1、第二章2.12.1.2一、选择题1已知点(m，n)在椭圆8x23y224上，则2m4的取值范围为(B)A2，2B42，42C4,4D42，2解析 因为点(m，n)在椭圆8x23y224上，即在椭圆1上，所以点(m，n)满足椭圆的范围|x|，|y|2，因此|m|，即m，所以2m442，422椭圆4x29y2144内有一点P(3,2)，过点P的弦恰好以P为中点，那么这条弦所在的直线方程为(B)A3x2y120B2x3y120C4x9y1440D9x4y1440解析 设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为点P是弦的中点，所以x1x26，y1y24.又因为所以两式相减可得，即直线的斜率
2、为，所以所求的直线方程为y2(x3)，即2x3y120.3F1，F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M点，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率e为(A)A1B2CD解析 易知圆F2的半径为c.又直线MF1恰与圆F2相切，F1MF2是直角|F1F2|2c，|MF2|c，|F1M|2ac，在直角三角形F1MF2中，有(2ac)2c24c2，化简得c22ac2a20，即2220，e1(负值舍去)故选A4若点O和点F分别为椭圆1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为(C)A2B3C6D8解析 已知O(0,0)，F(1,0)，设点P(x，
3、y)，因为椭圆方程为1，所以y23，故(x，y)(x1，y)x(x1)y2x2x3x2x3(x2)22.又2x2，所以的最大值在x2处取得，此时最大值是6.5某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，其正视图为正方形，则其俯视图中椭圆的离心率为(D)ABCD解析 假设几何体正视图的边长为2，由题图知正视图的边长与俯视图的宽相等，得到俯视图中椭圆的短轴长2b2，俯视图的长就是圆锥底面圆的直径2，得到俯视图中椭圆的长轴长2a2，则椭圆的半焦距c1，根据离心率公式得e.故选D6设P是椭圆1上一点，M，N分别是两圆：(x4)2y21和(x4)2y21上的点，则|PM|PN|的最小值和
4、最大值分别为(C)A9,12B8,11C8,12D10,12解析 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，分别设为A，B，由椭圆定义知|PA|PB|2a10，连接PA，PB分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|PN|最小，最小值为|PA|PB|2R8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|PN|最大，最大值为|PA|PB|2R12，即最小值和最大值分别为8,12.二、填空题7过椭圆1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_.解析 椭圆1的右焦点为F(1,0)，过F(1,0)且斜率为2的直线方程为y2(x1)，即y2
5、x2，代入4x25y220，得4x254(x22x1)20，所以x10，x2，所以y12，y2，所以A(0，2)，B，所以|AB|.又点O(0,0)到y2x2的距离为d，所以SOAB.8焦点在x轴上，长轴长为20，短轴长为16的椭圆的内接矩形中面积最大的矩形周长为36.解析 由题意得a10，b8，设内接矩形ABCD位于第一象限的顶点为A(x0，y0)，则有1，且S矩形ABCD4x0y0.由于xyx64x(100x)21 600，当且仅当x100x，即x50时“”成立此时y32，即当x05，y04时，椭圆的内接矩形面积最大，这时内接矩形周长为4(x0y0)36.9已知圆M过椭圆1的两焦点，且关于
6、直线xy10对称，则圆M的方程为_x2(y1)25_.解析 椭圆1的两焦点为(2,0)，(2,0)圆M关于直线yx1对称，圆心M必在直线yx1上，故可设圆心M坐标为(a，a1)圆M过椭圆1的两焦点，圆心在y轴上，圆心M坐标为(0,1)，半径r，圆M的方程为x2(y1)25.三、解答题10(2018陕西宝鸡调研)设椭圆C：1(ab0)过点(0,4)，离心率为.(1)求C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标解析 (1)将(0,4)代入C的方程得1，则b4.e，即1，解得a5，椭圆C的方程为1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y(x3)，设直线与C的交点为A(x
7、1，y1)，B(x2，y2)将直线方程y(x3)代入C的方程，得1，即x23x80，故x1x23.设线段AB的中点坐标为(x，y)，则x，y(x1x26)，即所求中点坐标为.11在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点P，Q.(1)若|PQ|，求k的值；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由解析 (1)由题意知直线l：ykx.由得x22kx10.由8k2(24k2)0k2.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|PQ|，所以k21，所以k1.(2)由(1)可知(x1x2，y1y2)由已知得(，1)，而与共线等价于x1x2(y1y2)，结合(1)及已知条件可得k.因为k2，所以不存在满足条件的常数k.12直线ykxb与椭圆y2 1交于A，B两点，记AOB的面积为S.(1)求在k0,0b1的条件下，S的最大值；(2)当|AB|2，S1时，求直线AB的方程解析 (1)设点A的坐标为(x1，b)，点B的坐标为(x2，b)，由b2 1，得x2.所以Sb|x1x2|2b2.0b0，所以直线AB的方程是yx 或 yx.
