1、第六章 不等式推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1不等式(x1)0的解集是 ()Ax|x1Bx|x1Cx|x1或x1 Dx|x1或x1解析：0，x1.同时x10，即x1.x1.答案：B2下列命题中的真命题是 ()A若ab，cd，则acbd B若|a|b，则a2b2C若ab，则a2b2 D若a|b|，则a2b2解析：由a|b|，可得a|b|0a2b2.答案：D3已知函数f(x)，若f(x)1，则x的取值范围是 () A(，1 B1，)C(，01，) D(，1 1，)解析：将原不等式转化为
2、：或，从而得x1或x1.答案：D4若集合Ax|2x1|3，Bx|0，则AB是 () Ax|1x或2x3 Bx|2x3Cx|x2 Dx|1x解析：|2x1|3，32x13.1x2.又0，(2x1)(x3)0，x3或x.ABx|1x答案：D 5给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：“若a，bR，则ab0ab”类比推出“若a，bC，则ab0ab”；“若a，b，c，dR，则复数abicdiac，bd”类比推出“若a， b，c，dQ，则abcdac，bd”；“若a，bR，则ab0ab”类比推出“若a，bC，则ab0ab”其中类比得到的结论正确的个数是 ()A0 B1 C2 D
3、3解析：是正确的，是错误的，因为复数不能比较大小，如a56i，b46i，虽然满足ab10，但复数a与b不能比较大小答案：C6已知实数a，b，则“ab2”是“a2b24”的 ()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：当ab2时，a2b22ab4，故充分性成立，而a2b24时，当a1，b3时成立，但ab32，显然ab2不成立，故必要性不成立答案：A7三段论：“只有船准时起航，才能准时到达目的港；某艘船是准时到达目的港的；所以这艘船是准时起航的”中小前提是 ()A B C D 解析：大前提是，小前提是，结论是.答案：B8不等式组，所表示的平面区域的面积等于 ()A
4、. B. C. D.解析：不等式组表示的平面区域如图所示，由得交点A的坐标为(1,1)又B、C两点的坐标为(0,4)，(0，)故SABC(4)1.答案：C9已知函数f(x)ax2bxc的图象过点(1,3)和(1,1)，若0c1，则实数a的取值范围是 () A2,3 B1,3 C(1,2) D(1,3)解析：由题意：得b1，ac2.又0c1，02a1，1a2.答案：C10(2010淄博模拟)若f(a)(3m1)ab2m，当m0,1时f(a)1恒成立，则ab的最大值为 ()A. B. C. D.解析：设g(m)=f(a)=(3a-2)m+b-a，由于当m0,1时g(m)=f(a)=(3a-2)m+
5、b-a1恒成立，于是满足此不等式组的点(a，b)构成图中的阴影部分，其中A()，设a+b=t，显然直线a+b=t过点A时，t取得最大值.答案：D9已知函数f(x)满足：f(pq)f(p)f(q)，f(1)3， 则等于 () A36 B24 C18 D12解析：由f(pq)f(p)f(q)，令pqn，得f2(n)f(2n)原式2f(1) 8f(1)24.答案：B12某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站
6、 ()A5 km处 B4 km处 C3 km处 D2 km处解析：由题意可设y1，y2k2x，k1xy1，k2， 把x10，y12与x10，y28分别代入上式得k120，k20.8，y1，y20.8x(x为仓库与车站距离)，费用之和yy1y20.8x2 8，当且仅当0.8x，即x5时等号成立答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分请把正确答案填在题中横线上)13关于x的不等式x2(a1)xab0的解集是x|x1或x4，则实数a、b的值分别为_ 解析：由不等式的解集为x|x1或x4可得，1, 4是方程x2(a1)xab0的两根，解得a4，b1.答案：4,1 14关于x的不等式ax
7、24x12x2a恒成立，那么实数a的取值范围是_解析：不等式ax24x12x2a可化为(a2)x24xa10，当a20，即a2时，不恒成立，不合题意当a20时，要使不等式恒成立，需解得a2.所以a的取值范围为2，)答案：2，)15某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为_元解析：设需租赁甲种设备x台，乙种设备y台， 则目标函数为z200x300y.作出其可行域，易知当
8、x4，y5时，z200x300y有最小值2300元答案：230016已知点P(a，b)与点Q(1,0)在直线2x3y10的两侧，则下列说法正确的是_2a3b10；a0时，有最小值，无最大值；MR，使M恒成立；当a0且a1，b0时，则的取值范围为(，)(，)解析：由已知(2a3b1)(201)0，即2a3b10，错；当a0时，由3b 2a1，可得，不存在最小值，错；表示为(a，b)与(0,0)两点间的距离，由线性规划知识可得：恒成立，正确；表示为(a，b)和(1,0)两点的斜率由线性规划知识可知正确答案：三、解答题(本大题共6小题，共74分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本
