1、第三章 概率3.1 随机事件的概率人教版必修33.1.3 概率的基本性质 1为了了解学生遵守中华人民共和国交通安全法的情况，调查部门在某学校进行了如下的随机调查，向被调查者提出两个问题：(1)你的学号是奇数吗？(2)在过路口的时候你是否闯过红灯？要求被调查者背对调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面朝上，就回答问题(1)；否则就回答问题(2)被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需要回答“是”或“不是”，因为只有被调查者本人知道回答了哪个问题，所以都会如实回答如果被调查者中的600人(学号从1到600)中有180人回答了“是”，由此可以估计在这600人中闯过红灯的人数是()优效预习 A
2、30B60 C120D150 答案B 22011年西安世园会前夕，质检部门对世园会所用某种产品进行抽检，得知其合格率为99%.若世园会所需该产品共有20000件，则其中的不合格产品约有_件 答案200 解析根据题意，该产品的不合格率为199%1%，故20000件产品中，不合格产品大约为200001%200件 3当几个集合是有限集时，常用列举法列出集合中的元素，求集合AB与AB中的元素个数AB中的元素个数即为集合A与B中_元素的个数；而当AB时，AB中的元素个数即为两个集合中元素个数_；而当AB时，AB中的元素个数即为A、B中元素个数之和_AB中的元素个数本节要学习的互斥事件和对立事件与集合之间
3、的运算有着密切的联系，学习中要仔细揣摩、认真体会公共之和减去1事件的关系(1)包含关系一般地，对于事件A与事件B，如果事件A_，则事件B一定_，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)，记作_(或AB)不可能事件记作_，任何事件都包含不可能事件，即_.拓展 类比集合，事件B包含事件A可用图表示，如图所示发生发生BAA自主预习(2)相等关系 一般地，若_，且_，那么称事件A与事件B相等，记作AB.拓展 类比集合，事件A与事件B相等可用图表示，如图所示BAAB2事件的运算(1)并事件 若某事件C发生当且仅当事件A发生_事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的_(或和事件)，记作C_(或CA
4、B)拓展 类比集合的运算，事件A与事件B的并事件可用图表示，即如图所示的阴影部分或并事件AB(2)交事件 若某事件C发生当且仅当事件A发生_事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作C_(或CAB)拓展 类比集合，事件A与事件B的交事件可用图表示，即如图所示的阴影部分且AB(3)互斥事件 若A_B为_(AB)，那么称事件A与事件B互斥，其含义是，事件A与事件B在任何一次试验中_发生不可能事件不会同时 如果事件A与事件B是互斥事件，那么A与B这两个事件同时发生的概率为0.与集合类比，可用图表示，如图所示(4)对立事件 若AB为_事件，AB为_事件，那么称事件A与事件B互为对
5、立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中_一个发生 破疑点对立事件的特征：一次试验中，不会同时发生，且必有一个事件发生；对立事件是特殊的互斥事件，即对立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件 从集合角度看，事件A的对立事件，是全集中由事件A所含结果组成的集合的补集不可能必然有且仅有3概率的几个性质(1)范围 任何事件的概率P(A)_(2)必然事件的概率 必然事件的概率P(A)_.(3)不可能事件的概率 不可能事件的概率P(A)_.(4)概率加法公式 如果事件A与事件B互斥，则有P(AB)_ 0,110P(A)P(B)破疑点事件A与事件B互斥，如果没有这一条件，加法公式将不能应用 如
6、果事件A1，A2，An彼此互斥，那么P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于其概率的和 在求某些稍复杂的事件的概率时，可将其分解成一些概率较易求的彼此互斥的事件，化整为零，化难为易(5)对立事件的概率 若事件A与事件B互为对立事件，那么AB为必然事件，则有P(AB)_1.破疑点公式使用的前提必须是对立事件，否则不能使用此公式 当一事件的概率不易直接求，但其对立事件的概率易求时，可运用此公式，即使用间接法求概率P(A)P(B)4事件与集合之间的对应关系 事件与集合之间的对应关系如下表：事件集合必然事件全集不可能事件()空集()事件B包含于事件A(BA)集合B包
7、含于集合A(BA)事件B与事件A相等(BA)集合B与集合A相等(BA)事件B与事件A的并事件(BA)集合B与集合A的并集(BA)事件B与事件A的交事件(BA)集合B与集合A的交集(BA)事件B与事件A互斥(BA)集合B与集合A的交集为空集(BA)事件A的对立事件集合A的补集(UA)1同时抛掷两枚硬币，向上面都是正面为事件M，向上面至少有一枚是正面为事件N，则有()AMNBMN CMNDMN 答案A 解析事件N包含两种结果：向上面都是正面或向上面是一正一反则当M发生时，事件N一定发生则有MN.预习自测 2抛掷一枚均匀的正方体骰子，事件P向上的点数是1，事件Q向上的点数是3或4，M向上的点数是1或
8、3，则PQ_，MQ_.答案向上的点数是1或3或4向上的点数是3 3在30件产品中有28件一级品，2件二级品，从中任取3件，记“3件都是一级品”为事件A，则A的对立事件是_ 答案至少有一件是二级品 4事件A与B是对立事件，且P(A)0.6，则P(B)等于_ 答案0.4 解析P(B)1P(A)0.4.5已知P(A)0.1，P(B)0.2，且A与B是互斥事件，则P(AB)_.答案0.3 解析P(AB)P(A)P(B)0.10.20.3.某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”判断
