1、第2讲空间点、线、面的位置关系(文理)JIE TI CE LUE MING FANG XIANG解题策略明方向考情分析1以几何体为载体考查空间点、线、面位置关系的判断，主要以选择、填空题的形式，题目难度较小2以解答题的形式考查空间平行、垂直的证明，并常与几何体的表面积、体积相渗透真题分布(理科)年份卷别题号考查角度分值2020卷5、18(1)面面平行、面面垂直的性质；线面垂直的证明10卷10、16、20(2)已知球的表面积求点到面的距离；利用命题真假的判断来考查平面的性质，两直线的位置关系；两直线平行、两平面垂直的证明15卷19(1)证明点在平面内62019卷18(1)线面平行的证明5卷7、1
2、7(1)面面平行的判定，线面垂直的证明10卷8、19(1)空间两直线的位置关系的判定；面面垂直的证明102018卷12、18(1)直线与平面所成的角、正方体的截面；面面垂直的证明10卷5、20(1)异面直线所成的角；线面垂直的证明10卷16、19(1)圆锥，空间线面角的求解；面面垂直的证明10(文科)年份卷别题号考查角度分值2020卷19(1)求证面面垂直卷11、16、20(1)已知球的表面积求点到面的距离；利用命题真假的判断来考查平面的性质，两直线的位置关系；两直线平行、两平面垂直的证明15卷19证明线线垂直；点在平面内122019卷19线面平行及点到平面的距离的计算12卷7、17面面平行的
3、判定及充要条件；线面垂直的证明及体积的计算17卷8、19两直线位置关系的判断；翻折问题、面面垂直的证明及四边形面积的计算172018卷10、18直线与平面所成的角、长方体的体积计算；线面翻折及面面垂直的证明、三棱锥体积的计算17卷9、19异面直线所成的角；线面垂直的证明及点到平面的距离的计算17卷19面面垂直的证明及线面平行的存在性问题12KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN考点分类析重点考点一空间线面位置关系的判断1平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面
4、有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行注：公理1的作用：检验平面；判断直线在平面内；由直线在平面内判断直线上的点在平面内；公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法；公理3的作用：判定两平面相交；作两相交平面的交线；证明多点共线；公理4的作用：证明两直线平行2直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)范围：(0，(3)异面直线的判定方法：判定定理：平面外一点A与平面内
5、一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面3直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况4平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况典例1(1)(2020黄山二模)平面平面，直线m，直线n垂直直线m在内的射影，那么下列位置关系一定正确的为(D)AmBnCnDnm(2)(2020红河州三模)设m，n是空间中不同两条直线，是空间中两个不同的平面，则下列四个命题中，正确的是(D)A若m，n，则mnB若，m，则mC若mn，m，则nD若，l，m，ml，则m(3)(2020汕头二模)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A
6、B2，AA1，点G为正方形ABCD的中心，点E为A1D1的中点，点F为AE的中点，则(B)AC、E、F、G四点共面，且CFEGBC、E、F、G四点共面，且CFEGCC、E、F、G四点不共面，且CFEGDC、E、F、G四点不共面，且CFEG【解析】(1)平面平面，直线m，直线m可能在平面内，排除A；设m在内的射影为l，且m、l所在平面为，则.直线m，m，l，ml，nl，nm，排除B、C故选D(2)对于A，由m，n，可得mn或m与n相交或m与n异面，故A错误；对于B，由，m，可得m或m，故B错误；对于C，由mn，m，可得n或n，故C错误；对于D，由，l，m，ml，得m，故D正确故选D(3)连接AC
7、，CE，G是正方形ABCD的中心，G直线AC，又AC平面ACE，G平面ACE，又F直线AE，F平面ACE，又C平面ACE，E平面ACE，C、E、F、G四点共面取AD的中点M，连接EM，GM，则EM，GM1，EG2，取AM的中点N，连接FN，CN，则FN，CN，CF.EGCF.故选B判断空间线、面位置关系的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断解决问题(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线、面位置关系，并结合有关定理进行判断(3)借助于反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断1(2019湛江二
8、模)已知，是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：若m，n，则mn；若m，mn，且n，n，则n，n；若n，m，则mn；，m，n，则mn.其中真命题的个数是(C)A1B2C3D4【解析】对若m，n，则mn或m，n异面，故错误；对，由线面平行的判定定理知：若m，mn，且n，n，则n，n，正确；对，若n，则n，m，则mn，正确；对，设a，b，在面内任取点O，作OAa，OBb，由，得OA，OB，故OAm，OBm，则m，又n，则mn，正确综上真命题的个数是3故选C考点二空间平行、垂直关系的证明1直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a，b，aba.(2)线面平行的性质定理
