得
8、g（x）的解析式，再利用余弦函数的单调性求得a的范围【详解】将函数f（x）=cosx图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=cos的图象；然后向右平移个单位后得到函数g（x）=cos=cos（）的图象，若函数g（x）在区间与2a，4上均单调递增，则 0=，0，且2k，2k，kZ解得a，故答案为：B【点睛】本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题12.已知均为单位向量，满足，设，则的最小值为：A. B. 0 C. D. 1【答案】C【解析】【分析】由题意可设C（cos ，sin ），设A（，），B（1，0），由条件求得x，y，再由两角和
9、的正弦公式、正弦函数的最值，可得最小值【详解】由|=1可设C（cos ，sin ），又=，所以cosBOA=,所以BOA=.因为|=|=1，可设A（，），B（1，0），=x+y，所以所以,因为,所以（1）因为，所以，（2）由（1）（2）得所以当x+y最小值为.故答案为：C【点睛】本题考查平面向量的基本定理和向量数量积的坐标表示，两角和的正弦公式、正弦函数的最值，考查运算能力，属于中档题二、填空题(本题包括4小题，共20分)13.已知函数_【答案】【解析】【分析】先求f(-1),再求的值.【详解】由题得f(-1)=所以=故答案为：-2【点睛】本题主要考查函数求值，考查对数函数的运算，意在考查学生
10、对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.14.已知且，则的最小值为_。【答案】9【解析】试题分析：因为且，所以取得等号，故函数的最小值为9.，答案为9.考点：本试题主要考查了均值不等式求解最值的运用。点评：解决该试题的关键是构造均值不等式的结构特点，利用一正二定三相等的思路来分析求解得到结论。15.函数的最大值为_【答案】【解析】【分析】先化简，再利用基本不等式求的最大值，即得f(x)的最大值.【详解】由题得，所以所以.故答案为：【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.16.表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等
11、差数列，则数字70在表中出现的次数为_【答案】【解析】【分析】第1行数组成的数列是以2为首项，公差为1的等差数列，第j列数组成的数列是以j+1为首项，公差为j的等差数列，求出通项公式，就求出结果【详解】第i行第j列的数记为.那么每一组i与j的组合就是表中一个数.因为第一行数组成的数列是以2为首项，公差为1的等差数列，所以，所以第j列数组成的数列是以j+1为首项，公差为j的等差数列，所以.令，所以，表中70共出现4次.故答案为：4.【点睛】本题考查了行列模型的等差数列应用，解题时利用首项和公差写出等差数列的通项公式，运用通项公式求值，是中档题三解答题(本题包括6小题，共70分)17.已知在递增的
12、等差数列的等比中项(I)求数列的通项公式；(II)若，为数列的前n项和，求【答案】 (I) (II) 【解析】【分析】(I)根据已知求出的通项公式. (II) 由题意可知，再利用裂项相消法求和得解.【详解】(I)设公差为,因为，所以，解得所以. (II)由题意可知： 所以 .【点睛】本题主要考查等差数列通项的求法和裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.18.已知向量，1)，)，函数（）求函数的单调递增区间；（）若，分别是角，的的对边，且=1，求的面积【答案】（1）k，k+(kZ)； （2） .【解析】【分析】（）化简函数,利用正弦函数的单调性求递增区间即可（）根据=1
13、可求出A，利用余弦定理可求出b,代入面积公式即可.【详解】（）=mn= +=,由，kZ，得，kZ，故函数的单调递增区间为k，k+(kZ) （）由题意得=sin(2A)=1， A(0，)，2A ， 2A ,由余弦定理，得12=+1624b，即4b+4=0，b=2 ABC的面积sin=2【点睛】本题主要考查了三角函数的化简，正弦型函数的单调性及利用余弦定理解三角形，属于中档题.19.为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，某部门从网年龄在1565岁的人群中随机调查100人，调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：（I）由频率分布直方图估计年龄的众数和平均数；（II）
14、由以上统计数据填22列联表，并判断是否有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；参考数据：（III）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动.现从这8人中随机抽2人.求抽到的2人中1人是45岁以下，另一人是45岁以上的概率.【答案】（）众数为50，平均数为42，（）有95%的把握 ()【解析】【分析】（）根据频率分布直方图知，最高矩形的中点代表的是众数，矩形中点乘以矩形面积求和可得平均数；（）由统计数据填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；() 设45岁以下的6人为a1，a2， a3，a4， a5，a6，4
