1、上海市嘉定二中2019-2020学年高二数学上学期10月月考试题（含解析）一、填空题（每题5分，一共60分）：1.线性方程组的增广矩阵是_.【答案】【解析】【分析】由所给的方程组确定方程的增广矩阵即可.【详解】由线性方程组可知其增广矩阵为：.故答案：【点睛】本题主要考查增广矩阵的含义，属于基础题.2.平面向量的单位向量坐标为_.【答案】【解析】【分析】结合所给的向量将其单位化即可确定平面向量的单位向量.【详解】由所给的向量可知其单位向量为：，即.故答案为：【点睛】本题主要考查向量的单位化及其计算，属于基础题.3.计算：=_.【答案】2【解析】【分析】由题意结合极限的运算法则计算其极限即可.详解
2、】由题意可得：.故答案为：2【点睛】本题主要考查极限的运算法则，属于中等题.4.设向量，若，则实数=_.【答案】【解析】【分析】由题意结合向量垂直的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可确定的值.【详解】由题意可得：，即：，据此有：.故答案为：【点睛】本题主要考查向量垂直的充分必要条件，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.向量在方向上的射影为_.【答案】【解析】【分析】由题意首先求得向量的数量积，然后利用射影的定义即可确定向量的射影.【详解】由题意可知：，且，据此可得向量在方向上的射影为.故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量数量积的计算与几何意义，平面向量射影的计
3、算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.在无穷等比数列中，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由题意首先确定公比范围，然后结合等比数列前n项和的极限得到关于的表达式即可确定首项的范围.【详解】等比数列的极限存在，则：且，即.由等比数列的极限有：，则：，.故答案为：【点睛】本题主要考查等比数列前n项和极限的计算，等比数列的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.已知为坐标原点，点,共线，且,则=_.【答案】【解析】【分析】由题意首先利用共线的充分必要条件得到x的值，然后利用向量的坐标运算法则求得m，n的值即可确定的值.【详解】ABC三点共线，则：，即：，解得：，即
4、，结合有：，整理可得：，解得：，故.故答案为：【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，方程的数学思想，平面向量的坐标运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.已知两点、，点在延长线上，且满足，则点的坐标为_.【答案】【解析】【分析】结合向量关系得到关于点的坐标的方程组，求解方程组即可确定点P的坐标.【详解】由题意可得：，设点的坐标为，则：，故：，解得：，则点的坐标为.故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，由向量求解点的坐标的方法，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.已知为圆上的三点，若，则与的夹角为_【答案】【解析】【分析】根据条件,可知
5、BC为圆O的直径,因而由直径所对圆心角为可知,.【详解】由，故三点共线，且是线段中点，故是圆的直径，从而，因此与的夹角为所以答案为【点睛】本题考查了平面向量基本定理及圆的性质,属于基础题.10.如图，在中，、分别为边、的中点.为边上的点，且，若，则的值为 .【答案】.【解析】试题分析：为的中点，.考点：平面向量的基底表示11.如图，在梯形中，点是边上一动点，则的最大值为 【答案】【解析】试题分析：由平面向量数量积知识得，考点：1.平面向量数量积的概念.12.有一列向量，如果从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么这列向量称为等差向量列.已知等差向量列，满足，那么这列向量中模最小的向
6、量的序号_【答案】4或5【解析】【分析】由题意结合等差向量列的定义首先确定向量的坐标表示，然后求解向量的模即可确定最小的向量的序号.【详解】由题意可得：，则每一项与前一项的差所得的同一个向量为：，结合等差向量列的定义和等差数列通项公式可得：，即：，这列向量的模：，考查二次函数，当时，二次函数有最小值，则这列向量中模最小的向量的序号4或5.故答案为：4或5【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定
7、是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.二、选择题（每题5分，一共20分）：13.有下列四个命题：若，则； 若，则；若，则；若，则.其中正确命题的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】【分析】利用极限的性质与运算逐项判断即可【详解】对, 若，则,故错误对, 若，则可能；如：，A=0,故错误对,若，则可能不存在，如，故错误对，若，则，正确故选：A【点睛】本题考查极限的运算即性质，考查推理能力，是基础题14.在下列各式中，正确的是（ ）A. B. 若，则C. D. 若，且，则【答案】B【解析】【分析】由题意结合向量的数量积的运算法则逐一考查所给的选项是否正
