1、第三章3.2一、选择题1函数f(x)ax33x22，若f(1)4，则a(D)ABCD解析 因为f(x)ax33x22，所以f(x)3ax26x.又因为f(1)4，所以3a64，解得a.2若f(x)sin cos x，则f()(A)Asin Bcos Csin cos D2sin 解析 因为f(x)sin cos x，所以f(x)sin x，所以f()sin .3(2018天津耀华中学调考)过曲线ycos x上一点P且与曲线在点P处的切线垂直的直线方程为(A)A2xy0Bx2y10C2xy0Dx2y10解析 ycos x，ysin x，曲线在点P处的切线斜率y|xsin ，过点P且与曲线在点P处
2、的切线垂直的直线的斜率为，所求的直线方程为y，即2xy0.4(2018江西临川一中检测)若幂函数f(x)mx的图象经过点A，则它在点A处的切线方程是(C)A2xy0B2xy0C4x4y10D4x4y10解析 因为函数f(x)mx为幂函数，所以m1.又幂函数f(x)x的图象经过点A，所以，所以f(x)x，f(x)，f1，所以f(x)的图象在点A处的切线方程为yx，即4x4y10.5如图是二次函数f(x)x2bxa的部分图象，f(x)为f(x)的导函数，则函数g(x)exf(x)的零点所在的区间是(B)A(1,0)B(0,1)C(1,2)D(2,3)解析 由题图可知，0f(0)a1，f(1)0，即
3、1ba0，由可得1b2.易得g(x)ex2xb，g(0)1b0，又g(x)的图象连续不断，所以g(x)一定在(0,1)内存在零点故选B6已知函数yf(x)的导函数为f(x)，且f(x)x2fsin x，则f(A)ABCD解析 f(x)x2fsin x，f(x)2fxcos x，f2fcos，解得f，故选A二、填空题7已知函数f(x)其图象在点(1，f(1)处的切线方程为y2x1，则它在点(3，f(3)处的切线方程为_y2x3_.解析 当x1，故f(x2)a(x2)2b(x2)cax2(4ab)x4a2bc.由图象在点(1，f(1)处的切线方程为y2x1，得即得因此f(3)9a3(4ab)4a2
4、bcabc3，f(3)2a(3)4ab2ab2，故函数在点(3，f(3)处的切线方程为y32(x3)，即y2x3.8已知函数f(x)axln x，x(0，)，其中a为实数，f(x)为f(x)的导函数，若f(1)3，则a的值为_3_.解析 因为f(x)axln x，所以 f(x)ax ln aln xax，又f(1)3，所以a3.9若函数f(x)2xf(1)x2，则_.解析 由题意得f(x)2f(1)2x，令x1，得f(1)2f(1)2，解得f(1)2，所以f(x)4xx2，f(x)42x，则f(1)415，f(1)426，所以.三、解答题10(2018南京师大附中调研)求满足下列条件的函数f(
5、x)(1)f(x)是三次函数，且f(0)3，f(0)0，f(1)3，f(2)0；(2)f(x)是一次函数，x2f(x)(2x1)f(x)1.解析 (1)设f(x)ax3bx2cxd(a0)，则f(x)3ax22bxc.由f(0)3，得d3.由f(0)0，得c0.由f(1)3，f(2)0，可得解得所以f(x)x33x23.(2)由f(x)为一次函数，可知f(x)是二次函数，设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb.把f(x)，f(x)代入方程，得x2(2axb)(2x1)(ax2bxc)1，即(ab)x2(b2c)xc10.要使对任意xR方程都成立，则需ab，b2c，c1，解得a2，b
6、2，c1，所以f(x)2x22x1.11求下列函数的导数(1)yx4；(2)yx2ln x；(3)f(x)；(4)y.解析 (1)y4x33x44x3.(2)y(x2ln x)(x2)ln xx2(ln x)2xln xx22xln xx.(3)f(x)xx1x，f(x)xxx.(4)y.12已知函数f(x)ex(cos xsin x)，将满足f(x)0的所有正数x从小到大排成数列xn，证明：数列f(xn)为等比数列证明 f(x)ex(cos xsin x)ex(cos xsin x)ex(sin xcos x)2exsin x.f(x)0，2exsin x0，又x为正数，解得xn，n为正整数，即xn，n1,2,3，.f(xn)en(cos nsin n)(1)nen，f(xn1)(1)n1e(n1)，则e，f(x1)e.故数列f(xn)是首项为e，公比为e的等比数列