1、第三部分思想篇素养升华第1讲函数与方程思想SI XIANG FANG FA JIE DU思想方法解读函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是动中求解，研究运动中的等量关系SI XIANG FANG FA YING YONG思想方法应用应
2、用一函数与方程思想在不等式中的应用典例1(1)(2020河南模拟)若对任意正数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围为(B)A0，)BCD(2)(2020运城三模)若对任意x(0，)，xex2ln x2xa恒成立，则a的取值范围是(C)A(，2ln 2)B(，ln 2)C(，22ln 2)D(，22ln 2)【解析】(1)依题意得，当x0时，2a1 恒成立，又因为x4，当且仅当x2时取等号，所以的最大值为，所以2a1，解得a的取值范围为.故选B(2)xex2ln x2xa恒成立，axex2ln x2x，设f(x)xex2ln x2x，对任意x(0，)，设tln xx，则tR，设g(t)et2t，
3、则g(t)et2，令g(t)0，解得tln 2，当tln 2时，g(t)0，当tln 2，g(t)0，g(t)在(，ln 2)上是减函数，在(ln 2，)上是增函数，g(t)g(ln 2)22ln 2，g(t)的最小值为22ln 2，即f(x)的最小值为22ln 2，a22ln 2，故选C函数与方程思想在不等式中的应用函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题、常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解应用二函数与方程思想在数列中的应用典例2(1)(2020泰安模拟)已知函数f(x)x3lg(x)，若等差数列an的前n
4、项和为Sn，且f(a11)10，f(a2 0201)10，则S2 020(C)A4 040B0C2 020D4 040(2)(2020绥化模拟)等比数列an的前n项和为Sn，公比为q，若S1033S5，S663，则满足anSn10(anSn)的最小的n值为(C)A3B4C5D6【解析】(1)函数f(x)x3lg(x)是奇函数，f(a11)10，f(a2 0201)10，可得：a11a2 0201，即a1a2 0202，等差数列an的前n项和为Sn，则S2 0202 0202 020故选C(2)根据题意，等比数列an中，若S1033S5，则q1，则有33，即(1q10)33(1q5)，变形可得：
5、1q533，解可得q2；又由S663，则63，解可得a11，则an2n1，则有Sn2n1，若anSn10(anSn)，即22n312n200，又由nN*，则有n5；故n的最小值为5；故选C数列的通项与前n项和都是以正整数为自变量的函数，可用函数与方程思想处理数列问题涉及特殊数列(等差、等比数列)，已知Sn与an关系问题，应用方程思想列方程(组)求解；涉及最值问题或参数范围问题，应用函数思想来解决应用三函数与方程思想在解析几何中的应用典例3(1)(2019昆明评估)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为(B)A2B4
6、C6D8(2)如图，已知双曲线C：1(a0，b0)的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线交于P，Q两点，若PAQ60，且3，则双曲线C的离心率为(B)ABCD【解析】(1)不妨设抛物线C：y22px(p0)，圆的方程设为x2y2r2(r0)，如图，又可设A(x0,2)，D，点A(x0,2)在抛物线y22px上，82px0，点A(x0,2)在圆x2y2r2上，x8r2，点D在圆x2y2r2上，52r2，联立，解得p4(负值舍去)，即C的焦点到准线的距离为p4故选B(2)因为PAQ60，|AP|AQ|，所以|AP|AQ|PQ|，设|AQ|2R，又3，则|OP|PQ|R.双曲线C的渐近线方程是yx，A(a,0)，所以点A到直线yx的距离d，所以2(2R)2R23R2，即a2b23R2(a2b2)，在OQA中，由余弦定理得，|OA|2|OQ|2|QA|22|OQ|QA|cos 60(3R)2(2R)223R2R7R2a2由得 所以双曲线C的离心率为e.解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答