1、综合能力训练第卷(选择题,共40分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.设全集为R,集合A=xR|x24,B=x|-1sin x.下列是真命题的是()A.(p)qB.(p)(q)C.p(q)D.p(q)6.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.若输入x的值为1,则输出y的值为()A.2B.7C.8D.1287.已知双曲线=1(a0,b0),斜率为1的直线截得的弦的中点为(4,1),则该双曲线离心率的值是()A.B.C.D.28.已知函数f(x)=若f(1)+f(a)=2,则a
2、的所有可能值为()A.1B.-C.1,-D.1,第卷(非选择题,共110分)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1)处的切线过点(2,7),则a=.10.设变量x,y满足约束条件的最小值是.11.(2017全国,文15)已知,tan =2,则cos=.12.设函数f(x)=|x+2|+|x-2|,xR,则不等式f(x)6的解集M=.13.已知等差数列an的前n项和为Sn=(a+1)n2+a,某三角形三边之比为a2a3a4,则该三角形的面积为.14.两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内部,且互相外切,
3、若球O1与过点A的正方体的三个面相切,球O2与过点C1的正方体的三个面相切,则球O1和O2的表面积之和的最小值为.三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知a=2,c=,cos A=-.(1)求sin C和b的值;(2)求cos的值.16.(13分)已知an是各项均为正数的等比数列,bn是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.(1)求an和bn的通项公式;(2)设cn=anbn,nN*,求数列cn的前n项和.17.(13分)如图,AB是O的直径,点C在O上,矩形DCBE所在的平面垂直于O所在的平面,
4、AB=4,BE=1.(1)证明:平面ADE平面ACD;(2)当三棱锥C-ADE的体积最大时,求点C到平面ADE的距离.18.(13分)如图,茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道数学题的得分情况.乙组某个数据的个位数模糊,记为x,已知甲、乙两组的平均成绩相同.(1)求x的值,并判断哪组学生成绩更稳定;(2)在甲、乙两组中各抽出一名同学,求这两名同学的得分之和低于20分的概率.19.(14分)已知点F为抛物线E:y2=2px(p0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.(1)求抛物线E的方程;(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切
5、的圆,必与直线GB相切.20.(14分)已知函数f(x)=2x-+bln x,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为3x+y-8=0.(1)求a,b的值,并求函数f(x)的单调递增区间;(2)设g(x)=f(x)-,试问过点(2,2)可作多少条直线与曲线y=g(x)相切?请说明理由.#综合能力训练1.C解析 A=xR|x24=x|-2x2.B=x|-14或x-1,则A(RB)=x|-23x,命题p是真命题;tan x=,x;0cos x0,1,sin x,即tan xsin x,命题q是真命题,p是假命题,(p)q是假命题,
6、q是假命题,(p)(q)是假命题,p(q)是假命题,p(q)为真命题.6.C解析 当x=1时,不满足条件“x2”,则y=9-1=8.即输出y=8,故选C.7.A解析 设直线l与双曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则=0,即.由弦的中点为(4,1),直线的斜率为1可知,x1+x2=8,y1+y2=2,=1.,e2=1+.e=.故选A.8.C解析 f(1)=e1-1=1,f(a)=1.若a(-1,0),则sin(a2)=1,a=-.若a0,+),则ea-1=1,a=1.因此a=1或a=-.9.1解析 f(x
7、)=3ax2+1,f(1)=3a+1,即切线斜率k=3a+1.又f(1)=a+2,已知切点为(1,a+2).而由过(1,a+2),(2,7)两点的直线的斜率为=5-a,5-a=3a+1,解得a=1.10.1解析 由约束条件作出可行域如图,联立解得A(3,2),的几何意义为可行域内的动点与定点P(1,0)连线的斜率,则其最小值为kPA=1.11.解析 由tan =2,得sin =2cos .又sin2+cos2=1,所以cos2=.因为,所以cos =,sin =.因为cos=cos cos+sin sin,所以cos.12.-3,3解析 不等式即|x+2|+|x-2|6,而|x+2|+|x-2
