1、第3讲导数的简单应用(文科)JIE TI CE LUE MING FANG XIANG解题策略明方向考情分析1高考对导数几何意义的考查，多在选择题、填空题中出现，难度较小，有时出现在解答题的第一问2高考重点考查导数的应用，即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题，多在选择题、填空题的后几题中出现，难度中等偏下，有时综合在解答题中真题分布(文科)年份卷别题号考查角度分值2020卷15导数的几何意义5卷卷15导数的运算52019卷13导数的几何意义以及运算法则5卷10导数的几何意义以及运算法则5卷7导数的几何意义52018卷6导数的几何意义和函数的性质5卷13导数的几何意义5卷21(1)导数的几
2、何意义5KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN考点分类析重点考点一导数的几何意义1导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，f(x0)处的切线的斜率相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)2基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)sin xf(x)cos xf(x)exf(x)exf(x)ln xf(x)f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)cos xf(x)sin xf(x)ax(a0，a1)f(x)axln af(x)logax(a0，a1)f(x)3导数的运算法则(
3、1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)典例1(1)(2020贵阳一中、云师大附中、南宁三中联考)已知函数y在点M(，0)处的切线方程为by，则(C)Aa1，b1Ba1，b1Ca1，b1Da1，b1(2)(2020九师联盟质量检测)已知函数f(x)(2x1)ex，则曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为_3xy10_.【解析】(1)由题意可知y，故在点M(，0)处的切线方程为y(x)xb，则故选C(2)由题意得：f(x)2ex(2x1)ex(2x3)exf(0)3，又f(0)1yf(x)在(0，f(0)处的切线方
4、程为：y13(x0)，即3xy10求曲线yf(x)切线方程的三种类型及方法(1)已知切点P(x0，y0)，求yf(x)过点P的切线方程(2)已知切线的斜率为k，求yf(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程kf(x0)解得x0，再由点斜式写出方程(3)已知切线上一点(非切点)，求yf(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f(x0)，然后由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程1(1)(2020四川省成都七中模拟)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，e)，且与曲线yf(x)相切，则直线l的斜率为(B)A2B2CeDe(2
5、)(2020辽宁省沈阳市实验中学月考)若曲线y与直线xm，y0所围成封闭图形的面积为m2，则正实数m_.【解析】(1)函数f(x)xln x的导数为f(x)ln x1，设切点为(m，n)，则nmln m，可得切线的斜率为k1ln m，所以1ln m，解得me，k1ln e2，故选B(2)由积分的几何意义可得，m2dxm，解得m.考点二利用导数研究函数的单调性导数与函数单调性的关系(1)f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)x3在(，)上单调递增，但f(x)0(2)f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f(x)0时，f(x)为常数函数，函数不具
6、有单调性考向1讨论函数的单调性典例2(2019长沙二模)已知函数f(x)(1a)ln xax(aR)试讨论f(x)的单调性【解析】函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.当a0时，f(x)，令f(x)0，则x1，令f(x)0，则0x1，所以函数f(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，)上单调递增当a0时，f(x)，当a0时，x0，令f(x)0，则x1，令f(x)0，则0x1，所以函数f(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，)上单调递增；当a1时，1，f(x)0，所以函数f(x)在定义域(0，)上单调递减；当1a0时，1，令f(x)0，则1x，令f(x)0，则0x1或x，所以
7、函数f(x)在区间(0,1)和上单调递减，在区间上单调递增；当a1时，1，令f(x)0，则x1，令f(x)0，则0x或x1，所以函数f(x)在区间和(1，)上单调递减，在区间上单调递增综上，当a0时，函数f(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，)上单调递增；当a1时，函数f(x)在定义域(0，)上单调递减；当1a0时，函数f(x)在区间(0,1)，上单调递减，在区间上单调递增；当a1时，函数f(x)在区间，(1，)上单调递减，在区间上单调递增求解或讨论函数单调性问题的解题策略讨论函数的单调性，其实就是讨论不等式解集的情况，大多数情况下，这类问题可以归纳为一个含有参数的一元二次不等式的解
