1、34.2函数模型及其应用学习目标1.会利用已知函数模型解决实际问题(重点)；2.能建立函数模型解决实际问题(重、难点)预习教材P98103，完成下面问题：1常见几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)对数函数模型f(x)alogbxc(a，b，c为常数，a0，b0)幂函数模型f(x)axb(a，b，为常数，a0)分段函数模型f(x)2解决实际问题的程序其中建立数学模型是关键【预习评价】某次火车从北京西站开往石家庄，全程277 km，火
2、车出发10 min开出13 km后，以120 km/h匀速行驶试写出火车行驶的路程s(km)与匀速行驶的时间t(h)之间的函数关系式，并求出火车离开北京2 h内行驶的路程解火车匀速运动的时间为(27713)120(h)，0t.火车匀速行驶t h所行驶路程为120 t，火车行驶的路程s与t的关系是s13120 t(0t)2 h内火车行驶路程s13120(2)233(km).题型一一次函数、二次函数模型【例1】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元)满足一次函数：m1623x，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为_元解析设每天获得的利润
3、为y元，则y(x30)(1623x)3(x42)2432，当x42时，获得利润最大，应定价为42元答案42规律方法一次函数、二次函数均是重要的函数模型，特别是二次函数模型在函数建模中占有重要的地位利用二次函数求最值时要注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符【训练1】某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是_元解析由题意可知，收入y是销售量x的一次函数，设yaxb，将(1,800)，(2,1 300)代入，得a500，b300.y500x300，x0.当销售量为x0时，y300.答案300题型二分段函数模型【例2
4、】某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)其中x是仪器的月产量(1)将利润表示为月产量x的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益总成本利润)解(1)设月产量为x台，则总成本为20 000100x，从而f(x)(2)当0x400时，f(x)(x300)225 000，当x300时，有最大值25 000；当x400时，f(x)60 000100x是减函数，f(x)60 00010040025 000.当x300时，f(x)的最大值为25 000.即每月生产300台仪器时，利润最大，最
5、大利润为25 000元规律方法(1)分段函数模型是日常生活中常见的函数模型对于分段函数，一要注意规范书写格式；二要注意各段的定义域的表示方法，对于中间的各个分点，一般是“一边闭，一边开”，以保证在各分点的“不重不漏”(2)解决分段函数问题需注意几个问题：所有分段的区间的并集就是分段函数的定义域；求分段函数的函数值时，先要弄清自变量在哪个区间内取值，然后再用该区间上的解析式来计算函数值；一般地，分段函数由几段组成，必须注意考虑各段的自变量的取值范围【训练2】国家规定个人稿费纳税办法：不超过800元的不纳税；超过800元不超过4 000元的，扣除800元后按14%纳税；超过4 000元的按全部稿费
6、的11.2%纳税某人出了一本书，共纳税420元，则这个人的稿费为_元解析设个人稿费为x元，纳税金额为y元由题意得y将y420分别代入可知x3 800.答案3 800题型三指数函数模型【例3】牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同假定保鲜时间与储藏时间的关系为指数型函数ykax(k0)若牛奶放在0 的冰箱中，保鲜时间约是192 h，而在22 的厨房中保鲜时间则约是42 h.(1)写出保鲜时间y(单位：h)关于储藏温度x(单位：)的函数解析式；(2)如果把牛奶分别储藏在10 和5 的两台冰箱中，哪一台冰箱储藏牛奶保鲜时间较长？为什么？(参考数据：0.93)解(1)保鲜时间与储藏温度间的关系符合指数型
7、函数ykax(k0)，由题意可知解得所求函数解析式为y1920.93x.(2)令f(x)y1920.93x，0a0.931，f(x)是单调减函数，又105，f(10)f(5)，把牛奶储藏在5 的冰箱中，牛奶保鲜时间较长规律方法指数型函数模型：ymaxb(a0且a1，m0)，在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示【训练3】已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%.已知马尔萨斯人口模型为yy0ert，其中y0表示t0时的人口数，r表示人口的年增长率(1)用马尔萨斯人口模型计算，
8、什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？(2)实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2003年世界人口还没有达到72亿你对同样的模型得出的两个结果有何看法？解(1)若按1650年世界人口5亿，年增长率为0.3%估计，有y5e0.003t，当y10时，解得t231.所以，1881年世界人口约为1650年的2倍若按1970年世界人口36亿年增长率2.1%估计，有y36 e0.021t，当y72时，解得t33，所以2003年世界人口数约为1970年的2倍(2)由此看出，此模型不太适宜估计时间跨度非常大的人口增长情况题型四对数函数模型【例4】燕子每年秋天都要从
9、北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量(1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入题目所给公式可得05log2.解得Q10，即燕子静止时的耗氧量为10个单位(2)将耗氧量Q80代入公式得：v5log25log2815(m/s)，即当一只燕子的耗氧量为80个单位时，飞行速度为15 m/s.规律方法对数型函数模型：ymlogaxc(m0，a0且a1)，对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解【训
10、练4】我们知道，人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系声音的强度I用瓦/米2(W/m2)表示，但在实际测量时，常用声音的强度水平L1表示，满足以下公式：L110lg(单位为分贝，LI0，其中I011012 W/m2，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)回答以下问题：(1)树叶沙沙声的强度是11010 W/m2，耳语的强度是11010 W/m2，恬静的无线电广播的强度是1108 W/m2，试分别求出它们的强度水平；(2)在某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下(不包括50分贝)，试求声音强度I的范围是多少？解(1)树叶沙沙声的强度是I111012
11、 W/m2，1，LI110lg 10(分贝)，即树叶沙沙声的强度水平为0分贝；耳语的强度是I211010 W/m2，则102，LI210lg 10220(分贝)，即耳语的强度水平为20分贝；恬静的无线电广播的强度是I31108 W/m2，则104，LI310lg 10440(分贝)，即恬静的无线电广播的强度水平为40分贝(2)由题意知：0L150，即010lg 50，1105，即1012I107.新建的安静小区的声音强度I大于或等于1012 W/m2，同时应小于107 W/m2.课堂达标1用一根长为12 m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是_ m2.解析设矩形的一边长为x
12、m，则与这条边垂直的边长为 m，所以矩形面积Sxx26x(0x6)，当x3 m时，S最大9 m2.答案92某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为yekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k_，经过5小时，1个病毒能繁殖为_个解析当t0.5时，y2，2，k2ln 2，ye2tln 2，当t5时，ye10ln 22101 024.答案2ln 21 0243已知气压p(百帕)与海拔高度h(米)满足关系式p，则海拔6 000米高处的气压为_解析p1 000()24.9.答案4.9(百帕)4某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要
13、从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y分别为_解析由三角形相似得，得x(24y)，Sxy(y12)2180，当y12时，S有最大值，此时x15.答案15,125根据市场调查，某种商品在最近的40天内的价格f(t)与时间t满足关系f(t)(tN)，销售量g(t)与时间t满足关系g(t)t(0t40，tN)求这种商品的日销售额(销售量与价格之积)的最大值解据题意，商品的价格随时间t变化，且在不同的区间0t20与20t40上，价格随时间t的变化的关系式也不同，故应分类讨论设日销售额为F(t)(1)当0t20，tN时，F(t)(t11)(t)(t)2
14、(946)，故当t10或11时，F(t)max176.(2)当20t40且tN时，F(t)(t41)(t)(t42)2，故当t20时，F(t)max161.综合(1)，(2)知当t10或11时，日销售额最大，最大值为176.课堂小结1函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题2在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求3在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母、列表、画图等使实际问题数学符号化4根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如下图所示