1、2016-2017学年山东省威海市荣成六中高三（上）10月调研数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若集合A=，B=x|y=ex，则AB=（）A（0，+）B0，+）C（1，+）D（，+）2已知幂函数y=xa的图象过点，则loga2的值为（）A1B1C2D23在矩形ABCD中，点E为CD的中点， =a， =，则=（）ABCD4已知复数z=（a24）+（a+2）i（aR），则“a=2”是“z为纯虚数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C既不充分也不必要条件D充要条件5为了得到函数=4sin（2x+），xR的图
2、象，只需把函数y=4sin（x+），xR的图象上所有点的（）A横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变C横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变6已知等差数列an的首项a1=1，公差d0，且a2是a1与a4的等比中项，则d=（）A1B2C3D47若变量x，y满足条件则z=x+y的最大值是（）A3B2C1D08已知数列an的前n项和Sn=3n2+8n（nN*），则an的通项公式为（）Aan=6n+8Ban=6n+5Can=3n+8Dan=3n+59取一根长度为5m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于2m的概率是（）ABC
3、D10执行如图所示的程序框图后，输出s的值为（）A8B9C30D3611某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图和侧视图中的两条虚线都互相垂直且相等，则该几何体的体积是（）ABCD12设D是函数y=f（x）定义域内的一个区间，若存在x0D，使f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个“次不动点”，也称f（x）在区间D上存在次不动点若函数f（x）=ax23xa+在区间1，4上存在次不动点，则实数a的取值范围是（）A（，0）B（0，）C，+）D（，二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13若抛物线的焦点坐标为（2，0），则抛物线的标准方程是14棱长为2的正
4、方体外接球的表面积是15设f（x）是R上的偶函数，且在0，+）上是增函数，若f（3）=0，则f（x）0的解集是16已知圆x2+y2=4与双曲线=1（b0）的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，若四边形ABCD的面积为2b，则b=三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2acosB=2cb（1）求角A的大小；（2）若c=2b，求角B的大小18如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，平面PAB平面ABCD，E是PA的中点，且PA=PB=AB=2，BC=（1）求证：PC平面EBD；（2）求三棱锥A
5、PBD的体积19某市组织500名志愿者参加敬老活动，为方便安排任务将所有志愿者按年龄（单位：岁）分组，得到的频率分布表如下现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人担任联系人年龄（岁）频率第1组25，30）0.1第2组30，35）0.1第3组35，40）0.4第4组40，45）0.3第5组45，500.1（1）应分别在第1，2，3组中抽取志愿者多少人？（2）从这6人中随机抽取2人担任本次活动的宣传员，求至少有1人年龄在第3组的概率20已知椭圆C： =1（ab0）的离心率e=，且椭圆C经过点，直线l：y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B（1）求椭圆C的方程；（2）若AOB的面积为
6、1（O为坐标原点），求直线l的方程21已知函数f（x）=xlnxax2+（2a1）x，a0（ I）设g（x）=f（x），求g（x）的单调区间；（ II）若f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围选修4-1：几何证明选讲22如图，ABC是圆O的内接三角形，P是BA的延长线上一点，且PC切圆O于点C（1）求证：ACPC=PABC；（2）若PA=AB=BC，且PC=4，求AC的长选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为=（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于M，N
7、两点，求|MN|选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=|x1|+|xa|（1）当a=3时，求不等式f（x）5的解集；（2）若f（x）2对任意xR恒成立，求实数a的取值范围2016-2017学年山东省威海市荣成六中高三（上）10月调研数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若集合A=，B=x|y=ex，则AB=（）A（0，+）B0，+）C（1，+）D（，+）【考点】交集及其运算【分析】分别求出关于A、B的x的范围，求出A、B的交集即可【解答】解：A=x|x0，B=x|y=ex=R，则AB=0