15、5岁以上的2人为b1，b2，将所有的基本事件列举出来，数出满足条件的基本事件，利用古典概型计算公式求解即可【详解】解：(I) 估计众数为50. 估计平均数为200.2300.1400.2500.3600.242. (II)列联表如下：45岁以下45岁以上总计支持354580不支持15520总计5050100因为K26.253.841，所以有95%的把握认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异 (III)从不支持“延迟退休”的人中抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁以上的应抽2人设45岁以下的6人为a1，a2， a3，a4， a5，a6，45岁以上的2人为b1，b2
16、，则从这8人中随机抽2人包含以下基本事件(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a1，a6)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)， (a2，a6)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a3，a6)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，a5)，(a4，a6)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a5，a6)，(a5，b1)，(a5，b2)，(a6，b1)，(a6，b2)，( (b1，b2)共28个基本事件记抽到的2人中1人是45岁以下，另一人是45岁以上为事件M，则事件M包含如下基本事件(a1，
17、b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a5，b1)，(a5，b2)，(a6，b1)，(a6，b2)，共12个基本事件故. 即抽到的2人中1人是45岁以下，另一人是45岁以上的概率为.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的众数和平均数的计算，同时考查了独立性检验的应用，还考查了古典概型的计算，属于中档题.20.已知数列(I)求数列的通项公式；()设，求数列的前n项和【答案】(I).【解析】【分析】(I)利用项和公式求数列的通项公式. ()利用错位相减法求数列的前n项和【详解】(I)由题意可知：当时，又因为，所以，
18、 又因为当，所以 所以 等比数列，且 （2） 所以【点睛】本题主要考查项和公式求数列的通项，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.21.某二手车直卖网站对其所经营的一款品牌汽车的使用年数x与销售价格y(单位：万元，辆)进行了记录整理，得到如下数据：(I)画散点图可以看出，z与x有很强的线性相关关系，请求出z与x的线性回归方程(回归系数精确到0.01)；(II)求y关于x的回归方程，并预测某辆该款汽车当使用年数为10年时售价约为多少参考公式：参考数据：【答案】(I)z与x的线性回归方程是 (II)当使用年数为10年时售价约为1.03万元【解析】【分析】(I)利用
19、最小二乘法求出z与x的线性回归方程. (II)先求出y关于x的回归方程是, 令x10，预测某辆该款汽车当使用年数为10年时售价.【详解】(I)由题意，知， ，又,所以， 所以，所以z与x的线性回归方程是；(II)因为,所以y关于x的回归方程是,令x10，得=,因为ln 1.030.03，所以，即预测该款汽车当使用年数为10年时售价约为1.03万元【点睛】本题主要考查回归直线方程的求法，考查回归直线方程的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.22.已知(e为自然对数的底数，e=2.71828)，其反函数为，函数的最小值为m(1)求曲线在点的切线方程；(2)求证：.【答案】（1）（
20、2）见解析【解析】【分析】（1）通过求函数导数值得切线斜率，再由点斜式即可得解；（2）通过求导，利用导数的正负得函数的单调性，进而得存在唯一的，使得，再通过运算可得，进而可得解.【详解】（1）由题意可知，所以斜率，所以切线方程为. （2）令，因为，又因为在上单增所以存在唯一的，使得，即 ， 当，所以单减，同理在单增， 所以， 因为，所以， 所以因为，所以.【点睛】对于导函数的零点存在但是不可求的问题，解题时可根据导函数的单调性得到零点所在的范围，在得到函数的单调性后进一步得到函数的最值，在求最值的过程中需要利用导函数的零点进行代换，以达到求出函数最值的目的，如在本题中由得到，进而得到是能求范围的关键