9、小题满分12分)已知f(x)3x2a(6a)xb.(1)解关于a的不等式f(1)0；(2)当不等式f(x)0的解集为(1,3)时，求实数a，b的值解：(1)f(1)3a(6a)ba26ab3，f(1)0，a26a3b0.244b，当0即b6时，f(1)0的解集为；当b6时，3a3，f(1)0的解集为a|3a3(2)不等式3x2a(6a)xb0的解集为(1,3)，解之，得 18(本小题满分12分)若a10，a11，an1(n1,2，) (1)求证：an1an；(2)令a1，写出a2、a3、a4、a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式an.解：(1)证明：(采用反证法)若an1an，即an，解得
10、an0,1.从而anan1a2a10,1，与题设a10，a11相矛盾，故an1an成立(2)a1、a2、a3、a4、a5，an，nN*. 19(本小题满分12分)(2010吉林模拟)沪杭高速公路全长166千米假设某汽车从上海莘庄镇进入该高速公路后以不低于60千米/时且不高于120千米/时的速度匀速行驶到杭州已知该汽车每小时的运输成本y(以元为单元)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为0.02；固定部分为200元(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成
11、本为多少元？解：(1)依题意得：y(2000.02v2)166(0.02v)(60v120)(2)y166(0.02v)1662 664(元)当且仅当0.02v即v100千米/时时取等号答：当速度为100千米/时时，最小的运输成本为664元20(本小题满分12分)已知函数f(x)ax24(a为非零实数)，设函数F(x).(1)若f(2)0，求F(x)的表达式；(2)设mn0，mn0，试判断F(m)F(n)能否大于0?解：(1)由f(2)0,4a40a1，F(x)(2)，m，n一正一负不妨设m0且n0，则mn0，F(m)F(n)f(m)f(n)am24(an24)a(m2n2)，当a0时，F(m
12、)F(n)能大于0， 当a0时，F(m)F(n)不能大于0.21(本小题满分12分)某工艺品加工厂准备生产具有收藏价值的奥运会标志“中国印舞动的北京”和奥运会吉祥物“福娃”该厂所用的主要原料为A、B两种贵金属，已知生产一套奥运会标志需用原料A和原料B的量分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需用原料A和原料B的量分别为5盒和10盒若奥运会标志每套可获利700元，奥运会吉祥物每套可获利1200元，该厂月初一次性购进原料A、B的量分别为200盒和300盒问该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套才能使该厂月利润最大？最大利润为多少？解：设该厂每月生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为x，y套，月利润为
13、z元，由题意得目标函数为z700x1200y.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图：目标函数可变形为yx，当yx通过图中的点A时，最大，z最大解得点A坐标为(20,24)将点A(20,24)代入z700x1200y得zmax7002012002442800元 答：该厂生产奥运会标志和奥运会吉祥物分别为20、24套时月利润最大，最大利润为42800元22理(本小题满分14分)已知函数f(x)ax2lnx，f(1)0.(1)若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；(2)若函数f(x)的图象在x1处的切线的斜率为0，且an1f()n21，已知a14，求证：an2n2.解
14、：(1)因为f(1)ab0，所以ab，所以f(x)ax2lnx，所以f(x)a.要使函数f(x)在定义域(0，)内为单调函数，则在(0，)内f(x)恒大于等于0或恒小于等于0.当a0时，则f(x)0在(0，)内恒成立；适合题意当a0时，要使f(x)a()2a0恒成立，则a0，解得a1；当a0时，由f(x)a0恒成立，适合题意所以a的取值范围为(，01，)(2)根据题意得：f(1)0，即aa20，得a1，所以f(x)(1)2，于是an1f()n21(ann)2n21a2nan1 用数学归纳法证明如下：当n1时，a14212，当n2时，a29222；假设当nk(k2且kN*)时，不等式ak2k2成
15、立，即ak2k2成立，则当nk1时，ak1ak(ak2k)1(2k2)214k52(k1)2，所以当nk1，不等式也成立，综上得对所有nN*时，都有an2n2.文(本小题满分14分)已知不等式x2px12xp. (1)如果不等式当|p|2时恒成立，求x的范围；(2)如果不等式当2x4时恒成立，求p的范围 解：(1)原不等式为(x1)p(x1)20，令f(p)(x1)p(x1)2，它是关于p的一次函数，定义域为2,2，由一次函数的单调性知，解得x1或x3.即x的取值范围是x|x1或x3 (2)不等式可化为(x1)px22x1，2x4，x10.p1x.对x2,4恒成立，所以p(1x)max.当2x4时，(1x)max1，于是p1.故p的范围是p|p1