1、第二章 2.1 2.1.2一、选择题1一个椭圆的半焦距为 2，离心率 e23，那么它的短轴长是(C)A3 B 5C2 5 D6解析 c2，e23，a3，b2a2c2945，b 5，短轴长为 2b2 5.2若椭圆x25y2m1(m0)的离心率 e 105，则 m 的值是(B)A3 B3 或253C 15 D 5或5 153解析 若 5m，则 e5m5 105，解得 m3；若 m5，则 em5m 105，解得 m253.故 m3 或 m253.3已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，若长轴长为 18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆的标准方程是(A)Ax281y2721 Bx281y291
2、Cx281y2451 Dx281y2361解析 由 2a18，得 a9.又因为 ac2c，所以 c3.所以 b2a2c281972.所以所求椭圆的标准方程为x281y2721.4椭圆x225y291 上的点 P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是(D)A8,2 B5,4C5,1 D9,1解析 因为 a5，c4，所以最大距离为 ac9，最小距离为 ac1.5椭圆 C：x24y231 的左、右顶点分别为 A1，A2，点 P 在 C 上且直线 PA2 斜率的取值范围是2，1，那么直线 PA1 斜率的取值范围是(B)A12，34 B38，34C12，1 D34，1解析 椭圆的左、右顶点分别为 A1
3、(2,0)，A2(2,0)，设 P(x0，y0)，则 kPA1kPA2 y0 x02y0 x02 y20 x204，而x204y2031，即 y2034(4x20)，所以 kPA1kPA234，所以 kPA134kPA238，34.6已知椭圆的两个焦点分别为 F1，F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为(D)A 22 B 212C2 2 D 21解析 因为|F1F2|2c，所以|PF2|2c，|PF1|2 2c，所以|PF1|PF2|2c2 2c.又|PF1|PF2|2a，所以 2c2 2c2a.所以ca 21，即 e 21.二、填空题7
4、比较椭圆x29y236 与x29y251 的形状，则_更扁(填序号)解析 x29y236 化为标准方程为x236y241，故离心率 e14 26 2 23；椭圆x29y251的离心率 e223，因为 e1e2，故更扁8若圆 x2y2a2(a0)与椭圆x29 y24 1 有公共点，则实数 a 的取值范围是_2,3_.解析 根据图象可得圆的半径要比椭圆的长半轴短或相等，比短半轴长或相等，因此半径 a 的取值范围为2,39若一个椭圆的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，则椭圆的离心率为_ 512_.解析 由题意，知(2b)22a2c，即 b2ac，a2c2ac0，e2e10，又 e0，e 512.三、解
5、答题10(2018广西北海调研)求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)长轴长与短轴长的和为 18，焦距为 6；(2)过点(3,0)，离心率 e 63.解析(1)设椭圆的长轴长为 2a，短轴长为 2b，焦距为 2c，由题意可知2a2b18，2c6，a2b2c2，解得a5，b4.因为不确定焦点在哪个坐标轴上，所以所求椭圆的标准方程为x225y2161 或x216y2251.(2)当椭圆的焦点在 x 轴上时，设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)，由题意，得 a3，因为 e 63，所以 c 6，从而 b2a2c23，所以椭圆的标准方程为x29y231；当椭圆的焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方
6、程为y2a2x2b21(ab0)，由题意，得 b3，因为 e 63，所以 a2b2a 63，把 b3 代入，得 a227，所以椭圆的标准方程为y227x291.综上可知，所求椭圆的标准方程为x29y231 或y227x291.11若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个顶点，且焦点到同侧长轴端点的距离为 21.(1)求椭圆的方程；(2)求椭圆的离心率解析(1)设椭圆的方程为x2a2y2b21 或y2a2x2b21(ab0)，由椭圆的对称性和正方形的对称性可知：正方形被椭圆的对称轴分割成了 4 个全等三角形，因此 bc(2c 为焦距)由题意得ac 21，bc，a2b2c2
7、，解得a 2，b1，c1，所以椭圆的方程为x22y21 或 x2y221.(2)椭圆的离心率 eca 22.12如图所示，椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2 在 x 轴上，A，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且 PF1x 轴，PF2AB，求此椭圆的离心率解析 设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)，则 F1(c,0)，F2(c,0)，A(0，b)，B(a,0)直线 PF1 的方程为 xc，代入方程x2a2y2b21，得 yb2a，所以 Pc，b2a.PF2AB，且 kPF2b2accb22ac，kABba，kPF2kAB，即 b22acba，b2c，a b2c2 5c.eca 55，即椭圆的离心率为 55.