9、下列事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.探究1.互斥事件与对立事件的概念是什么？2事件与集合有什么联系？高效课堂探究一.事件关系的判断 解析(1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B发生会导致事件E一定不发生，且事件E发生会导致事件B一定不发生，故B与E还是对立事件(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就
10、是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件(4)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订甲报”、“只订乙报”、“订甲、乙两种报”事件C“至多订一种报纸”中包括“一种报纸也不订”、“只订甲报”、“只订乙报”也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件(5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况，所以事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件 一个射击手进行一次射击 事件A：命中的环数大于7环；事件B：命中环数为10环；事件C：命中的环数小于6环；事件D：命中的环数为6、7、8、9、10环 判断下列各对事件是否是互斥事件，是否为对立事件，并说明理
11、由(1)事件A与B；(2)事件A与C；(3)事件C与D.跟踪训练 探究解此类问题，要紧紧抓住互斥与对立事件的定义来判断；或利用集合的观点，结合图形解题，解析(1)不是互斥事件，更不可能是对立事件理由：事件A：命中的环数大于7环，包含事件B：命中环数为10环，二者能够同时发生，即AB命中环数为10环(2)是互斥事件，但不是对立事件 理由：事件A：命中的环数大于7环，与事件C：命中的环数小于6环不可能同时发生，但AC命中环数为1、2、3、4、5、8、9、10环I(I为全集)(3)是互斥事件，也是对立事件 理由：事件C：命中的环数小于6环，与事件D：命中的环数为6、7、8、9、10环不可能同时发生，
12、且CD命中环数为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10环I(I为全集)规律总结 互斥事件与对立事件的判断方法：(1)利用基本概念：判断两个事件是否为互斥事件，注意看它们能否同时发生，若不同时发生，则这两个事件是互斥事件，若能同时发生，则这两个事件不是互斥事件 判断两个事件是否为对立事件，主要看是否同时满足两个条件：一是不能同时发生；二是必有一个发生，如果这两个条件同时成立，那么这两个事件就是对立事件，只要有一个条件不成立，那么这两个事件就不是对立事件两个事件是对立事件的前提是互斥事件(2)利用集合的观点：设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A、B.事件A与B互斥，即集合AB；事件A与B对立
13、，即集合AB，且ABI(I为全集)，也即AIB或BIA.特别提醒 对立事件是针对两个事件来说的，而互斥事件则可以是多个事件间的关系 黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表：已知同种血型的人可以输血，O型血可以给任一种血型的人输血，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血，小明是B型血，若他因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？血型ABABO该血型的人所占的比例/%2829835探究二.概率加法公式的应用 探究1.将比例化为概率 2分析事件之间的关系 3运用概率的加法公式解题 解析(1)对任一人，其
14、血型为A、B、AB、O型血的事件分别记为A、B、C、D，它们是互斥的由已知，有P(A)0.28，P(B)0.29，P(C)0.08，P(D)0.35.因为B，O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件BD，根据概率的加法公式，得P(BD)P(B)P(D)0.290.350.64.(2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“不能输给B型血的人”为事件AC，且P(AC)P(A)P(C)0.280.080.36.易错警示 不能由于只有四种血型就简单地认为四种情况的概率都是0.25.本题中某种血型的人所占的比例其实就是任找一人，他是该血型的概率 规律总结 解决此类题的关键是明晰概率加法
15、公式应用的前提是“各事件是互斥事件”，对于较难判断关系的，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析 据统计，在某超市的一个收银台等候的人数及相应的概率如下所示：求：(1)等候人数不超过1的概率；(2)等候人数大于等于4的概率等候人数01234大于等于5概率0.050.140.350.300.100.06跟踪训练 解析设A、B、C、D，分别表示等候人数为0、1、4，大于等于5的事件，则A、B、C、D互斥(1)设E表示事件“等候人数不超过1”，则EAB，故P(E)P(A)P(B)0.050.140.19，即等候人数不超过1的概率为0.19.(2)设F表示事件“等候人数大于等于4”，则FC
16、D.故P(F)P(C)P(D)0.100.060.16，即等候人数大于等于4的概率为0.16.在数学考试中，小明的成绩在90分及以上的概率是0.18，在8089分的概率是0.51，在7079分的概率是0.15，在6069分的概率是0.09,60分以下的概率是0.07，计算：(1)小明的数学考试中取很80分及以上成绩的概率；(2)小明考试及格的概率探究三.对立事件概率公式的应用 探究小明的成绩在80分及以上可以看作是互斥事件“8089分”与“90分及以上”的并事件，小明考试及格可看作是“6069分”“7079分”“8089分”与“90分及以上”这几个彼此互斥事件的并事件，又可看作是事件“不及格”