8、|表示数轴上的x对应点到-2,2对应点的距离之和,-3和3对应点到-2,2对应点的距离之和正好等于6,故不等式的解集为M=-3,3.13.解析 an是等差数列,a=0,Sn=n2,a2=3,a3=5,a4=7.设三角形最大角为,由余弦定理,得cos =-,=120.该三角形的面积S=35sin 120=.14.3(2-)解析 AO1=R1,C1O2=R2,O1O2=R1+R2,(+1)(R1+R2)=,R1+R2=,球O1和O2的表面积之和为4()42=2(R1+R2)2=3(2-).15.(1)解 在ABC中,由cos A=-,可得sin A=.又由及a=2,c=,可得sin C=.由a2=
9、b2+c2-2bccos A,得b2+b-2=0.因为b0,故解得b=1.所以sin C=,b=1.(2)解 由cos A=-,sin A=,得cos 2A=2cos2A-1=-,sin 2A=2sin Acos A=-,所以,cos=cos 2Acos-sin 2Asin.16.解 (1)设数列an的公比为q,数列bn的公差为d,由题意q0.由已知,有消去d,整理得q4-2q2-8=0.又因为q0,解得q=2,所以d=2.所以数列an的通项公式为an=2n-1,nN*;数列bn的通项公式为bn=2n-1,nN*.(2)由(1)有cn=(2n-1)2n-1,设cn的前n项和为Sn,则Sn=12
10、0+321+522+(2n-3)2n-2+(2n-1)2n-1,2Sn=121+322+523+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n,上述两式相减,得-Sn=1+22+23+2n-(2n-1)2n=2n+1-3-(2n-1)2n=-(2n-3)2n-3,所以,Sn=(2n-3)2n+3,nN*.17.(1)证明 AB是直径,BCAC,又四边形DCBE为矩形,CDBC.CDAC=C,BC平面ACD,DE平面ACD,又DE平面ADE,平面ADE平面ACD.(2)解 由(1)知VC-ADE=VE-ACD=SACDDE=ACCDDE=ACBC(AC2+BC2)=AB2=,当且仅当AC=BC=2时等号
11、成立,当AC=BC=2时,三棱锥C-ADE体积最大为.此时,AD=3,SADE=ADDE=3,设点C到平面ADE的距离为h,则VC-ADE=SADEh=,h=.18.解 (1)(9+9+11+11)=10,(8+9+10+x+12)=10,解得x=1.又(9-10)2+(9-10)2+(11-10)2+(11-10)2=1;(8-10)2+(9-10)2+(11-10)2+(12-10)2=,甲组成绩比乙组成绩更稳定.(2)记甲组4名同学为A1,A2,A3,A4;乙组4名同学为B1,B2,B3,B4;分别从甲、乙两组中各抽取一名同学所有可能的结果为:(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3
12、),(A1,B4),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A3,B4),(A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A4,B4),共16个基本事件,其中得分之和低于20分的共有6个基本事件,得分之和低于20分的概率是P=.19.(1)解 由抛物线的定义,得|AF|=2+.因为|AF|=3,即2+=3,解得p=2,所以抛物线E的方程为y2=4x.(2)证法一 因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2).由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1)
13、.由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B.又G(-1,0),所以kGA=,kGB=-,所以kGA+kGB=0,从而AGF=BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.证法二 设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2).由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B.又G(-1,0),故直线GA的方程为2x-3y+2=0,从而r= .又直线GB的方程为2x+3y+2=0
14、,所以点F到直线GB的距离d=r.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.20.解 (1)f(x)的定义域是(0,+),f(x)=2+.依题设,f(1)=5,f(1)=-3,a=-3,b=-2.f(x)=2-,令f(x)0,又x0,x.函数f(x)的单调增区间为.(2)g(x)=f(x)-=2x-2ln x,g(x)=2-.设过点(2,2)与曲线g(x)相切的切线的切点坐标为(x0,y0),则y0-2=g(x0)(x0-2),即2x0-2ln x0-2=(x0-2),ln x0+=2.令h(x)=ln x+-2,则h(x)=,当h(x)=0时,x=2.h(x)在区间(0,2)内单调递减,在区间(2,+)内单调递增.h=2-ln 20,h(2)=ln 2-10,h(x)的图象与x轴有两个交点,过点(2,2)可作2条曲线y=g(x)的切线.7