1、2013年全国高校自主招生数学模拟试卷九命题人:南昌二中 高三(01)班 张阳阳一、 选择题(36分,每小题6分)1设全集是实数,若A=x|0,B=x|10=10x,则ARB是( )(A)2 (B)-1 (C)x|x2 (D) 2设sina0,cosa0,且sincos,则的取值范围是( )(A)(2kp+,2kp+), kZ (B)( + ,+),k Z(C)(2kp+,2kp+p),k Z (D)(2kp+,2kp+)(2kp+,2kp+p),k Z3已知点A为双曲线x2-y2=1的左顶点,点B和点C在双曲线的右分支上,ABC是等边三角形,则ABC的面积是( ) (A) (B) (C)3
2、(D)64给定正数p,q,a,b,c,其中pq,若p,a,q是等比数列,p,b,c,q是等差数列,则一元二次方程bx2-2ax+c=0( ) (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根5平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线y=x+的距离中的最小值是( )(A) (B) (C) (D) 6设=cos+isin,则以w,w3,w7,w9为根的方程是( )(A)x4+x3+x2+x+1=0 (B) x4-x3+x2-x+1=0(C) x4-x3-x2+x+1=0 (D) x4+x3+x2-x-1=0二填空题(本题满分54分,每小题9分)1arcsin(s
3、in2000)=_2设an是(3-)n的展开式中x项的系数(n=2,3,4,),则(+)=_.3等比数列a+log23,a+log43,a+log83的公比是_.4在椭圆+=1 (ab0)中,记左焦点为F,右顶点为A,短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是,则ABF=_.5一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为a,则这个球的体积是_.6如果:(1)a,b,c,d都属于1,2,3,4;(2)ab,bc,cd,da;(3)a是a,b,c,d中的最小值,那么,可以组成的不同的四位数的个数是_三、解答题(60分,每小题20分)1设Sn=1+2+3+n,nN*,求f(n)=的最大值2若函数f
4、(x)=x2+在区间a,b上的最小值为2a,最大值为2b,求a,b3已知C0:x2+y2=1和C1:+=1 (ab0)试问:当且仅当a,b满足什么条件时,对C1上任意一点P,均存在以P为顶点,与C0外切,与C1内接的平行四边形?并证明你的结论2013年全国高校自主招生数学模拟试卷九参考答案一选择题(本题满分36分,每小题6分)1设全集是实数,若A=x|0,B=x|10=10x,则ARB是( )(A)2 (B)-1 (C)x|x2 (D) 解:A=2,B=2,1,故选D2设sina0,cosa0,且sincos,则的取值范围是( )(A)(2kp+,2kp+), kZ (B)( + ,+),kZ
5、(C)(2kp+,2kp+p),k Z (D)(2kp+,2kp+)(2kp+,2kp+p),kZ解:满足sina0,cosa0的的范围是(2kp+,2kp+),于是的取值范围是(+,+),满足sincos的的取值范围为(2kp+,2kp+)故所求范围是(2kp+,2kp+)(2kp+,2kp+p),kZ选D3已知点A为双曲线x2-y2=1的左顶点,点B和点C在双曲线的右分支上,ABC是等边三角形,则ABC的面积是( ) (A) (B) (C)3 (D)6解:A(1,0),AB方程:y=(x+1),代入双曲线方程,解得B(2,), S=3选C4给定正数p,q,a,b,c,其中pq,若p,a,q
6、是等比数列,p,b,c,q是等差数列,则一元二次方程bx2-2ax+c=0( ) (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根解:a2=pq,b+c=p+qb=,c=;=a2bc=pq(2p+q)(p+2q)=(pq)20选A5平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线y=x+的距离中的最小值是( )(A) (B) (C) (D) 解:直线即25x15y+12=0平面上点(x,y)到直线的距离=5x3y+2为整数,故|5(5x3y+2)+2|2且当x=y=1时即可取到2选B6设=cos+isin,则以w,w3,w7,w9为根的方程是( )(A)x4+x3+
7、x2+x+1=0 (B) x4-x3+x2-x+1=0(C) x4-x3-x2+x+1=0 (D) x4+x3+x2-x-1=0解:5+1=0,故w,w3,w7,w9 都是方程x5+1=0的根x5+1=(x+1)(x4x3+x2x+1)=0选B二填空题(本题满分54分,每小题9分)1arcsin(sin2000)=_.解:2000=18012160故填20或2设an是(3-)n的展开式中x项的系数(n=2,3,4,),则(+)=_.解:an=3n2C =,故填183等比数列a+log23,a+log43,a+log83的公比是_.解:q=填4在椭圆+=1 (ab0)中,记左焦点为F,右顶点为A
8、,短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是,则ABF=_.解:c=a,|AF|=a|BF|=a,|AB|2=|AO|2+|OB|2=a2故有|AF|2=|AB|2+|BF|2即ABF=90填90或由b2=a2c2=a2=ac,得解5一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为a,则这个球的体积是_.解:取球心O与任一棱的距离即为所求如图,AE=BE=a,AG=a,AO=a,BG=a,ABAO=BGOHOH=aV=r3=a3填a36如果:(1)a,b,c,d都属于1,2,3,4;(2)ab,bc,cd,da;(3)a是a,b,c,d中的最小值,那么,可以组成的不同的四位数的个数是_解:a、c
9、可以相等,b、d也可以相等 当a、c相等,b、d也相等时,有C=6种; 当a、c相等,b、d不相等时,有A+A=8种; 当a、c不相等,b、d相等时,有CC+C=8种; 当a、c不相等,b、d也不相等时,有A=6种;共28种填28三、解答题(本题满分60分,每小题20分)1设Sn=1+2+3+n,nN*,求f(n)=的最大值解:Sn=n(n+1),f(n)= = Error! No bookmark name given.(n=8时取得最大值)2若函数f(x)=x2+在区间a,b上的最小值为2a,最大值为2b,求a,b解: 若ab0,则最大值为f(b)=b2+=2b最小值为f(a)=a2+=2
10、a即a,b是方程x2+4x13=0的两个根,而此方程两根异号故不可能 若a0b,当x=0时,f(x)取最大值,故2b=,得b=当x=a或x=b时f(x)取最小值,f(a)=a2+=2a时a=2,但a|b|,从而f(a)是最小值f(b)=b2+=2a0与a0矛盾故舍 0ab此时,最大值为f(a)=2b,最小值为f(b)=2a b2+=2aa2+=2b相减得a+b=4解得a=1,b=3 a,b=1,3或2,3已知C0:x2+y2=1和C1:+=1 (ab0)试问:当且仅当a,b满足什么条件时,对C1上任意一点P,均存在以P为顶点,与C0外切,与C1内接的平行四边形?并证明你的结论解:设PQRS是与C0外切且与C1内接的平行四边形易知圆的外切平行四边形是菱形即PQRS是菱形于是OPOQ设P(r1cos,r1sin),Q(r2cos(+90),r2sin(+90),则在直角三角形POQ中有r12+r22=r12r22(利用POQ的面积)即+=1但+=1,即=+,同理,=+,相加得+=1反之,若+=1成立,则对于椭圆上任一点P(r1cos,r1sin),取椭圆上点Q(r2cos(+90),r2sin(+90),则=+,=+,于是+=+=1,此时PQ与C0相切即存在满足条件的平行四边形故证