8、确即可.【详解】逐一考查所给的选项：A. ，若两向量的夹角不等于，则，题中说法错误；B. 若，则，据此可得，题中说法正确；C. ，若两向量不共线，则，题中说法错误；D. 若，且，则，不一定有，题中说法错误.故选：B.【点睛】本题主要考查平面向量的概念，向量的运算法则，向量数量积的定义与计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15.已知为不共线的非零向量，且，则以下四个向量中模最大的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意首先计算选项中所给的向量的平方，然后利用作差法比较大小即可.【详解】设向量的夹角为，向量不共线，则则原问题等价于考查：， ，的最大值，由于：，
9、且：，综上可得，所给的四个向量中模最大的是.故选：C.【点睛】本题主要考查向量的模的计算，等价转化的数学思想，作差法比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16.在，若，且，则的形状为（ ）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 无法判断【答案】C【解析】【分析】由题意结合向量的运算法则逐一考查所给的等式，得到相应的等量关系即可确定ABC的形状.【详解】由题意可得：，故，且：，则，结合可知ABC为等边三角形.故选：C.【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则，由平面向量确定三角形形状的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题（14+16+18
10、+22=70分）：17.在四边形ABCD中，(6，1)，(x，y)，(2，3)，且.(1)求x与y的关系式；(2)若，求x、y的值【答案】（1）0（2）【解析】【分析】(1)利用向量的坐标运算求出与，根据向量平行的充要条件可得结果；（2）利用向量的坐标运算求出与，根据向量垂直的充要条件列方程，结合（1）的结论可得结果.【详解】(1)因为(x4，y2)，所以(x4，2y)又因为，(x，y)，所以x(2y)(x4)y0，即x2y0. (2)由于(x6，y1)，(x2，y3)因为，所以0， 即(x6)(x2)(y1)(y3)0，所以y22y30，所以y3或y1当y3时，x6，当y1时，x2，综上可知
11、或【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.18.已知数列的前项和与通项满足.（1）若的值及数列的通项公式；（2）若满足，求.【答案】(1)，；（2）.【解析】【分析】(1)由题意首先求得的值，然后将递推关系式转化为关于的关系式，进而可得数列的通项公式；(2)结合(1)的结论首先求得数列的通项公式，然后求解其前n项和的极限即可.【详解】(1)递推关系式中，令可得：，解得：，当时，结合递推关系式：，两式作差可得：，整理可得：，据此可得数列是首项为，公比的等比数列，则：；(2)结合(1)的结果可得：，则数列是首项为，公
12、比为的等比数列，故.【点睛】给出 与 的递推关系，求an，常用思路是：一是利用转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.19.在平面直角坐标系中，已知点，.（1）若，求的值；（2）若，求的坐标.【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】(1)由题意首先求得的值，然后利用向量平行的充分必要条件即可确定实数a的值；(2)利用题意结合向量的坐标运算和等差数列的通项公式即求得的坐标.【详解】(1)由题意可得：，在中令可得：，由向量平行的充分必要条件有：，解得：；(2)设点的坐标为，由题意可得：，且：，即：，据此可得：，即，则.【点睛】本题主要考查
13、平面向量的坐标运算，等差数列的通项公式及其应用，函数与方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.设数列前项和，已知，.（1）求证:数列为等差数列，并求出其通项公式；（2）设，又对一切恒成立，求实数的取值范围；（3）已知为正整数且，数列共有项，设，又，求的所有可能取值.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）；【解析】【分析】(1)当时，由所给的递推关系式进行作差变形证明后项与前项之差为常数即可证得数列为等差数列，进一步可得数列的通项公式；(2)结合(1)中通项公式裂项求和，然后结合题意可确定实数的取值范围；(3)首先确定数列为等差数列，然后结合数列的单调性确定绝对值符号进行求和，得到关于k的不等式，最后求解关于k的不等式即可确定实数的所有可能取值.【详解】(1)当时，两式作差得，故，所以数列是公差为6的等差数列，又，所以；(2)由于，故.，显然单调递增，且，故， 所以.(3)，则是公差为的等差数列，故当时，;当时，设数列的前n项和为，于是：，注意到，则，题中的不等式即，所以，所以，的所有可取值为.【点睛】本题主要考查等差数列的证明，裂项求和的方法，绝对值型等差数列前n项和的求解，二次不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.