1、2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算【情境导学】 “向量几何是游戏程序员最好的朋友”,向量几何在游戏编程中有着重要的地位,显示屏幕就是一个坐标系,运动物体的轨迹就是物体在这个坐标系曲线运动的结果,而描述这些曲线运动的就是向量,你知道编写一个飞行射击游戏的原理吗?提示:向量的坐标化和基本的向量运算.【选题明细表】知识点、方法题号平面向量的坐标表示1,7,9平面向量的坐标运算3,4,6,8,10,11利用基底表示平面向量2,51.给出下面几种说法:相等向量的坐标相同;平面内一个向量的直角坐标是唯一的;一个坐标对应于唯一一个以原点为始点的向量;平面内一个点与以原点为始点,该点为终点的向量一一
2、对应.其中正确说法的个数是(D)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:平面内点的坐标与以原点为始点的向量一一对应.故选D.2.(2017河南郑州月考)下列各组向量中,能作为一组基底的是(D)(A)e1=(0,2),e2=(0,-1)(B)e1=(2,1),e2=(-4,-2)(C)e1=(3,1),e2=(5,)(D)e1=(-2,1),e2=(4,2)解析:A,B,C三个选项中都有e1e2,故不可作为一组基底,只有D选项e1与e2非零且不共线,可作为一组基底.故选D.3.AC为平行四边形ABCD的一条对角线,=(2,4),=(1,3),则等于(D)(A)(2,4) (B)(3,7)(C)(1
3、,1) (D)(-1,-1)解析:由平行四边形法则知,=+.所以=-=(1,3)-(2,4)=(-1,-1).故选D.4.已知四边形ABCD的顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且=2,则顶点D的坐标为(A)(A)(2,) (B)(2,-)(C)(3,2) (D)(1,3)解析:设D(x,y),则=(x,y-2),=(4,3).因为=2,所以(4,3)=2(x,y-2).所以所以即D(2,).故选A.5.已知e1=(1,2),e2=(-2,3),a=(-1,2),试以e1,e2为基底,将a分解为1e1+2e2的形式为.解析:设a=1e1+2e2(1,2R),则(-1,2)=1(1
4、,2)+2(-2,3)=(1-22,21+32),所以所以a=e1+e2.答案:a=e1+e26.已知O(0,0)和A(6,3)两点,若点P在直线OA上,且=,又点P是线段OB的中点,则点B的坐标是.解析:(1)点P在线段OA上,则=2,-=2,所以=(2,1),所以点P坐标为(2,1),因为P是OB中点,所以点B的坐标为(4,2).(2)点P在线段AO延长线上,则=-2,所以-=-2,所以=-=(-6,-3),所以点P的坐标是(-6,-3).因为P是OB中点,所以点B的坐标为(-12,-6).答案:(4,2)或(-12,-6)7.已知点P1(2,-1),P2(0,5),且点P在P1P2的延长
5、线上,|=2|,则P点坐标为(A)(A)(-2,11) (B)(,3)(C)(,3) (D)(2,-7)解析:因为点P在P1P2的延长线上,且|=2|,所以=-2,设P(x,y),则(x-2,y+1)=-2(-x,5-y),所以解得故选A.8.已知a=(5,-2),b=(-4,-3),c=(x,y),若表示向量a,-2b,3c的有向线段首尾相接能构成三角形,则c等于(D)(A)(1,)(B)(,)(C)(,)(D)(-,-)解析:三条有向线段首尾相接构成三角形,则对应向量之和为零向量,即a-2b+3c=0,所以a-2b+3c=(5,-2)-2(-4,-3)+3(x,y)=(5+8+3x,-2+
6、6+3y)=(0,0),所以所以故选D.9.已知O是坐标原点,点A在第二象限,|=2,xOA=150,则向量的坐标为.解析:设=(x,y),所以x=|cos 150=2(-)=-,y=|sin 150=2=1,所以的坐标为(-,1).答案:(-,1)10.已知a=(3x+4y,-2x-y),b=(2x-3y+1,-3x+y+3),若2a=3b,试求x与y的值.解:因为a=(3x+4y,-2x-y),b=(2x-3y+1,-3x+y+3),所以由2a=3b可得(6x+8y,-4x-2y)=(6x-9y+3,-9x+y+9),所以解得11.已知向量a=(,),b=(-1,2),c=(2,-4),是否存在一个向量d,使表示向量2a-b+c及4(c-a)与d的三个有向线段适当平移后,能形成一个首尾顺次连接的三角形.解:假设向量d存在,则2a-b+c+4(c-a)+d=0,所以-2a-b+c+d=0.所以d=2a+b-c=2(,)+(-1,2)-(2,-4)=(1,3)+(-1,2)-(9,-18)=(-9,23).又d与2a-b+c及4(c-a)不共线,故存在向量d=(-9,23)满足条件.