8、集的讨论：(1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论(2)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论注意讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制考向2利用函数的单调性求参数取值(范围)典例3(1)(2019厦门模拟)若函数f(x)2x2ln x在其定义域内的一个子区间(k1，k1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是_(2)(2019安庆二模)若函数f(x)x24exax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为_(，22ln 2)_.【解析】(1)f(x)的定义域为(0，)f(x)4x.由f(x)0，
9、得x.据题意，得解得1k.(2)因为f(x)x24exax，所以f(x)2x4exa.由题意，f(x)2x4exa0，即a2x4ex有解令g(x)2x4ex，则g(x)24ex.令g(x)0，解得xln 2当x(，ln 2)时，函数g(x)2x4ex单调递增；当x(ln 2，)时，函数g(x)2x4ex单调递减所以当xln 2时，g(x)2x4ex取得最大值22ln 2，所以a1所以f(x)的单调递增区间为(1，)(2)由题意可得f(x)ex0在上恒成立因为ex0，所以只需ln xa0，即aln x在上恒成立令g(x)ln x.因为g(x).由g(x)0，得x1x(1，e)g(x)g(x)gl
10、n ee1，g(e)1，因为e11，所以g(x)maxge1故a的取值范围为e1，)考点三利用导数研究函数的极值与最值可导函数的极值与最值(1)若在x0附近左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极小值(2)设函数yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得典例4(2020贵州模拟)已知函数f(x)aln xx22x.(1)讨论f(x)极值点的个数；(2)若f(x)有两个极值点，证明：f(x)的极大值大于.【解析】(1)f(x)的定义
11、域为(0，)，f(x)2x2.令2x22xa0，48a4(12a)，当a时，0，恒有f(x)0，故f(x)无极值点；当a时，0，设x1，x2是方程2x22xa0的两根(x1x2)，则x1x21，x1x2，则当a0时x10x2，所以f(x)只有一个极值点；当0a时，f(x)有两个极值点综上，当a时，f(x)无极值点；当0a时，f(x)有两个极值点；当a0时，f(x)只有一个极值点(2)证明：由(1)知，当0a时，f(x)有两个极值点，x1x21，x1x20，所以0x1x21，则f(x)在(0，x1)内为增函数，在(x1，x2)内为减函数，在(x2，)内为增函数，所以f(x)的极大值点为x1由2x
12、2x1a0，得a2x2x1，所以f(x)的极大值为f(x1)aln x1x2x1(2x2x1)ln x1x2x1，x1，令g(t)(2t22t)ln tt22t，其中0t，则g(t)(24t)ln t当t时，g(t)0，g(t)在上单调递减，所以当t时，g(t)g，所以f(x)的极大值大于(1)讨论函数的极值，首先要讨论函数的单调性，一般地，若讨论函数的导数符号可以转化为二次函数符号，且该二次函数能够因式分解，则因式分解后，根据导数对应方程根的大小以及与定义域的相对位置关系分类讨论，若该二次函数不能因式分解，应先根据其对应二次方程根的存在性分类讨论，当0时，应通过求根公式求出其根(2)涉及含参
13、数函数的最值时，也要通过函数的极值点与所给区间的关系分类讨论后确定最值3(2019漳州二模)已知函数f(x)ln xaxa2x2(a0)(1)若x1是函数yf(x)的极值点，求a的值；(2)若f(x)0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x).因为x1是函数yf(x)的极值点，所以f(1)1a2a20，解得a(舍去)或a1经检验，当a1时，x1是函数yf(x)的极值点，所以a1(2)当a0时，f(x)ln x，显然在定义域内不满足f(x)0时，令f(x)0，得x1(舍去)，x2，所以x，f(x)，f(x)的变化情况如下表：xf(x)0f(x)极
14、大值所以f(x)maxfln 1综上可得，a的取值范围是(1，)YI CUO QING LING MIAN SHI WU易错清零免失误1混淆“切点”致误典例1求过曲线yx32x上的点(1，1)的切线方程【错解】因为y3x22，所以ky|x131221所以切线方程为：y1x1即xy20【剖析】错把(1，1)当切点【正解】设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为：ky|xx03x2切线方程为yy0(3x2)(xx0)，即y(x2x0)(3x2)(xx0)，又知切线过点(1，1)，把它代入上述方程，得1(x2x0)(3x2)(1x0)，整理，得(x01)2(2x01)0，解得x01或x0.故所求切线
15、方程为y(12)(32)(x1)，或y，即xy20或5x4y102极值的概念不清楚致误典例2已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极值为10，则ab_7_.【错解】7或0【剖析】x1是f(x)的极值点f(1)0；忽视了“f(1)0不能得到x1是f(x)的极值点”的情况【正解】f(x)3x22axb，由x1处有极值为10得联立得或当a4，b11时，f(x)3x28x11(3x11)(x1)在x1两侧的符号相反，符合题意当a3，b3时，f(x)3(x1)2在x1两侧的符号相同，所以a3，b3不符合题意，舍去综上可知a4，b11，ab73导数与单调性关系理解不准致误典例3函数f(x)ax3x2x5在R上的增函数，则a的取值范围为_a_.【错解】a【剖析】函数f(x)在R上的增函数等价于f(x)0，在R上恒成立，漏掉了f(x)0的情况【正解】f(x)ax3x2x5的导数f(x)3ax22x1，由f(x)0，得，解得a.