8、，+），故选：B2已知幂函数y=xa的图象过点，则loga2的值为（）A1B1C2D2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【分析】根据幂函数y=xa的图象过点，求出的值，再计算loga2的值【解答】解：幂函数y=xa的图象过点，=loga2=2=1故选：B3在矩形ABCD中，点E为CD的中点， =a， =，则=（）ABCD【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】点E为CD的中点，ABCD是矩形，取AB的中点F，则=，可得答案【解答】解：由题意：点E为CD的中点，ABCD是矩形，取AB的中点F，则=（如图）， =， =，故选：C4已知复数z=（a24）+（a+2）i（aR），则“a=2”
9、是“z为纯虚数”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C既不充分也不必要条件D充要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由纯虚数的定义可得a值，再根据充要条件的定义即可判断【解答】解：复数z=（a24）+（a+2）i为纯虚数，a24=0，且a+20，解得a=2，a=2”是“z为纯虚数”的充要条件，故选：D5为了得到函数=4sin（2x+），xR的图象，只需把函数y=4sin（x+），xR的图象上所有点的（）A横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变C横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变【考点】函数y=Asin（x+）的
10、图象变换【分析】根据函数y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：把函数y=4sin（x+），xR的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不，即可得到函数=4sin（2x+），xR的图象，故选：C6已知等差数列an的首项a1=1，公差d0，且a2是a1与a4的等比中项，则d=（）A1B2C3D4【考点】等差数列与等比数列的综合【分析】由题意可得，把a2、a4用含有d的代数式表示，求解关于d的方程得答案【解答】解：由a2是a1与a4的等比中项，得，即，又a1=1，（d+1）2=3d+1，又d0，解得：d=1故选：A7若变量x，y满足条件则z=x+y的最大值是（）A3B2C1D0
11、【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，A（3，0）化目标函数z=x+y为y=x+z，由图可知，当直线y=x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3故选：A8已知数列an的前n项和Sn=3n2+8n（nN*），则an的通项公式为（）Aan=6n+8Ban=6n+5Can=3n+8Dan=3n+5【考点】数列的函数特性【分析】利用数列的前n项和，即可得出通项公式an=【解答】解：数列an的前n项和为Sn=3n2+8n，a1=S1=3+
12、8=11，n2时，an=SnSn1=（3n2+8n）3（n1）2+8（n1）=6n+5，n=1时上式也成立，an=6n+5故选：B9取一根长度为5m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于2m的概率是（）ABCD【考点】几何概型【分析】根据题意确定为几何概型中的长度类型，将长度为3m的绳子分成相等的三段，在中间一段任意位置剪断符合要求，从而找出中间1m处的两个界点，再求出其比值【解答】解：记“两段的长都不小于2m”为事件A，则只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于2m，所以事件A发生的概率故选A10执行如图所示的程序框图后，输出s的值为（）A8B9C30D36【考点】
13、程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可得该程序的作用是利用循环计算并输出S值模拟程序的运行过程，对程序运行过程中各变量的值进行分析，即可得到最终的输出结果【解答】解：第一次循环，k=03，S=0+0=0，k=1，第二次循环，k=13，S=0+1=1，k=2，第三次循环，k=23，S=1+8=9，k=3，第四次循环，k=33，S=9+27=36，k=4不符合判断条件，输出S=36故选D11某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，正视图和侧视图中的两条虚线都互相垂直且相等，则该几何体的体积是（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据
14、几何体的三视图得出该几何体是边长为2的正方体中，去掉一个高为1的正四棱锥，求出它的体积即可【解答】解：根据几何体的三视图得，该几何体是边长为2的正方体中，去掉一个高为1的正四棱锥，该几何体的体积是V组合体=V正方体V四棱锥=23221=故选：C12设D是函数y=f（x）定义域内的一个区间，若存在x0D，使f（x0）=x0，则称x0是f（x）的一个“次不动点”，也称f（x）在区间D上存在次不动点若函数f（x）=ax23xa+在区间1，4上存在次不动点，则实数a的取值范围是（）A（，0）B（0，）C，+）D（，【考点】二次函数的性质【分析】根据“f（x）在区间D上有次不动点”当且仅当“F（x）=f