9、：a，a，bab.(3)面面平行的判定定理：a，b，abP，a，b.(4)面面平行的性质定理：，a，bab.2直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m，n，mnP，lm，lnl.(2)线面垂直的性质定理：a，bab.(3)面面垂直的判定定理：a，a.(4)面面垂直的性质定理：，l，a，ala.典例2(2020江苏模拟)如图，在三棱锥PABC中，PC平面ABC，ACBC，ACPC，E，F分别是PA，PC的中点求证：(1)AC平面BEF；(2)PA平面BCE.【证明】(1)E，F分别是PA，PC的中点，EFAC，EF平面BEF，AC平面BEF，AC平面BEF.(2)PC平面ABC，
10、BC平面ABC，PCBC，ACBC，ACPCC，BC平面PAC，PA平面PAC，PABC，ACPC，E是PA中点，CEPA，CEBCC，PA平面BCE.平行关系及垂直关系的转化空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定定理、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化2(2020镇江三模)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D为AC中点，ABBC，A1DAC1求证：(1)B1C平面A1BD；(2)平面A1BD平面AB1C1【证明】(1)设A1B与AB1交于点O，连接OD，如图所示：在平行四边形ABB1A1中，O为AB1中点，D为AC中点，所以OD为AB1C的中位线，所以OD
11、B1C，又OD平面A1BD，B1C平面A1BD，所以B1C平面A1BD.(2)因为ABBC，D为AC的中点，所以BD为ABC的底边上的中线，BDAC；在直三棱柱ABCA1B1C1中，C1C平面ABC，BD平面ABC，所以BDC1C，又BDAC，AC平面ACC1A1，C1C平面ACC1A1，ACC1CC，所以BD平面ACC1A1；又AC1平面ACC1A1，所以BDAC1；又A1DAC1，BD平面A1BD，A1D平面A1BD，A1DBDD，所以AC1面A1BD；又AC1平面AB1C1，所以平面A1BD平面AB1C1考点三平面图形中的翻折问题平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化，有
12、的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法典例3(2020怀化模拟)图1是直角梯形ABCD，ABCD，D90，AB2，DC3，AD，CE2ED，以BE为折痕将BCE折起，使C到达C1的位置，且AC1，如图2(1)证明：平面BC1E平面ABED；(2)求点B到平面AC1D的距离【解析】(1)证明：在直角梯形ABCD中，由AB2，DE1，AD，解得EBECBC2连接AC交EB与M
13、点，则ECMBAM，M为BE的中点，则CMBE.C1MMA，又C1A，C1MMA，又C1MBE，BEAMM，C1M平面ABED，又C1M平面C1EB，平面ABED平面C1EB(2)解：设B到平面AC1D的距离为d，则d，又VBAC1DVC1ABDSABDC1M21DMAM，C1M，C1D，SAC1D.d，即点B到平面AC1D的距离为.平面图形翻折问题的求解方法(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变和不变，一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形3(2
14、020湖南五市十校联考)如图，四边形ABCD中，ABCD，BCCDDAAB2，E为AB的中点，以DE为折痕将ADE折起，使点A到达点P的位置，且平面PDE平面BCDE，F为PB的中点(1)求证：PD平面CEF；(2)求三棱锥PDEF的体积【解析】(1)证明：连接BD交EC于O，连接OF，依题意可知四边形BCDE为平行四边形，又F为PB的中点，OFPD.又OF平面CEF，PD平面CEF，PD平面CEF.(2)取DE中点H，连接PH，PDPEDE2，PHDE，又PH平面PDE，平面PDE平面BCDE，且平面PDE平面BCDEDE，PH平面BCDE，且PH，又F为PB的中点，点F到平面BCDE的距离
15、等于点P到平面BCDE的距离的，又四边形BCDE为菱形，DEB为等腰三角形，SDEB22，VPDEFVPDEBVFDEBVPDEB.YI CUO QING LING MIAN SHI WU易错清零免失误1由于点、线共面构图不全面导致错误典例1已知a、b、c、d是两两相交且不共点的四条直线，求证：a、b、c、d共面【错解】如图1所示，设adA，bdB，baD，则B，D，因此b，同理可证c，故a、b、c、d共面【剖析】上述解法漏掉了图2所示的“有三条直线共点”的情况，从而因构图不全而导致错误【正解】(1)无三线共点的情况，证明如上(2)有三线共点的情况不妨设直线a、b、c相交于一点D，Dd，则点D