17、的对立事件 解析分别记小明的成绩“在90分及以上”，“在8089分”，“在7079分”，“在6069分”为事件B，C，D，E，这四个事件彼此互斥(1)小明的成绩在80分及以上的概率是P(BC)P(B)P(C)0.180.510.69.(2)方法1：小明考试及格的概率是 P(BCDE)P(B)P(C)P(D)P(E)0.180.510.150.090.93.方法2：小明考试不及格的概率是0.07，所以，小明考试及格的概率是P(A)10.070.93.规律总结1.求复杂的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥事件的并；二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率 2互斥事件的概率加法公
18、式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率加法公式：P(AB)P(A)P(B)P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)如果事件不互斥，上述公式就不能使用！探究构造对立事件灵活运用概率加法公式求概率跟踪训练 规律总结 求复杂事件的概率通常有两种方法：(1)将所求事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件；(2)若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件时，需要分类较多，而其对立面的分类较少，可考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率 某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别，公司准备了两种不同
19、的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力(1)求此人被评为优秀的概率；(2)求此人被评为良好及以上的概率探究四.复杂事件的概率 探究1.弄清事件之间的关系？2搞清所包含的基本事件 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：(1)P(A)、P(B)、P(C)；(2
20、)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率 探究将所求事件分成若干个简单的互斥事件进行解题跟踪训练误区警示 某战士射击一次，击中环数大于7的概率是0.6，击中环数是6或7或8的概率相等，且和为0.3，求该战士射击一次击中环数大于5的概率 错解该战士击中环数大于5的概率是0.60.30.9.正解记“击中6环”为事件A，“击中7环”为事件B，“击中7环以上”为事件C，事件A、B、C，彼此互斥，且易知P(A)0.1，P(B)0.1，P(C)0.6.记“击中5环以上”为事件D，则P(D)P(ABC)0.10.10.60.8.针对训练 错因分析该战士“击中7环以上”与“击中环数为6
21、或7或8”不是互斥事件，所以不能直接用互斥事件的概率加法公式计算 总结 在应用概率加法公式时，一定要注意其应用的前提是涉及的事件是互斥事件实际上，对于事件A，B，有P(AB)P(A)P(B)，只有当事件A，B互斥时，等号才成立 1下列各组事件中，不是互斥事件的是()A一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6 B统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分 C播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒 D检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%答案B 解析对于B，设事件A1为平均分不低于90分，事件A2为平均分不高于90分，则A1A2为平均分等于90分，A1，A
22、2可能同时发生，故它们不是互斥事件当堂测试 2从装有十个红球和十个白球的罐子里任取2球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件是()A至少有一个红球；至少有一个白球 B恰有一个红球；都是白球 C至少有一个红球；都是白球 D至多有一个红球；都是红球 答案B 解析对于A，“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球，“至少有一个白球”可能为一个白球、一个红球，故两事件可能同时发生，所以不是互斥事件；对于B，“恰有一个红球”，则另一个必是白球，与“都是白球”是互斥事件，而任取2个球还有都是红球的情形，故两事件不是对立事件；对于C，“至少有一个红球”为都是红球或一红一白，与“都是白球”显然是对立事件；对于D
23、，“至多有一个红球”为都是白球或一红一白，与“都是红球”是对立事件 3口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.52，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是()A0.2B0.28 C0.52D0.8 答案A 解析本题主要考查互斥事件的概率加法公式设“摸出红球”为事件M，“摸出白球”为事件N，“摸出黑球”为事件E，则P(M)P(N)P(E)1，所以P(E)1P(M)P(N)10.520.280.2，故选A.5某公务员去外地开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4，求：(1)他乘火车或乘飞机去的概率；(2)他不乘轮船去的概率 解析设乘火车去开会为事件A，乘轮船去开会为事件B，乘汽车去为事件C，乘飞机去为事件D，它们彼此互斥，则P(A)0.3，P(B)0.2，P(C)0.1，P(D)0.4.(1)P(AD)P(A)P(D)0.30.40.7.(2)设不乘轮船去开会为事件E，则P(E)P(ACD)P(A)P(C)P(D)0.30.10.40.8，另解：E与B是对立事件，则P(E)1P(B)10.20.8.