15、（x）+x在区间D上有零点”，依题意，存在x1，4，使F（x）=f（x）+x=ax22xa+=0，讨论将a分离出来，利用导数研究出等式另一侧函数的取值范围即可求出a的范围【解答】解：依题意，存在x1，4，使F（x）=f（x）+x=ax22xa+=0，当x=1时，使F（1）=0；当x1时，解得a=，a=0，得x=2或x=，（1，舍去），x（1，2）2（2，4）a+0a最大值当x=2时，a最大=，所以常数a的取值范围是（，故选：D二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13若抛物线的焦点坐标为（2，0），则抛物线的标准方程是y2=8x【考点】抛物线的标准方程【分析】由焦点（2，0），
16、可设抛物线的方程为y2=2px，由可求p【解答】解：由焦点（2，0）可设抛物线的方程为y2=2pxp=4y2=8x故答案为：y2=8x14棱长为2的正方体外接球的表面积是12【考点】球的体积和表面积【分析】直接求出正方体的对角线的长度，就是它的外接球的直径，求出半径即可求出球的体积，【解答】解：正方体的对角线的长度，就是它的外接球的直径，所以，球的直径为：2，半径为：球的表面积为：4r2=12故答案为：1215设f（x）是R上的偶函数，且在0，+）上是增函数，若f（3）=0，则f（x）0的解集是（3，3）【考点】抽象函数及其应用；奇偶性与单调性的综合【分析】f（x）是R上的偶函数，且在0，+）
17、上是增函数，则f（x）在（，0上为减函数，由f（3）=f（3）=0得：若f（x）0，则|x|3，解得答案【解答】解：f（x）是R上的偶函数，且在0，+）上是增函数，f（x）在（，0上为减函数，由f（3）=f（3）=0得：若f（x）0，则|x|3，解得：x（3，3），故答案为：（3，3）16已知圆x2+y2=4与双曲线=1（b0）的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，若四边形ABCD的面积为2b，则b=【考点】双曲线的简单性质【分析】以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为y=x，利用四边形ABCD的面积为2b，求出A的坐标，代入圆的方程，即可得
18、出结论【解答】解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为x2+y2=4，双曲线的两条渐近线方程为y=x，设A（x， x），四边形ABCD的面积为2b，2xbx=2b，x=1，将A（1，）代入x2+y2=4，可得1+=4，b2=12，b=故答案为：2三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2acosB=2cb（1）求角A的大小；（2）若c=2b，求角B的大小【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）由已知及余弦定理可求b2+c2a2=bc，进而利用余弦定理可求cosA=，结合A为三角形内
19、角，即可得解A的值（2）由正弦定理得sinC=2sinB，利用三角形内角和定理及两角差的正弦函数公式可求cosC=0，进而可求C，B的值【解答】解：（1）在ABC中，由余弦定理得，2acosB=2cb，=2cb，可得：b2+c2a2=bc，cosA=，又A为三角形内角，A=（2）c=2b，由正弦定理得sinC=2sinB，即，cosC=0，故，18如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，平面PAB平面ABCD，E是PA的中点，且PA=PB=AB=2，BC=（1）求证：PC平面EBD；（2）求三棱锥APBD的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【分析】（1）连接AC，交B
20、D于点O，连接EO，则PCEO由此能证明PC平面EBD（2）取AB中点H，连接PH，由PA=PB，得PHAB，由VAPBD=VPABD，能求出结果【解答】证明：（1）连接AC，交BD于点O，连接EO，则O是AC的中点，又E是PA的中点，EO是PAC的中位线，PCEO又EO平面EBD，PC平面EBD，PC平面EBD解：（2）取AB中点H，连接PH，由PA=PB，得PHAB，又平面PAB平面ABCD，且平面PAB平面ABCD=AB，PH平面ABCDPAB是边长为2的等边三角形，又，19某市组织500名志愿者参加敬老活动，为方便安排任务将所有志愿者按年龄（单位：岁）分组，得到的频率分布表如下现要从年
21、龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人担任联系人年龄（岁）频率第1组25，30）0.1第2组30，35）0.1第3组35，40）0.4第4组40，45）0.3第5组45，500.1（1）应分别在第1，2，3组中抽取志愿者多少人？（2）从这6人中随机抽取2人担任本次活动的宣传员，求至少有1人年龄在第3组的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法【分析】（1）根据频率分布表中的频率求出分别在第1，2，3组中抽取志愿者的人数即可；（2）设第1组的1人为A，第2组的1人为B，第3组的4人分别为C1，C2，C3，C4，列出从这6人中抽取2人的所有可能结果，从而求出满足条件
22、的概率即可【解答】解：（1）第1组的志愿者有5000.1=50（人），第2组的志愿者有5000.1=50（人），第3组的志愿者有5000.4=200（人），第1，2，3组的志愿者共有50+50+200=300（人），利用分层抽样在这300名志愿者中抽取6人，第1组应抽取（人），第2组应抽取（人），第3组应抽取（人），第1，2，3组应分别抽取1人，1人，4人（2）设第1组的1人为A，第2组的1人为B，第3组的4人分别为C1，C2，C3，C4，则从这6人中抽取2人的所有可能结果为：（A，B），（A，C1），（A，C2），（A，C3），（A，C4），（B，C1），（B，C2），（B，C3），（B，C