16、与直线d确定一个平面，设adA，则Ad，于是A，又D，A与D确定的直线a，同理，b、c都在内，故a、b、c、d共面综合(1)、(2)可知，两两相交且不共点的四条直线a、b、c、d共面2由于忽略异面直线所成的角的范围而导致错误典例2正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CC1的中点，求AE与BF所成角的余弦值【错解】如图所示，连接EC1，则EC1BF，AE与EC1所成的角就是AE与BF所成的角，连接AC1，设正方体的棱长为a，则AEEC1a，AC1a.在AEC1中，cosAEC111，AE与BF所成角的余弦值为.【剖析】因为异面直线所成的角为锐角或直角，由cosAEC1可知，AE
17、C1为钝角，它是AE与BF所成角的补角，所以AE与BF所成角的余弦值应为，求得cosAEC1后，就认为所求角的余弦值是，这是忽视了异面直线所成角的范围是(0，从而导致了错误的出现【正解】AE与BF所成角的余弦值为.3对线面关系定理条件把握不准致误典例3已知m、n是不同的直线，、是不同的平面给出下列命题：若，m，nm，则n，或n；若，m，n，则mn；若m不垂直于，则m不可能垂直于内的无数条直线；若m，nm，且n，n，则n，且n；若m、n为异面直线，则存在平面过m且使n.其中正确的命题序号是_.【错解】【剖析】是错误的；是错误的【正解】是错误的如正方体中面ABBA面ADDA，交线为AA.直线ACA
18、A，但AC不垂直面ABBA，同时AC也不垂直面ADDA.正确实质上是两平面平行的性质定理是错误的在上面的正方体中，AC不垂直于平面ABCD，但与BD垂直这样AC就垂直于平面ABCD内与直线BD平行的无数条直线正确利用线面平行的判定定理即可错误从结论考虑，若n且m，则必有mn，事实上，条件并不能保证mn.故错误ZHEN TI HUI FANG WU GAO KAO真题回放悟高考1(2020全国卷)设l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，则(C)A若，则对任意的l，m，都有lmB若，则对任意的l，m，都有lmC若，则对任意的l，都存在m，使得lmD若，则对任意的l，都存在m，使得lm【解析】若
19、，则对任意的l，m，则l和m可能平行，也可能异面故A错误；若，则对任意的l，m，则l和m可能垂直，平行，相交故B错误；若，则对任意的l，都存在m，使得l和m异面垂直，故C正确；若，则对任意的l，都存在m，使得lm是错误的，当直线l与平面相交时，不存在直线与l平行，故D错误，选C2(2019课标全国卷)设，为两个平面，则的充要条件是(B)A内有无数条直线与平行B内有两条相交直线与平行C，平行于同一条直线D，垂直于同一平面【解析】由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B3(2019
20、全国卷)如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则(B)ABMEN，且直线BM、EN是相交直线BBMEN，且直线BM，EN是相交直线CBMEN，且直线BM、EN是异面直线DBMEN，且直线BM，EN是异面直线【解析】连接BD、BM、MN，N为BD中点，M为DE中点，MNBE，BM，EN共面相交，选项C，D为错；作EOCD于O，连接ON，过M作MFOD于F，连接BF，平面CDE平面ABCD，EOCD，EO平面CDE，EO平面ABCD，MF平面ABCD，MFB与EON均为直角三角形设正方形边长为2，易知EO，ON1，EN2，MF，BF，BM.
21、BMEN.故选B4(2020全国卷)设有下列四个命题：p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面p3：空间两条直线不相交，则两条直线平行p4：若直线l平面，直线m平面，则ml.则下列命题中所有真命题的序号是_.p1p4p1p2(p2)p3(p3)(p4)【解析】p1和p4为真命题；p2和p3为假命题；根据含有逻辑联结词的命题的真假判断p1p4，(p2)p3，(p3)(p4)是真命题；故答案为：5(2019全国卷)如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1(1)证明：BE平面EB1C1；(2)若AEA1E
22、，AB3，求四棱锥EBB1C1C的体积【解析】(1)证明：因为ABCDA1B1C1D1是长方体，所以B1C1侧面A1B1BA，而BE平面A1B1BA，所以BEB1C1又BEEC1，B1C1EC1C1，B1C1平面EB1C1，EC1平面EB1C1，因此BE平面EB1C1(2)由(1)知BEB190.由题设知RtABERtA1B1E，所以AEBA1EB145，故AEAB3，AA12AE6作EFBB1，垂足为F，则EF平面BB1C1C，且EFAB3所以四棱锥EBB1C1C的体积V363186(2020江苏卷)在三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，B1C平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点(1)求证：EF平面AB1C1；(2)求证：平面AB1C平面ABB1【解析】(1)证明：因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以在AB1C中EF是中位线，所以EFAB1，AB1平面AB1C1，EF平面AB1C1，所以EF平面AB1C1(2)证明：因为B1C平面ABC，AB平面ABC，所以B1CAB.又因为ABAC，AC平面AB1C，B1C平面AB1C，且ACB1CC，所以AB平面AB1C，又AB平面ABB1，m所以平面AB1C平面ABB1