1、1.1椭圆及其标准方程学习目标1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.知识点一椭圆的定义我们把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.知识点二椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1 (ab0)1 (ab0)焦点(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)a、b、c的关系c2a2b2c2a2b2思考(1)椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不
2、变，点的轨迹是什么？(2)确定椭圆的方程需要知道哪些量？答案(1)当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在.(2)a，b的值及焦点所在的位置.题型一用待定系数法求椭圆的标准方程例1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(4,0)，(4,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离的和是10；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0).解(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为1(ab0).因为2a10，所以a5.又因为c4，所以b2a2c252429.故所求椭圆的标准方程为1.(2)因为椭圆的焦点在y
3、轴上，所以设它的标准方程为1(ab0).因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以解得故所求椭圆的标准方程为x21.反思与感悟求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即先要判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可.当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意ab0这一条件.当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成Ax2By21(A0，B0，AB)的形式有两个优点：列出的方程组中分母不含字母；不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程.跟踪训练1求焦点在坐标轴上，且经过A(，2)和B(2，1)两
4、点的椭圆的标准方程.解方法一(1)当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)，依题意有解得故所求椭圆的标准方程为1.(2)当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)，依题意有解得此时不符合ab0，所以方程组无解.故所求椭圆的标准方程为1.方法二设所求椭圆的方程为Ax2By21(A0，B0且AB)，依题意有解得故所求椭圆的标准方程为1.题型二椭圆定义的应用例2已知两定点F1(1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|PF2|2|F1F2|.(1)求点P的轨迹方程；(2)若F1PF260，求PF1F2的面积.解(1)依题意知|F1F2|2，|PF1|PF2|2|F1F2|42|F1
5、F2|，点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，且2a4,2c2，a2，c1，b，故所求点P的轨迹方程为1.(2)设m|PF1|，n|PF2|，则mn2a4.在PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2m2n22mncosF1PF2，4(mn)22mn(1cos60)，解得mn4.SPF1F2mnsinF1PF24sin 60.反思与感悟在椭圆中，由椭圆上的点与两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多.要解决这些题目，我们经常利用椭圆的定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式，这就需要我们在解题时，要充分理解题意，分析条件，利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边
6、角之间的关系.在解题中，经常把|PF1|PF2|看作一个整体来处理.跟踪训练2如图所示，已知过椭圆1的右焦点F2的直线AB垂直于x轴，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点.求AF1B的周长.解如题图所示，由题意知，点A，B在椭圆1上，所以a5，故有|AF1|AF2|2a10，|BF1|BF2|2a10，|AF2|BF2|AB|，所以AF1B的周长为|AF1|BF1|AB|AF1|BF1|AF2|BF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)2a2a20.题型三与椭圆有关的轨迹问题例3已知B、C是两个定点，|BC|8，且ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程.解以过B、C两
7、点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图所示.由|BC|8可知点B(4,0)，C(4,0).由|AB|AC|BC|18得|AB|AC|108|BC|，因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a10，但点A不在x轴上.由a5，c4，得b2a2c225169.所以点A的轨迹方程为1(y0).反思与感悟利用椭圆的定义求轨迹方程，是先由题意找到动点所满足的条件，看其是否符合椭圆的定义，再确定椭圆的方程.跟踪训练3已知圆A：(x3)2y2100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程.解如图，设圆P的半径为
8、r，又圆P过点B，|PB|r.又圆P与圆A内切，圆A的半径为10，两圆的圆心距|PA|10r，即|PA|PB|10(大于|AB|6).圆心P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆.2a10,2c|AB|6.a5，c3，b2a2c225916.圆心P的轨迹方程为1.分类讨论思想的应用例4设F1，F2为椭圆1的两个焦点.P为椭圆上的一点，已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|PF2|，求的值.分析已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，并未指明哪个角是直角，由|PF1|PF2|，知PF2F1PF1F2，因此PF1F2不会是直角，但是F1PF2与PF2F1都有可能为直角，故应分类讨论
9、.解由题意，得|PF1|PF2|6，|F1F2|2.根据直角的不同位置，分两种情况：若PF2F1为直角，则|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即|PF1|2(6|PF1|)220，解得|PF1|，|PF2|，故；若F1PF2为直角，则|F1F2|2|PF1|2|PF2|2，即20|PF1|2(6|PF1|)2，解得|PF1|4，|PF2|2(由于|PF1|PF2|，故舍去|PF1|2，|PF2|4)，故2.综上所述，的值为或2.解后反思分类讨论思想在解决椭圆的有关问题时经常用到，如在求椭圆的标准方程时，常对焦点所在的坐标轴进行分类讨论.1.设F1，F2为定点，|F1F2|6，动点M满足|M
10、F1|MF2|6，则动点M的轨迹是()A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段答案D解析|MF1|MF2|6|F1F2|，动点M的轨迹是线段.2.已知椭圆4x2ky24的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k的值是()A.1 B.2 C.3 D.4答案B解析由题意得，椭圆标准方程为x21，又其一个焦点坐标为(0,1)，故11，解得k2.3.设P是椭圆1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则PF1F2是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形答案B解析根据椭圆的定义知|PF1|PF2|8.又|PF1|PF2|2，所以|PF1|5，|PF2|3.而|F1F2|4，所以|F1
11、F2|2|PF2|2|PF1|2，所以PF1F2是直角三角形，故选B.4.“mn0”是“方程mx2ny21表示焦点在y轴上的椭圆”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析方程可化为1.若mn0，则00，可得mn0.5.已知椭圆1上一点P与椭圆两焦点F1、F2的连线夹角为直角，则|PF1|PF2|_.答案48解析依题意知，a7，b2，c5，|F1F2|2c10.由于PF1PF2，所以由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即|PF1|2|PF2|2100.又由椭圆定义知|PF1|PF2|2a14，所以(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|100，即1962|PF1|PF2|100.解得|PF1|PF2|48.1.平面内到两定点F1，F2的距离之和为常数，即|MF1|MF2|2a，当2a|F1F2|时，轨迹是椭圆；当2a|F1F2|时，轨迹是一条线段F1F2；当2a0，B0，AB)求解，避免分类讨论，达到了简化运算的目的.