23、4），（C1，C2），（C1，C3），（C1，C4），（C2，C3），（C2，C4），（C3，C4）共15种其中2个年龄都不在第3组的有：（A，B）共1种，至少有1人年龄在第3组的概率为20已知椭圆C： =1（ab0）的离心率e=，且椭圆C经过点，直线l：y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B（1）求椭圆C的方程；（2）若AOB的面积为1（O为坐标原点），求直线l的方程【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由题意可知：离心率，a2=4b2，将代入椭圆方程，即可求得a和b的值，写出椭圆C的方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，结合弦长公式即可求得丨AB丨，利用三角形的面积公式，即可求得三
24、角形的面积公式，代入即可求得m的值，即可求得直线l的方程【解答】解：（1）椭圆C： =1（ab0）焦点在x轴上，离心率，即，得a2=4b2，椭圆C经过点，联立，解得a2=4，b2=1，椭圆C的方程为（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），整理得：5x2+8mx+4m24=0由=64m245（4m24）0，解得：，由韦达定理可知：，=，原点O到直线l：xy+m=0的距离，化简得，4m420m2+25=0，直线l的方程为21已知函数f（x）=xlnxax2+（2a1）x，a0（ I）设g（x）=f（x），求g（x）的单调区间；（ II）若f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围【考点】
25、利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值【分析】（ I）求出导函数g（x）=f（x）=lnx2ax+2a，x0，通过导函数的导数，结合a的范围，判断导函数的符号，然后求解函数的单调区间（ II）利用f（x）在x=1处取得极大值，推出f（1）=0通过当，当，当，结合函数的单调性，求出实数a的取值范围【解答】解：（ I）f（x）=xlnxax2+（2a1）x，g（x）=f（x）=lnx2ax+2a，x0，x0当a0时，在上g（x）0，g（x）单调递增；在上g（x）0，g（x）单调递减g（x）的单调增区间是，单调减区间是（ II）f（x）在x=1处取得极大值，f（1）=0当，即时，由（ I）
26、知f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，当x0时，f（x）0，f（x）单调递减，不合题意；当，即时，由（ I）知，f（x）在上单调递增，当0x1时，f（x）0，当时，f（x）0，f（x）在（0，1）上单调递减，在上单调递增，f（x）在x=1处取得极小值，不合题意；当，即时，由（ I）知，f（x）在上单调递减，当时，f（x）0，当x1时，f（x）0，f（x）在上单调递增，在（1，+）上单调递减，当x=1时，f（x）取得极大值，满足条件综上，实数a的取值范围是选修4-1：几何证明选讲22如图，ABC是圆O的内接三角形，P是BA的延长线上一点，且PC切圆O于点C（1）求证：ACPC
27、=PABC；（2）若PA=AB=BC，且PC=4，求AC的长【考点】与圆有关的比例线段【分析】（1）PC为圆O的切线，则PCA=PBC，由CPA=BPC，CAPBCP，ACPC=PABC；（2）设PA=x（x0），则AB=BC=x，切割线定理可得，PAPB=PC2，解得：，则，即可求得AC=2【解答】解：（1）PC为圆O的切线，PCA=PBC，又CPA=BPC，CAPBCP，即ACPC=PABC（2）设PA=x（x0），则AB=BC=x，由切割线定理可得，PAPB=PC2，x2x=42，解得：或（舍），由（1）知，ACPC=PABC，AC=2选修4-4：坐标系与参数方程23在直角坐标系xOy中
28、，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为=（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，求|MN|【考点】参数方程化成普通方程【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化方法求直线l的直角坐标方程；（2）消去参数得到圆C的普通方程，求出圆心C到直线l的距离，即可得出结论【解答】解：（1）将曲线C的极坐标方程化为=cos+sin，得2=cos+sin，将x=cos，y=sin，2=x2+y2代入上式，得曲线C的直角坐标方程为x2+y2xy=0（2）直线l的参数方程（t为参数），消去参数t，得普通方程4x3y+1=0，由
29、（1）知曲线C的直角坐标方程为x2+y2xy=0，即，圆C的圆心为，半径为，圆心C到直线l的距离，选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=|x1|+|xa|（1）当a=3时，求不等式f（x）5的解集；（2）若f（x）2对任意xR恒成立，求实数a的取值范围【考点】函数恒成立问题【分析】（1）利用a=3，化简不等式，通过分类讨论取得绝对值求解即可（2）利用函数恒成立，转化求解即可【解答】解：（1）当a=3时，不等式f（x）5，即|x1|+|x3|5，当x3时，不等式即x1+x35，解得；当1x3时，不等式即x1+3x5，x无解；当x1时，不等式即1x+3x，解得综上，不等式f（x）5的解集为（2）f（x）=|x1|+|xa|（x1）（xa）|=|a1|，f（x）min=|a1|f（x）2对任意xR恒成立，|a1|2，解得a1或a3，即实数a的取值范围为（，13，+）2017年1月21日
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